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Tema 10
Sistemas de ecuaciones lineales
1. Sistemas de ecuaciones lineales
Definici´on 1 Una ecuaci´on lineal es una expresi´on de la forma
a 1 x 1 + a 2 x 2 + · · · + an xn = b (1)
donde los t´erminos ai reciben el nombre de coeficientes, b es el t´ermino independiente y los t´erminos xj son las inc´ognitas.
Ejemplo 1 La siguiente ecuaci´on es lineal:
2 x 1 + 5 x 2 + 3 x 3 = 17.
Definici´on 2 Un vector x = (x 1 , x 2 , · · · , xn) ∈ Rn^ es soluci´on de la ecuaci´on (1) si al sustituir las inc´ognitas de la ecuaci´on por los elementos de x se obtiene una identidad.
Ejemplo 2 El vector x = (3, 1 , 2) es soluci´on de la ecuaci´on lineal:
2 x 1 + 5 x 2 + 3 x 3 = 17
puesto que se cumple 2 · 3 + 5 · 1 + 3 · 2 = 17.
Definici´on 3 Un sistema de ecuaciones lineales, o simplemente un sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales:
a 11 x 1 + a 12 x 2 + · · · + a 1 nxn = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + · · · + a 2 nxn = b 2
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
am 1 x 1 + am 2 x 2 + · · · + amnxn = bm
Definici´on 4 Un vector x = (x 1 , x 2 , · · · , xn) ∈ Rn^ es soluci´on del sistema de ecuaciones lineales (2) si es soluci´on de todas y cada una de las ecuaciones del sistema.
Cualquier sistema de ecuaciones lineales se puede reescribir usando notaci´on matricial. La expresi´on matricial de un sistema lineal nos permite simplificar considerablemente su notaci´on y tratarlo de un modo m´as general y te´orico. El sistema gen´erico (2) se puede escribir:
a 11 a 12 · · · a 1 n a 21 a 22 · · · a 2 n .. .
am 1 am 2 · · · amn
A
x 1 x 2 .. . xn
x
b 1 b 2 .. . bm
b
es decir: el sistema lineal (2) es equivalente a la ecuaci´on matricial A · x = b donde A es la matriz de coeficientes, x es el vector de inc´ognitas y b el vector de t´erminos independientes.
Ejemplo 3 El sistema de ecuaciones lineales { 2 x + 3 y = 13 4 x − 8 y = 12
se puede escribir en forma matricial: ( 2 3 4 − 8
x y
El sistema lineal que aparece en el ejemplo anterior tiene el mismo n´umero de ecuaciones que de inc´ognitas y sus ecuaciones son independientes entre si. Normalmente estos sistemas lineales tienen una ´unica soluci´on.
Definici´on 5 Se dice que un sistema de ecuaciones lineales es un sistema de Cramer si su matriz de coeficientes A es cuadrada y regular (su determinante es distinto de 0).
En un sistema de Cramer la matriz de coeficientes es invertible por lo que podemos resolver f´acilmente la ecuaci´on matricial A · x = b.
Soluci´on de un sistema de Cramer
Un sistema de Cramer A · x = b tiene una ´unica soluci´on y se puede calcular mediante la f´ormula
x = A−^1 · b (3)
Ejemplo 4 El sistema lineal { 2 x + 3 y = 13 4 x − 8 y = 12
es un sistema de Cramer ya que el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de 0:
det
Por tanto, existe una una ´unica soluci´on y podemos calcularla multiplicando la inversa de la matriz de coeficientes por el vector de t´erminos independientes: ( x y
Es decir: la ´unica soluci´on del sistema es (x, y) = (5, 1).
Ejemplo 5 Dado el sistema lineal {
- 5 x + 0. 2 y = 28. 16 − 0. 6 x + 0. 3 y = 8. 22
calculamos el determinante de la matriz de coeficientes:
det
Puesto que es distinto de 0, se trata de un sistema de Cramer y podemos calcular su ´unica soluci´on mediante la f´ormula (3): ( x y
Es decir: la ´unica soluci´on del sistema es (x, y) = (25. 2 , 77 .8).
- Matrices escalonadas y sistemas escalonados
Definici´on 6 Dada una matriz A = (aij ) y dada una fila no nula de dicha matriz: Fi llamaremos pivote de la fila al primer elemento no nulo que encontramos en ella al leer de izquierda a derecha.
Ejemplo 7 En la siguiente matriz se han rodeado con circunferencias los pivotes de cada fila no nula:
A =
Observamos que esta matriz de orden 4 s´olo tiene 3 pivotes ya que tiene una fila nula.
Definici´on 7 Diremos que una matriz A ∈ Mm×n es escalonada (por filas) si verifica las siguientes condiciones:
(1) Si existen filas nulas, ´estas se encuentran situadas en la parte inferior de la matriz.
(2) Si existen dos filas no nulas cuyos pivotes son air de Fi y ajs de Fj entonces
i < j ⇒ r < s.
Es decir: siempre el pivote de una fila inferior est´a a la derecha del pivote de una fila superior.
Como consecuencia de la condici´on (2) no puede haber m´as de un pivote en cada columna. De hecho, debajo de un pivote s´olo puede haber ceros.
Ejemplo 8 Las siguientes matrices son escalonadas:
Ejemplo 9 Las siguientes matrices no son escalonadas:
Definici´on 8 Diremos que una matriz A ∈ Mm×n es escalonada semirreducida si verifica:
(1) A es una matriz escalonada.
(2) Todos los pivotes de A son iguales a 1.
Ejemplo 10 Las siguientes matrices son escalonadas semirreducidas:
Definici´on 9 Diremos que una matriz A ∈ Mm×n es escalonada reducida si verifica:
(1) A es una matriz escalonada semirreducida.
(2) En las columnas de A en las que hay un pivote, el resto de los elementos son nulos.
Ejemplo 11 Las siguientes matrices son escalonadas reducidas:
Definici´on 10 Llamaremos rango de una matriz escalonada al n´umero de pivotes que tiene.
Puesto que s´olo puede haber un pivote en cada fila y en cada columna, el rango de una matriz escalonada A ∈ Mm×n ser´a, como m´aximo, menor o igual que el n´umero de filas y que el n´umero de columnas:
rango(A) ≤ m´ın {m, n}.
Ejemplo 12 Las ´unicas matrices cuadradas de orden 2 no nulas que son escalonadas reducidas: ( 1 0 0 1
rango = 2
( 1 a 0 0
rango = 1
donde a ∈ R es una constante. Observamos que s´olo la primera de ellas, la matriz identidad, es regular y tiene rango m´aximo. Las dem´as son singulares ya que tienen una fila nula.
Ejemplo 13 Las ´unicas matrices cuadradas de orden 3 no nulas que son escalonadas reducidas:
(^) rango = 3
1 0 a 0 1 b 0 0 0
1 c 0 0 0 1 0 0 0
(^) rango = 2
1 d e 0 0 0 0 0 0
0 1 f 0 0 0 0 0 0
(^) rango = 1
donde a, b, c, d, e, f ∈ R son constantes. Observamos que s´olo la primera de ellas, la matriz identidad, es regular y tiene rango m´aximo. Las dem´as son singulares ya que tienen una fila nula.
Lo que ocurre en los ejemplos anteriores es una propiedad gen´erica:
La matriz identidad In ...
... es la ´unica matriz cuadrada de orden n que es regular y escalonada reducida.
Aplicaremos los conceptos anteriores a la matriz de coeficientes de un sistema de ecuaciones lineales dado y a la llamada matriz ampliada asociada a dicho sistema lineal.
Matriz ampliada
La matriz ampliada asociada al sistema de ecuaciones lineales (2) es:
A+^ = (A | b) =
a 11 a 12 · · · a 1 n b 1 a 21 a 22 · · · a 2 n b 2 .. .
am 1 am 2 · · · amn bm
Es decir: a˜nadimos a la matriz de coeficientes una columna con los t´erminos independientes.
Caso 2. El rango de la matriz ampliada coincide con el rango de la matriz de coeficientes pero es menor que el n´umero de inc´ognitas
Esto sucede cuando hay al menos una columna de coeficientes que no tiene pivote y tampoco hay pivote en la columna de t´erminos independientes. En tales casos el sistema lineal tiene infinitas soluciones que se pueden parametrizar.
Ejemplo 17 Consideramos el sistema de ecuaciones lineales escalonado
x − 4 y + 5 z = 80 2 y − 6 z = 20 0 z = 0
A+^ =
Obviamente podemos eliminar la ´ultima ecuaci´on (y la ´ultima fila de la matriz ampliada). Puesto que no hay pivote en la columna de coeficientes de la inc´ognita z, introducimos esta inc´ognita como par´ametro:
z = a.
Sustituimos z = a en la segunda ecuaci´on y despejamos la inc´ognita y:
2 y − 6 a = 20 =⇒ 2 y = 20 + 6 a =⇒ y = 10 + 3 a.
Sustituimos z = a, y = 10 + 3 a en la primera ecuaci´on y despejamos la inc´ognita x:
x − 4(10 + 3 a) + 5 a = 80 =⇒ x − 7 a − 40 = 80 =⇒ x = 120 + 7 a.
Por tanto la soluci´on general del sistema lineal es (x, y, z) = (120 + 7 a , 10 + 3 a , a).
Si queremos calcular soluciones particulares solo tenemos que darle al par´ametro a valores concretos. Por ejemplo, para calcular dos soluciones particulares:
a = 0 ⇒ (x, y, z) = (120 , 10 , 0) a = 1 ⇒ (x, y, z) = (127 , 13 , 1).
Ejemplo 18 Consideramos el sistema de ecuaciones lineales cuyas inc´ognitas son (x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) y cuya matriz ampliada es escalonada reducida:
A+^ =
Puesto que no hay pivote en la columna de coeficientes de la inc´ognita x 3 , introducimos esta inc´ognita como par´ametro:
x 3 = a.
El resto de inc´ognitas se deducen directamente de las ecuaciones, con una ´unica sustituci´on: x 3 = a
A+^ =
x 1 − 2 a = 22 =⇒ x 1 = 22 + 2 a x 2 + 3 a = 55 =⇒ x 2 = 55 − 3 a x 4 = 8
Por tanto, la soluci´on general de este sistema es (x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) = (22 + 2 a , 55 − 3 a , a , 8).
Caso 3. El rango de la matriz ampliada es mayor que el rango de la matriz de coeficientes
Esto sucede cuando hay un pivote en la ´ultima columna (la de los t´erminos independientes). En estos casos el sistema lineal no tiene soluci´on.
Ejemplo 19 Dado el sistema de ecuaciones lineales escalonado
x + 2 y + 4 z = 10 2 y + 4 z = 5 0 z = 8
A+^ =
observamos que la ´ultima ecuaci´on no tiene ninguna soluci´on y por tanto el sistema lineal tampoco tiene soluci´on.
Podemos realizar una clasificaci´on de los sistemas de ecuaciones lineales dependiendo del n´umero de soluciones que tienen. Se suele usar la siguiente terminolog´ıa:
Clasificaci´on de sistemas lineales
Diremos que un sistema de ecuaciones lineales es:
compatible determinado: si tiene una ´unica soluci´on
compatible indeterminado: si tiene infinitas soluciones
incompatible: si no tiene soluci´on.
- El m´etodo de Gauss
Los m´etodos de eliminaci´on Gaussiana se basan en las operaciones elementales sobre filas. Recordemos:
Operaciones elementales sobre filas
- Sumar a una fila un m´ultiplo de otra: F′ i = Fi + μ Fj.
- Intercambiar dos filas entre s´ı: Fi ←→ Fj.
- Sustituir una fila por un m´ultiplo no nulo de ella misma: F′ i = λ Fi (con λ 6 = 0).
Recordemos que las operaciones elementales sobre filas transforman una matriz en otra equivalente.
Definici´on 12 Dos sistemas lineales A · x = b y C · x = d son equivalentes si sus respectivas matrices ampliadas A+^ = (A | b) y C+^ = (C | d) son matrices equivalentes.
Dos sistemas equivalentes deben tener el mismo n´umero de ecuaciones, el mismo n´umero de inc´ognitas y tambi´en tienen las mismas soluciones.
M´etodo de Gauss
Consiste en escalonar la matriz ampliada de un sistema de ecuaciones lineales. Es decir: transformar (mediante operaciones elementales sobre filas) la matriz ampliada en otra matriz ampliada equivalente que sea escalonada.
Para escalonar la matriz ampliada se repiten las siguientes operaciones empezando por la columna C 1 y la fila F 1 :
La matriz ya est´a escalonada. Si queremos que sea semirreducida, basta dividir la ´ultima fila por − 10 :
F′ 3 = (^) −^110 F 3 −→
La matriz ampliada A+^ es equivalente a
, cuyo sistema lineal asociado es escalonado
y se resuelve f´acilmente:
x + 2 y − z = − 4 y − 3 z = 7 z = − 5
z = − 5 y − 3(−5) = 7 ⇒ y = 7 − 15 ⇒ y = − 8 x + 2(−8) − (−5) = − 4 ⇒ x = −4 + 16 − 5 ⇒ x = 7.
Su ´unica soluci´on, (x, y, z) = (7, − 8 , −5) , tambi´en es la ´unica soluci´on del sistema lineal original.
Ejemplo 21 Consideramos el sistema lineal
x + 2 y + 3 z = 10 3 x + 6 y + 10 z = 37 2 x + 4 y + 8 z = 30
A+^ =
Vamos a escalonar la matriz ampliada:
F′ 2 = F 2 − 3 F 1 −→ F′ 3 = F 3 − 2 F 1
Observamos que no es posible elegir un pivote en la segunda columna, as´ı que pasamos a la columna 3:
F′ 3 = F 3 − 2 F 2 −→
Puesto que hay un pivote en la columna de t´erminos independientes el sistema lineal equivalente es incompatible: no tiene soluci´on.
Ejemplo 22 Consideramos el sistema lineal
x 1 + 2 x 2 = 10 − 3 x 1 − 6 x 2 + x 3 = − 8 − 7 x 1 − 14 x 2 + 4 x 3 + x 4 = 18 3 x 3 + x 4 = 66
A+^ =
Vamos a escalonar la matriz ampliada:
F′ 2 = F 2 + 3 F 1 −→ F′ 3 = F 3 + 7 F 1
F′ 3 = F 3 − 4 F 2 −→ F′ 4 = F 4 − 3 F 2
F′ 3 = F 3 − 4 F 2 −→ F′ 4 = F 4 − 3 F 2
Observamos que esta matriz ampliada equivalente es escalonada reducida y por tanto, el sistema lineal asociado es m´as f´acil de resolver. Puesto que en la columna de coeficientes de la inc´ognita x 2 no hay pivote, introducimos esa inc´ognita como par´ametro y despejamos el resto de inc´ognitas:
x 2 = a x 4 = 0 x 3 = 22 x 1 + 2 a = 10 ⇒ x 1 = 10 − 2 a.
Por tanto, la soluci´on general del sistema lineal es (x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) = (10 − 2 a , a , 22 , 0).
Existen diversas variantes del m´etodo de Gauss. La principal diferencia entre las variantes consiste en el criterio que se usa para elegir el pivote. Los criterios m´as utilizados son:
el primer elemento no nulo que encontremos al recorrer la columna de arriba hacia abajo,
el elemento no nulo con el que es “m´as f´acil operar ”,
el elemento que tiene el valor absoluto m´as grande.
Tambi´en existen variantes dependiendo del momento en el que las filas se dividen por sus respectivos pivotes. Cuando los c´alculos se realizan “a mano”, a menudo no se realizan estas operaciones para evitar trabajar con fracciones o decimales, o se realizan cuando la matriz ya est´a escalonada.
En cambio, cuando los c´alculos se realizan con ayuda de un ordenador, es frecuente dividir por cada pivote antes de hacer ceros ya que esta pr´actica reduce el n´umero de operaciones que hay que realizar. Sin embargo algunos autores desaconsejan esta pr´actica porque puede producir errores de redondeo de mayor magnitud.
M´etodo de Gauss-Jordan
Consiste en reducir la matriz ampliada de un sistema de ecuaciones lineales. Es decir: transformar (mediante operaciones elementales sobre filas) la matriz ampliada en otra matriz ampliada equivalente que sea escalonada reducida.
Este m´etodo se realiza en dos fases. En una primera fase escalonamos la matriz (m´etodo de Gauss) y en una segunda fase s´olo hay que hacer ceros por encima de los pivotes empezando por el ´ultimo de ellos. Tambi´en hay que convertir en unos los pivotes y esto se puede hacer durante el proceso o al final (si se desea evitar operar con decimales o fracciones).
Aunque aparentemente este m´etodo tiene un mayor coste (en n´umero de operaciones) que el m´etodo de Gauss, sin embargo las nuevas operaciones que se realizan sustituyen a las empleadas en la fase de sustituci´on.
Ejemplo 23 Vamos a resolver el sistema lineal
2 x + 4 y + 10 z = 6 x + 3 y − z = − 15 3 x + 5 y + 6, z = − 3
A+^ =
En primer lugar escalonamos la matriz ampliada:
F′ 1 = 12 F 1 −→
F′ 2 = F 2 − F 1 −→ F ′ 3 = F 3 − 3 F 1
Ejemplo 25 Dada la matriz
A =
calculamos su determinante:
det (A) = −3 + 0 + 0 −
Puesto que es distinto de 0, su forma reducida es R(A) =
En general, si la matriz A es singular o no es cuadrada, utilizaremos el m´etodo de Gauss-Jordan para calcular la forma reducida.
Ejemplo 26 Para calcular la forma reducida de
A =
procedemos a reducirla por filas:
F 1 ↔ F 2 −→
F′ 2 = F 2 + 2 F 1 −→ F′ 3 = F 3 + 3 F 1
F′ 2 = −F 2 −→
F′ 3 = F 3 + 5 F 2 −→
F′ 1 = F 1 + 2 F 2 −→
y obtenemos que la forma reducida de A es
R(A) =
Definici´on 14 Dada una matriz A ∈ Mm×n llamaremos rango de la matriz A al n´umero de pivotes que tiene su forma reducida.
Como ocurre con las matrices escalonadas, el rango de una matriz A ∈ Mm×n ser´a, como m´aximo, menor o igual que el n´umero de filas y que el n´umero de columnas:
rango(A) ≤ m´ın {m, n}.
Cuando la matriz A es cuadrada, s´olo tiene rango m´aximo si su determinante es distinto de cero.
Puesto que todas las matrices escalonadas equivalentes a A tienen el mismo rango (el mismo n´umero de pivotes) no es necesario reducirla para determinar su rango, basta con escalonarla.
Ejemplo 27 Vamos a calcular el rango de la matriz
Procedemos a escalonarla:
F 1 ↔ F 3 −→
F′ 2 = F 2 + F 1 −→ F′ 3 = F 3 − 3 F 1
F′ 3 = F 3 + 2 F 2 −→
(^) rango = 2.
Ejemplo 28 De la matriz A ∈ M 5 sabemos que det(A) = 7. Puesto que el determinante es distinto de 0, la forma reducida es R(A) = I 5 y por tanto rango(A) = 5.
Tambi´en se puede calcular el rango de matrices singulares y de matrices no cuadradas usando deter- minantes. Para ello se usa la siguiente propiedad:
Relaci´on entre rango y determinantes
Si existe una submatriz cuadrada de A (obtenida eliminando filas y columnas de A) de orden k cuyo determinante es distinto de 0 entonces rango(A) ≥ k.
Esta propiedad permite elaborar diversos algoritmos para calcular el determinante de A, pero en gen- eral resultan m´as engorrosos que el m´etodo de eliminaci´on Gaussiana. Sin embargo, hay casos particulares en los que resulta muy ´util.
Ejemplo 29 Vamos a calcular el rango de la matriz
A =
Como m´aximo, el rango de A puede ser 3. Observamos que hay una submatriz cuadrada de orden 3 de A que claramente tiene determinante distinto de 0:
∣∣ = 3^ ·^2 ·^ 1 = 6^6 = 0.
Por tanto rango(A) = 3.
Como ya observamos con los sistemas lineales escalonados, la relaci´on entre el rango de la matriz de coeficientes, el rango de la matriz ampliada y el n´umero de inc´ognitas determina el n´umero de soluciones que tiene el sistema.
Teorema de Rouch´e - Frobenius
Dado un sistema de ecuaciones lineales A · x = b con n inc´ognitas:
(1) Si rango(A) < rango(A+) entonces el sistema es incompatible.
(2) Si rango(A) = rango(A+) = n entonces el sistema es compatible determinado.
(3) Si rango(A) = rango(A+) < n entonces el sistema es compatible indeterminado. La diferencia
n − rango(A)
es el n´umero de par´ametros de los que depende la soluci´on general del sistema.
Veamos unos cuantos ejemplos abstractos para comprender mejor este enunciado.
Si a = − 2 la matriz A+^ es: ( -2 1 0 4 − 2 0
) F′ 2 =^ F 2 + 2^ F 1
−→
rango(A+) = 1
y tambi´en rango(A) = 1. Por tanto el sistema es compatible indeterminado uniparam´etrico.
Ejemplo 34 Consideramos el sistema lineal
a x + y + z = 1 x + a y + z = a x + y + a z = a^2
A+^ =
a 1 1 1 1 a 1 a 1 1 a a^2
Empezamos calculando el determinante de la matriz de coeficientes:
det(A) = a^3 + 1 + 1 −
a + a + a
= a^3 − 3 a + 2.
Si igualamos a 0, para determinar los valores cr´ıticos del par´ametro, obtenemos una ecuaci´on de tercer grado que podemos resolver usando varios m´etodos (de los que el de Ruffini es el m´as conocido).
Si tenemos suerte y el polinomio tiene ra´ıces enteras, ´estas deben ser divisores del t´ermino indepen- diente. Las posibles ra´ıces enteras son por tanto {± 1 , ± 2 }. Probamos cada uno de los candidatos:
a = 1 ⇒ 13 − 3 · 1 + 2 = 0 3 a = − 1 ⇒ (−1)^3 − 3 · (−1) + 2 = 4 7 a = 2 ⇒ 23 − 3 · 2 + 2 = 4 7 a = − 2 ⇒ (−2)^3 − 3 · (−2) + 2 = 0 3
Por tanto son valores cr´ıticos del par´ametro: a = 1 y a = 2. Es f´acil deducir que no puede haber m´as ra´ıces del polinomio y que una de ellas debe ser ra´ız doble, pero en este asunto no importa cu´al.
Caso general: si a 6 = 1 y a 6 = − 2 el determinante de A es distinto de 0 y el rango es igual a 3. Tambi´en el rango de A+^ es igual a 3 y el teorema de Rouch´e-Frobenius nos indica que el sistema es compatible determinado.
Si a = 1 la matriz A+^ es la siguiente:
F′ 2 = F 2 − F 1 −→ F′ 3 = F 3 − F 1
(^) rango(A+) = 1
y tambi´en rango(A) = 1. Por tanto el sistema es compatible indeterminado biparam´etrico.
Si a = − 2 la matriz A+^ es:
F′ 2 = 2 F 2 + F 1 −→ F′ 3 = 2 F 3 + F 1
F′ 3 = F 3 + F 2 −→
luego rango(A+) = 3 mientras que rango(A) = 2. Por tanto el sistema es incompatible.
- Sistemas lineales homog´eneos
Definici´on 15 Un sistema de ecuaciones lineales es homog´eneo si el vector de t´erminos independientes es nulo. Es decir, si es un sistema de la forma
A · x = o
donde A ∈ Mm×n.
Los sistemas homog´eneos siempre son compatibles, ya que tienen al menos la soluci´on trivial x = o.
El conjunto de todas las soluciones de un sistema lineal homog´eneo recibe el nombre de n´ucleo de la matriz de coeficientes A y se representa ker(A).
Cuando rango(A) = n el sistema es compatible determinado y por tanto el n´ucleo de A s´olo tiene un elemento:
ker(A) = {o}
as´ı que vamos a suponer que rango(A) < n para que el sistema lineal homog´eneo sea compatible indeter- minado y ker(A) tenga infinitos elementos.
El n´ucleo de la matriz A tiene la estructura de subespacio vectorial de Rn. Esto significa que:
(i) la suma de soluciones del sistema lineal tambi´en es soluci´on del sistema lineal,
(ii) y el producto de un n´umero por una soluci´on del sistema lineal tambi´en es soluci´on del sistema lineal.
Ejemplo 35 Consideramos el sistema lineal homog´eneo
x 1 − 2 x 2 + 2 x 3 + 8 x 4 = 0 −x 1 + 2 x 2 + x 3 + 4 x 4 = 0 3 x 1 − 6 x 2 + 5 x 3 + 20 x 4 = 0 2 x 1 − 4 x 2 + 5 x 3 + 20 x 4 = 0
A+^ =
Vamos a reducir la matriz ampliada. No indicamos las operaciones elementales ya que resultan obvias:
A+^ ∼
Introducimos como par´ametros las inc´ognitas x 2 y x 4 y despejamos el resto:
x 2 = a ⇒ x 1 − 2 a = 0 ⇒ x 1 = 2 a x 4 = b ⇒ x 3 + 4 b = 0 ⇒ x 3 = − 4 b
as´ı que la soluci´on general del sistema es (x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) = (2 a , a , − 4 b , b).
Podemos separar los par´ametros
(2 a , a , − 4 b , b) = (2 a , a , 0 , 0) + (0 , 0 , − 4 b , b) = a (2, 1 , 0 , 0) + b (0, 0 , − 4 , 1)
y representar el n´ucleo de A del siguiente modo:
ker(A) = { a (2, 1 , 0 , 0) + b (0, 0 , − 4 , 1) : a, b ∈ R }.
Luego todas las soluciones del sistema lineal homog´eneo se pueden escribir como combinaci´on lineal de los vectores v 1 = (2, 1 , 0 , 0) y v 2 = (0, 0 , − 4 , 1).
Definici´on 16 Se dice que un conjunto de vectores no nulos {v 1 ,... vk} forman una base de ker(A) si:
(1) los vectores pertenecen a ker(A),
(2) son linealmente independientes,
(3) cualquier otro vector de ker(A) se puede escribir como combinaci´on lineal de ellos.
