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Matemáticas
para la ingeniería
Teoría y problemas resueltos
Francesc Pozo Montero
Núria Parés Mariné
Yolanda Vidal Seguí
Matemáticas para la Ingeniería
Francesc Pozo
Núria Parés
Yolanda Vidal
Departamento de Matemática Aplicada III
Universidad Politécnica de Cataluña (UPC)
A nuestras familias, cuyo apoyo y ánimo hicieron posible este libro.
Francesc Pozo, Núria Parés, Yolanda Vidal
ÍNDICE GENERAL XI
6.6.4. Transformaciones elementales en forma matricial........ 662 6.6.5. Teorema de Rouché-Fröbenius.................. 663 6.6.6. Resolución de sistemas mediante el método de Gauss...... 666 6.7. Aproximación geométrica a los sistemas de ecuaciones lineales..... 671 6.7.1. Interpretación geométrica de un sistema de dos ecuaciones li- neales con tres incógnitas..................... 673 6.7.2. Interpretación geométrica de un sistema de tres ecuaciones li- neales con tres incógnitas..................... 677 6.7.3. Ecuación de una recta en el espacio............... 683
ANEXO. Soluciones a los Ejercicios propuestos 739
XIV MATEMÁTICAS PARA LA INGENIERÍA
Creemos sinceramente que este libro puede ser una muy buena herramienta para guiar y completar el estudio de una asignatura de cálculo de una variable en un estudio presen- cial, pero también puede ser utilizado como material básico de apoyo en asignaturas de cálculo impartidas a distancia. No podemos concluir este prólogo sin agradecer a las personas que nos han ayudado, de un modo u otro, a que este libro sea una realidad. Así pues, agradecemos a Ignacio Arruga Cantalapiedra, Sergio Arruga Cantalapiedra, Antonio de la Casa Gómez y Jesús Martínez Fernández.
Barcelona, a 2 de abril de 2013. Francesc Pozo Montero Núria Parés Mariné Yolanda Vidal Seguí
Francesc Pozo es licenciado en Matemáticas por la Universitat de Barcelona (2000) y doctor en Matemática Aplicada (2005) por la Universitat Politècnica de Catalunya- BarcelonaTech. Es miembro del grupo de investigación CoDAlab (control, dinámica y aplicaciones; más información en codalab.ma3.upc.edu ). Núria Parés es licenciada en Matemáticas (1999) y doctora en Matemática Aplicada (2005) por la UPC. Es miembro del grupo de investigación LaCàN (métodos compu- tacionales y análisis numérico; más información en www.lacan.upc.edu ). Yolanda Vidal es licenciada en Matemáticas (1999) y doctora en Matemática Aplicada (2005) por la UPC. Es miembro del grupo de investigación CoDAlab (control, dinámica y aplicaciones; más información en codalab.ma3.upc.edu ). F. Pozo , N. Parés y Y. Vidal son profesores agregados del Departamento de Matemática Aplicada III de la UPC y fundadores del Grupo de Innovación Matemática E-Learning. Tienen experiencia en docencia (de grado y máster) de matemáticas y estadística en escuelas de ingeniería y en facultades de matemáticas, así como también en estudios no presenciales. Tienen otros libros publicados sobre cálculo en varias variables y sobre probabilidad y estadística matemática.
CAPÍTULO
1
Introducción al razonamiento
matemático
«If people do not believe that mathematics is simple, it is only because they do not realize how complicated life is.» (John von Neumann)
En este primer capítulo introductorio se presentan los diferentes mecanismos de los que se dotan las matemáticas para demostrar los distintos tipos de propiedades. Entre las dis- tintas estrategias que se presentan (demostración directa, contrarrecíproco o reducción al absurdo) sobresale la inducción matemática, que permite demostrar propiedades sobre los números naturales.
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN AL RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 3
El punto de partida de una demostración es un conjunto de enunciados que se consi- deran verdaderos y se llaman premisas. Estas premisas pueden ser hipótesis, axiomas u otras proposiciones o teoremas demostrados anteriormente. Considerando las premi- sas como ciertas, hay que llegar al enunciado original mediante la aplicación de unas determinadas reglas lógicas o aplicando propiedades previamente demostradas.
1.2. ¿Es sencillo hacer una demostración matemática?
En general, demostrar una propiedad matemática puede ser muy complejo. Las preguntas clave que debemos hacernos son:
¿Por dónde empiezo? ¿Qué pasos debo seguir?
Es decir, la dificultad está en saber elegir bien las premisas y luego saber qué razona- mientos lógicos hay que seguir para llegar al enunciado original. En este libro presentaremos y repasaremos conceptos básicos de cálculo en una variable y álgebra, profundizando en los razonamientos y demostraciones.
1.3. Métodos de demostración
Aunque en general no existe un procedimiento único de demostración de teoremas, sí que hay diferentes métodos de demostración que son utilizados usualmente en mate- máticas. Los cinco tipos de razonamientos básicos son:
Demostración directa. Demostración por contrarrecíproco. Demostración por contradicción o reducción al absurdo. Demostración por contraejemplo. Demostración por inducción.
A continuación veremos varios ejemplos de demostraciones sencillas obtenidas a partir de estos cuatro métodos. Supongamos que queremos demostrar que un enunciado es cierto. A este enunciado lo llamaremos Q. Por ejemplo, imaginemos que queremos demostrar que si a y b son dos números reales, entonces el cuadrado de la suma es igual al cuadrado del primer término más el cuadrado del segundo término más el doble del primero por el segundo, es decir:
( a + b )^2 = a^2 + b^2 + 2 ab.
Para demostrar Q generalmente necesitaremos partir de unas premisas y de unas re- glas lógicas. A estas propiedades las llamaremos P. En el caso de querer demostrar que ( a + b )^2 = a^2 + b^2 + 2 ab , las premisas serán poder aplicar las propiedades de la suma y del producto de los números reales. El hecho de demostrar Q a partir de P , se denota
4 MATEMÁTICAS PARA LA INGENIERÍA
por: P ⇒ Q y se lee « P implica Q » o « Q se deduce de P ». Recordemos que Q es lo que queremos demostrar y que P es lo que presuponemos cierto, las reglas del juego. Al igual que en el ajedrez, donde cada ficha tiene un movimiento permitido, en una demostración matemática no todos los pasos son permitidos. Solo podemos usar propie- dades demostradas anteriormente (las propiedades que están incluidas en P ).
1.4. Demostración directa En una demostración directa, suponemos P cierto y mediante una sucesión coherente de pasos demostramos que Q es cierto. Ejemplo 1.1 [Fórmula del cuadrado de una suma] Queremos demostrar que si a y b son dos números reales: ( a + b )^2 = a^2 + 2 ab + b^2. Las premisas, en este caso, son las propiedades de la suma, el producto y la potencia de números reales que iremos aplicando paso a paso. Cuando se hace una demostración es imprescindible explicar en cada paso qué propiedad se ha utilizado. DEMOSTRACIÓN.
( a + b )^2 = ( a + b ) · ( a + b ) [definición de elevar al cuadrado] = ( a + b ) · a + ( a + b ) · b [propiedad distributiva del producto respecto de la suma] = a · ( a + b ) + b · ( a + b ) [propiedad conmutativa del producto] = a · a + a · b + b · a + b · b [propiedad distributiva del producto respecto de la suma] = a^2 + a · b + b · a + b^2 [definición de elevar al cuadrado] = a^2 + a · b + a · b + b^2 [propiedad conmutativa del producto] = a^2 + 1 · a · b + 1 · a · b + b^2 [elemento neutro del producto] = a^2 + 2 · a · b + b^2 [propiedad distributiva del producto respecto de la suma]
En los pasos anteriores también se ha utilizado la propiedad conmutativa de la suma. Ejemplo 1.2 [Soluciones de la ecuación de segundo grado] Dada la ecuación de se- gundo grado ax^2 + bx + c = 0 , si a 6 = 0 y b^2 − 4 ac ≥ 0 , entonces sus dos soluciones se pueden calcular como:
