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MATEMÁTICAS TIMONMATE
EJERCICIOS RESUELTOS DE LOGARITMOS Juan Jesús Pascual
LOGARITMOS
A. Introducción Teoría
A.1. Definición de logaritmo.
A.2. Logaritmos naturales.
A.3. Cambio de base.
A.4. Propiedades.
B. Ejercicios resueltos
B.1. Dado un logaritmo, hallar su valor.
B.2. Dada una expresión logarítmica, hallar su valor.
B.3. Hallar el término desconocido.
B.4. Desarrollar expresiones logarítmicas
B.5. Escribir como un solo logaritmo.
A. INTRODUCCIÓN TEÓRICA
A.1 Definición de logaritmo:
Sea x un número. El logaritmo de ese número es el exponente al que hay
que elevar cierta base b para obtener x:
y
x b y log x
b
Ejemplo:
El logaritmo de 16 en base 2 es el exponente al que hay que elevar la
base 2 para obtener 16, es decir, cuatro:
2
log 16 = 4 , ya que
2
y
16 = 2 ⇔ y = log 16 = 4
Logaritmos resueltos TIMONMATE
A.2 Logaritmos naturales:
Los logaritmos que tienen como base al número e, son llamados
“logaritmos naturales”. Se simbolizan con la abreviatura ln.
e
ln x =log x
A.3 Cambio de base en los logaritmos:
Si queremos expresar
a
log x mediante
b
log x sólo tenemos que tener en
cuenta que:
a
b
a
log M
log M
log b
A.4 Propiedades:
I.
a a a
log MN = log M +log N
II.
p
a a
log M = p log M⋅
III.
a a a
M
log log M log N
N
IV.
a
log 1 = 0
V.
a
log a = 1
VI.
a
log b
a =b
B. EJERCICOS RESUELTOS
B.1. Dado un logaritmo, halla su valor:
6
2 2 2
log 64 =log 2 = 6 log⋅ 2 = 6 1⋅ = 6
1
2
2 2 2
log 2 log 2 1
l g
o 2 = = ⋅ = ⋅ =
1 1
2
1 1 1 1
2 2
1
2 2 2
log 2 log 2 log 1 log
l
og
−
( )
1 4 1
5 4 4
5
5
1
5
1 1 1 1 1
3 3 3 3 3 3
log 3 log 3 log 3 log 3 log
lo 81
g
−
1
3
1 log 1
Logaritmos resueltos TIMONMATE
2 4
2
3
log log log
2 4
2 2 3
log 2 log 10 log log 2 log log 5
( )
2 log 2 2 log 10 2 log 2 log 10 3 log 2 4 log 2 log 10 log
( ) ( ) ( )
2 log 2 2 2 1 log 2 2 3 log 2 4 log 2 1 1 log 2
log 2 log 2 log 2 2 log 2 log 2 log 2
log 2 1, 33
1
1 6 2
6
5 5 6
a 1 a 1 3
3
5
a 1
a a a
a 1
log a a log log a
a
log log
a a
a a log
a
3
a a b a b
b
1 b
log log log a b
a b a
− +
1
1 1
3 2
a a b a b
b
a
log a b log log a b
b
−
− +
( ) ( )
a a b a b
b
1 a 1 1 1 1
log a b log log a b 1
3 b 2 3 2 6
− +
( )
3
3 5 2 2 3
a b a b
log a a log b : b log ab
−
⋅
1 10 8
3 5 8
3 3 5
a b a b
log a a log b 3 log a log b 3 3
−
−
TIMONMATE Logaritmos resueltos
a a b
b
a b
1 b
log log
a b a
log a b
−
1
1
2
a a b
b
1
2
a b
a
log a b log
b
log a b
−
−
−
a a b
b
a b
1 a
log a b log
2 b
log a b
−
5
2 2 2
2 2
log 8 log 16 log
2 log 4 3 log 2
( )
1
3 4 3
5
2 2 2
2 3
2 2
log 2 log 2 log 2
log 4 log 2
−
3
5
2 2 2
2 2
log 2 4 log 2 3 log 2
4 log 2 3 log 2
2 2 2 2
2 2 2 2
log 8 log log log
log 40 log 10 log 2 log 4
( )
( )
( )
( )
3 2 1 2 3
2 2 2 2 2 2
3 2
2 2 2 2 2 2
log 2 log 2 log 5 log 5 log 5 log 2
log 2 log 2 log 5 log 2 log 5 log 2
−
( )
( ) ( )
( )
2 2 2
2 2
3 1 2 log 5 log 5 2 log 5 3
log 5 3 log 5 1 1 2
2 2
2 2
4 2 log 5 3 log 5 3
2 log 5 1 log 5 1
3 2
b 4
log
−
. Datos:
b
b
b
log 2 4
log 3 2
log 5 3
( ) ( )
3 2
3 2 4
b b b 4
log log 7, 2 0, 006 log 25 3, 2
−
−
( )
3 4
2 2 2 4
2
b b b b 2 3
log log log 5 log
−
[ ] [ ]
b b b b b b
= 3 2 log 2 + 2 log 3 − log 5 − 2 log 3 − 2 log 2 − 3 log 5 −
TIMONMATE Logaritmos resueltos
B.5. Escribir como un solo logaritmo:
( ) ( )
2
3
2
2
xy y x
log xy log log
x
log x log
x
y 2 log
y y x
y
( )
2
2 2
2 ln a b ln a b ln a b ln a b a b
2
2
a b
ln a b ln a b a b ln
( a + b) ( a −b)
a b
ln
a b
4
2 2
1
4
4
2
2 2
a b a b
log log
a a
a b 1 a b
4 log log
a 2 a
2
2 2 2 2
4
2 2 2 2 4 2 2 4
2
a b
a b a a b a b
a
log log log log
a a a b a a b
a
( )
2
2 2 2
log log a
a
−
5 5 5
2 log x log b x 2 log 7
1
2 x 2
3
5 5 5
log x log b log 7
2 2 x 2 2 x 2
x 2
5 5 5 5 1 1 3
3 3
x x 7 x 7
log log 7 log log
b
b b
a b ay a b c ay
log log
b
c
log log log log
b c d xd c d xd
a a
ay a x
cd cd
log log log log log
ay ay
cd xd cy
xd xd
Logaritmos resueltos TIMONMATE
( )
2
2 2 2 2
x y x 1
log xy log log
y 2 2
2 2 2 4
3
2 2 2 2
2
xy x y x y x y
log log log y log
x
y
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