¡Descarga Aplicaciones de las derivadas: Análisis de funciones y gráficas y más Ejercicios en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
U2: Aplicacions de les derivades
- Estudia els intervals de creixement i de decreixement de les funcions seg¨uents aix´ı com els seus extrems relatius.
(a) f (x) = (^5) x− (^2) −^3 x 1 (b) f (x) = x^2 ex
- Estudia la curvatura (els intervals de concavitat/convexitat) i els punts d’in- flexi´o de f (x) = x(x + 2)(x − 3).
- Troba els intervals de creixement i de decreixement aix´ı com els m`axims i els m´ınims de la funci´o seg¨uent:
f (x) =
x si x < 0 sin x si 0 ≤ x ≤ 2 π (x − 2 π)^2 si x > 2 π
- Sigui f una funci´o derivable. La seva derivada, f ′, t´e per gr`afica:
x
f ′(x)
Explica amb precisi´o i de manera raonada, que passa a la grafica d’f en els punts d’abscissa −4 i 3.
- (2006-2007) Considereu la funci´o definida a trossos seg¨uent:
f (x) =
− 4 x + a si x < − 2 x^2 − 5 si − 2 ≤ x ≤ 1 bx + 3 si x > 1 (a) Determineu els valors d’a i b perqu`e la funci´o f sigui cont´ınua en tot el seu domini. (b) Justifiqueu si, per a valors positius de x, la funci´o ´es creixent o decreixent.
- Donada la funci´o f (x) = x^3 + ax^2 + bx + c, determineu els valors dels tres par
ametres sabent que la grafica de la funci´o passa pel punt (1, 18) i que t´e extrems relatius per a x = −2 i x = 4. - Troba la recta tangent a la gr`afica de f (x) = lnx^ x en el punt d’abscissa x = 1.
- La gr
afica de la derivada f ′^ d’una funci´o f ´es una parabola que talla l’eix d’abscisses en els punts (5, 0) i (1, 0) i t´e v`ertex en el punt (3, −4).
(a) Expliqueu raonadament en quins intervals la funci´o f ´es creixent i en quins intervals ´es decreixent. Indiqueu-ne els extrems relatius i classifiqueu-los.
(b) Sabem que f (3) = 2. Determineu l’equaci´o de la recta tangent a la funci´o f en el punt (3, 2).
- Considera la funci´o f (x) = (^) x^1.
(a) En quin punt la recta tangent a la gr`afica d’f ´es paral·lela a 4x + y = 0?
(b) Escriu l’equaci´o de la recta tangent en aquest punt.
- Considea les gr`afiques de les funcions f (x) = −^12 + x^2 i g(x) = −x^2 + 6x − 5. Troba el punt on les dues corbes s´on tangents i escriu l’equaci´o de la recta tangent a f i g en aquest punt.
- Considera les funcions f (x) = ax (^2) + 3 i^ g(x) =^ x(b^ −^ x). Per quins valors d’a^ i^ b, les funcions f (x) i g(x) s´on tangents en el punt d’abscissa x = 1?
- Un canal pel qual passa l’aigua es forma amb una planxa met`al·lica de 6m d’amplada, doblegant els 2 ´ultims metres de cada extrem.
Determina l’angle θ que maximitza la quantitat d’aigua que pot passar pel canal.
- Una impremta rep un enc`arrec per realitzar una targeta rectangular amb marge superior de 2cm, marge inferior de 3cm i laterals de 5cm cadascun. Si la su- perf´ıcie impresa ocupa 100cm^2 , calcula les dimensions de la targeta per utilitzar la menor quantitat de paper possible.
- Donada la funci´o
f (x) = 6 −
x^2
cont´ınua en tot el seu domini, calcula les dimensions corresponents al rectangle d’area maxima, inscrit entre la gr`afica d’f i la recta y = 0.
- Determineu el punt de la par
abola y = 27 − x^2 , situat en el primer quadrant, tal que el triangle determinat per la tangent a la parabola en aquest punt i els eixos de coordenades tingui `area m´ınima. - Una persona transporta un vidre molt prim per un carrer en forma d’L, de manera que una de les parts del carrer fa 4 metres d’amplada i l’altra 3 metres. Quina ser
a la longitud maxima que pot tenir el vidre per poder-hi passar?
- Calcula els l´ımits seg¨uents:
(a) lim x→+∞
ln x x
(b) lim x→+∞
x^2 ex
(c) lim x→ 0
x
sin x
(d) lim x→ 0
1 − cos x x
- Considera la funci´o seg¨uent:
P (t) =
2 t + ln(t + 1) t + 1
on P (t) representa el tamany d’una poblaci´o en milions d’individus i en l’any t ≥ 0
(a) En quin any la poblaci´o ´es m`axima?
(b) Que passara amb la poblaci´o a llarg termini?
- Es considera la funci´o f (x) = xe−x 2 . (a) Troba les as´ımptotes de la funci´o.
(b) Troba els intervals de creixement i de decreixement, aix´ı com els maxims i m´ınims relatius de la funci´o. (c) Representa graficament la corba y = f (x).
(d) Troba el valor del parametre real a perque es pugui aplicar el teorema de Rolle en l’interval [0, 1] a la funci´o g(x) = f (x) + ax.
- Sigui la funci´o f (x) = 2 − cos x − 3 x.
(a) Determina, si existeixen, les as´ımptotes obliq¨ues d’f.
(b) Demostra que la funci´o f (x) nom´es talla un cop l’eix horitzontal.
