¡Descarga tot lo de calcul y más Apuntes en PDF de Cálculo solo en Docsity!
´INDEX
Cap´ıtol 2
Funcions reals d’una variable
2A. Alguns resultats b`asics
2.1 Funcions reals d’una variable
Se’n diuen funcions reals d’una variable les de la forma
f : A −→ R , A ⊂ R
on A s’anomena el seu domini de definici´o, i f (A) el seu recorregut. Sovint es representa
y = f (x) , x ∈ A
on es diu que x ´es la variable independent i y , la dependent. Si A ⊂ Z es diu que la funci´o ´es de variable discreta; si A cont´e algun interval
]a, b[= {x ∈ : a < x < b}
es diu de variable cont´ınua.
Exemples 2.1.
- Les funcions y = f (x) = ln ln x y = g(x) =
√ (x − 2)(x − 1) y = h(x) = (^) xsin (^2) −^ x 9
estan definides, respectivament, en els dominis {x ∈ R : x > 1 } ≡]1, +∞[ {x ∈ R : (x − 2)(x − 1) ≥ 0 } =] − ∞, 1] ∪ [2, +∞[ {x ∈ R : x 6 = ± 3 }
7
8 C`alcul I – 03/
- S´on funcions de variable discreta f (p) = p! = p(p − 1)(p − 2) · · · 2 · 1 g(p) =
( α p
) = α(α^ −^ 1)^ · · · p^ !( α^ −^ p^ + 1), α ∈ R
h(p) = 14 + 2^4 + · · · + p^4
- Considerem la funci´o que a cada x ∈ R fa correspondre el menor t ∈ R dels que x + 3t − t^3 = 0 6
t
x
2
2
1
´es a dir: f (x) = min{y ∈ R : x + 3t − t^3 = 0}. Per tant: f (0) = −
f (2) = − 1 f (8) = 3
Exercicis 2.1.
- Demostreu que la funci´o f (x) = min{t : (t − x − 1)(t^2 − x) = 0} resulta f (x) = x + 1, si x < 0 f (x) = −
x, si x ≥ 0
- Demostreu que el domini de definici´o de f (x) = arcsin(|x + 5| − |x − 1 |) ´es −^52 ≤ x ≤ − 12.
10 C`alcul I – 03/
Observacions 2.2.
- Hi ha lima f si, i nom´es si, L+^ i L−^ existeixen i s´on iguals. Aleshores:
lima f = L+^ = L−^.
- Les nocions anteriors de l´ımits s´on igualment v
al.lides si a 6 ∈ A, pero hi ha r > 0 que: ]a − r, a[⊂ A , ]a, a + r[⊂ A.
Exemples 2.2.
lim 0 + |^ xx| = 1 , lim 0 − |^ xx| = −1.
lim 0 x sin^1 x = 0.
lim 0 + sin^1 x , lim 0 − sin^1 x no existeixen.
- La funci´o de (1) de 2.1.2 ´es cont´ınua per la dreta a l’origen.
Si la funci´o no ´es cont´ınua, podem distingir tres situacions:
- Discontinu¨ıtat evitable: si existeix L = lima f , per`o no pas f (a) (o b´e no coincideix amb L); aleshores la seva extensi´o cont´ınua resulta de completar (o modificar) la funci´o inicial mitjan¸cant f (a) = L.
- Discontinu¨ıtat de salt: si existeixen els l´ımits laterals, per`o s´on diferents.
- Discontinu¨ıtat de 2ona esp`ecie: si no existeix algun dels l´ımits laterals.
Funcions reals d’una variable 11
Exemples 2.2.
- Presenten discontinu¨ıtat evitables a l’origen les funcions
x sin^1 x
, sin^ x x
, e−^1 /x^2.
Les seves extensions cont´ınues resulten de completar-les a l’origen amb els valors 0, 1, 0, respectivament.
Les funcions (^) |xx| , E(x) presenten discontinu¨ıtat de salt en x = 0 i en tot x ∈ N , respectivament.
La funci´o sin^1 x presenta una discontinu¨ıtat de 2ona esp`ecie a l’origen.
La funci´o f (x) = rang
( 1 1 x 0
) presenta una discontinu¨ıtat evitable a l’origen, ja que: f (x) = 2, si x 6 = 0; f (0) = 1.
- Les funcions
min {t : x + 3t − t^3 = 0} min {t : (t − x − 1)(t^2 − x) = 0}
(vegeu (3) de 2.1.1 i (1) de 2.1.2) presenten discontinu¨ıtat de salt en els punts x = 2 i x = 0, respectivament.
De forma an`aloga es defineixen els l´ımits infinits i a l’infinit.
Exemples 2.2.
lim 0 ln |x| = −∞.
lim 0 + = +∞, lim 0 −^1 x
lim +∞^1 x = lim −∞^1 x = 0
- lim 0 + e^1 /x^ = +∞, lim 0 − e^1 /x^ = 0.
Aplicaci´o 2.2.5 (As´ımptotes). Donada f : R −→ R , una recta y = ax + b se’n diu la seva as´ımptota a +∞ si lim +∞(f (x) − (ax + b)) = 0.
Clarament una condici´o necess`aria ´es
lim +∞^ f^ (x)^ −^ (ax^ +^ b) x
Funcions reals d’una variable 13
Exemples 2.3.
- La funci´o f (x) = |x| no ´es derivable a l’origen ja que D|x|(0+) = 1 , D|x|(0−) = − 1. En els altres punts: D|x| = (^) |xx| en R − { 0 }.
Per a k ≥ 2, la funci´o f (x) = |xk| ´es derivable en tot R , i ∆|xk| = kx|xk−^2 | , en R.
- La funci´o f (x) = x sin^1 x , x 6 = 0 f (0) = 0 no ´es derivable a l’origen, ni hi t´e derivades laterals. Per a k ≥ 2, les funcions
f (x) = xk^ sin x^1 , x 6 = 0 f (0) = 0 tenen derivada nul.la a l’origen:
Df (0) = lim 0 t
k (^) sin(1/t) − 0 t
= lim 0 tk−^1 sin^1 t
- En ]0, +∞[:
Dxx^ = Dex^ ln^ x^ = ex^ ln^ x
( ln x + x (^) x^1
) = xx(ln x + 1)
Dxxx = xxx xx
x + ln^ x^ + ln
(^2) x
)
- Per determinat l’angle que formen les corbes (hip
erbola i parabola, respectivament)
y = x^1 + √^2 3
, y = 2
√ (^) x 3 + 1
en el punt de tall
( 1 , 1 + √^2 3
) , calculem les seves derivades en x = 1:
D
( 1 x +^
√^2
) (1) = −1 = tan
( −π 4
)
D
( 2
√ (^) x 3 + 1
) (1) = √^1 3
= tan π 6
Per tant, l’angle format ´es : π 6 −
( −π 4
) =^512 π.
14 C`alcul I – 03/
Exercicis 2.3.2 Demostreu que:
- f derivable en a =⇒ 6 ⇐=
f cont´ınua en a.
- Essent f derivable en a: f extrem relatiu en a =⇒ 6 ⇐=
f ′(a) = 0.
- Essent f derivable en a: f ′(a) > 0 =⇒ 6 ⇐=
f creixent en un entorn de a.
f ′(a) < 0 =⇒ 6 ⇐=
f decreixent en un entorn de a.
De forma an`aloga es defineixen les derivades d’ordre superior:
f ′′^ ≡ D^2 f = D(Df ) , etc.
Destaquem al respecte:
Proposici´o 2.3.3 (regla de Leibnitz).
Dk(f g) =
( k 0
) f · Dkg +
( k 1
) Df · Dk−^1 g + · · · +
( k k
) Dkf · g.
Exercicis 2.3.
- |x^3 | ´es 2-derivable en R , amb : D^2 |x^3 | = 6|x|. |x^5 | ´es 4-derivable en R , amb : D^4 |x^5 | = 120|x|.
- La funci´o
f (x) = x^2 k^ sin^1 x , x 6 = 0 f (0) = 0 ´es k -derivable a l’origen.
- En ]0, +∞[: D^2 xx^ = xx
x
) .
- D^4 kx^3 cos x =
( 4 k 0
) x^3 D^4 k^ cos x +
( 4 k 1
) 3 x^2 D^4 k−^1 cos x+
( 4 k 2
) 6 xD^4 k−^2 cos x +
( 4 k 3
) 6 D^4 k−^3 cos x =
= x^3 cos x + 12kx^2 sin x − 12 k(k − 1)x cos x − 4 k(4k − 1)(4k − 2) sin x.
16 C`alcul I – 03/
Exemples 2.4.
- A l’origen ex^ − 1 ∼ x sin x ∼ x 1 − cos x ∼ x^2 / 2 x^4 (1 + x)^4 − 1 ∼^ x
(1 + x)α^ − 1 ∼ αx ln(1 + x) ∼ x
- Considerem, a l’origen f (x) = x ln x. Es f`^ ´ acil comprovar (vegeu 2.10.4) que
lim 0 +^ f^ x(xr )= 0 , per a tot 0 ≤ r ≤ 1
lim 0 +^ f^ ( xx )= −∞
Per tant:
- ´es d’ordre inferior a 1.
- ´es d’ordre superior a tot r < 1.
- A l’origen, l’infinit`esim f (x) = x sin^1 x
- ´es d’ordre inferior a tot r > 1.
- no ´es comparable amb r = 1.
- ´es d’ordre superior a tot r < 1.
- Considerem la figura
O
D
A C
B
Ix
on OC = OB = 1. En relaci´o a l’angle x, s´on infinitesims de primer ordre les llargaries AB , CB , CD
Funcions reals d’una variable 17
i les arees OAB , OBC , OCD. S´on de segon ordre les llargaries AC , BD. S´on de tercer ordre les `arees ABC , BCD , ABDC.
Aplicaci´o 2.4.4 A efectes del c`alcul de l´ımits, cada factor pot ´esser substitu¨ıt per la seva part principal:
lim 0 (1^ −^ cos^ x)(e
x (^) − 1) sin x(1 −
1 + x) ln(1 + x)
= lim 0 (x
(^2) /2)x x(−x/2)x
Aplicaci´o 2.4.5 Contactes d’ordre r en un punt (tangents, osculatrius, ...).
(A) Siguin f, ϕ : A −→ R amb A ⊂ R i a ∈ A. Es diu que s´on semblants d’ordre r o que tenen un contacte d’ordre r en a ∈ A si difereixen en un infinit`esim d’ordre superior a r , ´es a dir, si f (x) − ϕ(x) = o(r) o, equivalentment, lima^ f^ ( (xx) −− aϕ)(rx )= 0.
Si r = 1 se’n diuen tangents, i si r = 2, osculatrius. Per exemple, per a la c´ubica f (x) = x^3 + 1 en el punt a = 1, tenim a) la recta tangent ´es y = 3x − 1. b) la par`abola osculatriu ´es y = 3x^2 − 3 x + 2. c) el cercle osculatriu ´es y =^13 (11 −
106 − 72 x − 9 x^2 ).
(B) Per a funcions 1-derivables, la condici´o de “tangent” pot caracteritzar-se a trav´es de la derivada: essent f , ϕ 1-derivables, son tangents en el punt a si, i nom´es si, f (a) = ϕ(a) , f ′(a) = ϕ′(a) ja que
lima^ f^ (x x)^ −−^ ϕa (x)= lima
( f (x) − f (a) x − a −^
ϕ(x) − ϕ(a) x − a
) = f ′(a) − ϕ′(a).
En particular, la recta tangent a f (x) en el punt a ´es: y = f (a) + (x − a)f ′(a).
Funcions reals d’una variable 19
2.5 Teorema de Bolzano
El teorema de Bolzano confirma l’aparent “evidencia” de que tota grafica cont´ınua que presenti algun canvi de signe ha de tallar l’eix horitzontal:
Teorema 2.5.1 (Teorema de Bolzano.) Donada
f : [α, β] −→ R , cont´ınua f (α) > 0 , f (β) < 0 ,
aleshores hi ha ξ ∈ ]α, β [ que: f (ξ) = 0.
Exemple 2.5.2 Vegem que l’equaci´o
ex^ + ln x = λ
t´e alguna soluci´o qualsevol que sigui λ ∈ R. Considerem
f (x) = ex^ + ln x − λ.
Clarament ´es cont´ınua en ] 0, +∞[. Com que
lim 0 + (ex^ + ln x − λ) = −∞
hi ha algun α > 0 que f (α) < 0. Igualment
lim +∞(ex^ + ln x − λ) = +∞
implica que hi ha algun β > 0 que f (β) > 0. Podem, doncs, aplicar el teorema de Bolzano (vegeu, a m´es, (2) de 2.7.2).
Exercici 2.5.3 Demostreu que tota involuci´o cont´ınua t´e algun punt fix. Es a dir, que´ si f ´es del tipus f : R −→ R , cont´ınua f (f (x)) = x , per a tot x ∈ R
aleshores hi ha un punt ξ ∈ R que f (ξ) = ξ. (Suggeriment: considereu g(x) = f (x) − x, α ∈ R qualsevol i β = f (α)).
2.6 Exist`encia i accessibilitat d’extrems absoluts
(Vegeu 11.1 per les definicions). Si una funci´o ´es cont´ınua, es pot assegurar que ´es acotada en tot interval [α, β], i que els valors extrems absoluts s´on assolibles:
20 C`alcul I – 03/
Teorema 2.6.1 Donada f : [α, β] −→ R , cont´ınua
hi ha xmin, xmax ∈ [α, β] que:
f (xmin) ≤ f (x) ≤ f (xmax) , per a tot x ∈ [α, β].
Exemples 2.6.
- La funci´o f (x) = e−x^2 sin^1 x ´es acotada, per`o ni el suprem, 1, ni l’´ınfim, −1, s´on accessibles.
- Sovint, aquest teorema permet simplificar la comprovaci´o de que els possibles ex- trems (zeros de f ′^ , ...) ho s´on efectivament. Considerem, per exemple, la funci´o
f (x) = x^2
1 − x^2
Essent positiva, els m´ınims es presenten evidentment en els punts x = 0, x = ±1. Per als m`axims, vegem els zeros de la derivada:
f ′(x) = 2x
1 − x^2 + x^2 −^2 x 2
1 − x^2
=^2 x^ −^3 x
2 √ 1 − x^2
f ′(x) = 0 ⇐⇒ x = ±
√ 2
Segons el teorema anterior, algun d’ells ha de ser el m`axim absolut. De fet ho s´on tots dos, ja que: f
√ 2 3
(^) = f
−
√ 2 3
(^) = 2 3
2.7 Lema de Rolle
Generalitzant l’exemple anterior, si f (α) = f (β), aleshores en algun altre punt presentara un extrem, on f ′^ s’anul.lara:
Teorema 2.7.1 Donada
f : [α, β] −→ R , cont´ınua f derivable en ]α, β[ f (α) = f (β)
Aleshores hi ha ξ ∈ ]α, β[ que: f ′(ξ) = 0.
