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4º ESO / Matemáticas Académicas / Logaritmos
LOGARITMOS
PROPIEDADES
log (^) ax existe x 0
log a x = log ay x = y
log (^) aa = 1
log (^) a 1 = 0
Logaritmo de un producto: log a (^) ( x y )=log ax +log ay
Logaritmo de un cociente: x y y
x log (^) a (^) =log a −log a
- Logaritmo de una potencia: x n ax
n log (^) a = log
- Cambio de base: a
x x b
b a log
log log =
- log
k a a^ = k
log a k a = k
EJERCICIOS
- Calcula (aplicando la definición) el valor de los siguientes logaritmos:
- log 327 2) log 2128 3) log 64
2
(^1)
- log 232 5)
3
3
log 1 9
- log 0 , 25 2 2
2
log 2 8
(^) 8) log 0 , 5316 9) ln 5 e^2 10)
2 ln
e
e
- log 0 , 0001 12) log 0 13)
6 (^) log (− 10 ) 14) log ( 10 )
6 (^) − 15) log 55 5
- log 0 , (^01) 17) log 6 5 216 −^1 18) log 0 , 04
5
1
3
log 1024
20)^3
log 128 2
log
4
9
4
3
log 27
(^) 23) log 2 (− 16 ) 24) 3
ln e
25)log (^) − 381
2
(^5 )
log 25
−
- 1 34
log 3
1
(^2 )
log 2
− −
3
2
1 3 2
log 128
9
log 27
DEFINICIÓN log x = y a = x a 0 a 1
y a
Logaritmo decimal: Llamamos logaritmo decimal al logaritmo en base 10 y lo designamos por (^) log x en
lugar de log 10 x.
Logaritmo neperiano: Llamamos logaritmo neperiano al logaritmo en base e y lo designamos por ln x en
lugar delog ex
4º ESO / Matemáticas Académicas / Logaritmos
2
- Calcula (utilizando la definición de logaritmo) el valor de:
5
log log 243 log 5 4
− + 2) log 6 log 2 2 7
log 2 60 , 5 −log 49 − 216 − 4
4
3 log 128 2 log 0, 25 8 log 3
3 3 0,5 25 3
log 81 log 32 12 log (^4 5 )
- Utilizando la definición de logaritmos, halla el valor de 𝑥 en cada caso (racionaliza denominadores en el
resultado si fuese posible) :
- log (^) x 7 =− (^2) 2) 2
log (^) x 7 = 3) log 7 x^4 = 2 4) 4
1
2
1 log (^) x =−
- log 7 ( 7 x )= 2 6) 2
log (^) x =− 7) log (^) x 0 , 001 =− 3 8) 2
log 2 x =−
log 3
x = − 10) 3
log
8
1 x = 11) log (^) xe =− 3 12)
3
log (^) x 3 =−
- Toma logaritmos en las siguientes expresiones y desarrolla:
5
3
z
x y t
(^) = 2) 3 5 2 (^) s = x y z 3)
4
5
A D B C
=
3
A E B C
=
2 3 A^ B E C D
2 3 2
A E B C D
=
- Halla el valor de A :
- log C 3 log A log 2 2 log B 2
= − + 2) A log B log C 3 log D 3
log 3
- 2 −log D = 2 log A − 3 log B − 4 log C 4) A B C log D 3
log log 3
log = − + −
- Calcula (utilizando la definición de logaritmos y/o sus propiedades) el valor de las siguientes expresiones:
- log 3 log 2 ( 10 +log 0 , 01 ) 2) log 5 ( 255 0 , 0082 )= 3)
3 2
2
log 2
2
25
log 0,5 2
- Expresa en función de log 2 y log 3(utiliza el cambio de base si fuese preciso):
- log 12 2) log 0 , (^0002) 3) log^5 6 4) log 27000
log 6)^ log^0 ,^0125 7)^ log^5 0 ,^48 8) 4
log 0, 6
log 3 , 6 10) log (^360) 11) log( 5 ^39 ) 12)log( 0 , 6 ^3 4 )
log 332 14) log 281 15) log 40 , 3 16)log 227
log 83 18)^ log^38 19) log 0 , 553
2
log 0, 03
- Comprueba que 6
log
log
log
3
a
a a
(siendo a 1 )
Matemáticas Académicas / 4º ESO LOGARITMOS
Ejercicio 1
- log 27 3 27 3 3 3
3 3 =^ y^ = = y =
y y
- log 128 2 128 2 2 7
7 2 =^ y^ = = y =
y y
- ( )
1 6 6 1 2
log 64 64 2 2 2 2 6 6 2
y y (^) y y y y
- ( ) ( ) 5 10 2
log 32 2 32 2 2 2 2
1 / 2 5 / 2 5 2 =^ = = = = y =
y y
y y y
3 3 1 3 2 2/ 1 3
log 9 9 (3 ) 3 3 3 3 3 3
y y y y y y
- ( ) ( )
3 1 1/2 3/2 2 2 2 2 2
log 0, 25 2 2 0, 25 2 2 (2 ) 2 2 4 2
y y y (^) y y
− = = = = =
=− y =−
y
1 (^1 2 3 5) 5/ 2
log (2 ) 2 2 2 8 2 2 8 2 2 2 2
y y y y y
y y
− − = =
3 3 3 4 1 4/3 4/ 0,
log 16 0,5 16 2 (2 ) 2 2 2 2 3
y y y y y y
y = −
ln e e
5 2 5 2 2 / 5 e = y = e = e y =
y y
ln
3 / 2 1 / 2
2 2 2 = = = e = e y = e
e e e
e y e e
e (^) y y y
11)log 0 , 0001 10 0 , 0001 10 10 4
4 = = = =−
− y y
y y
- log 0 = (no existe)
13)log ( 10 ) 10 ( 10 ) 10 10 6
6 6 6 − = y = − = y =
y y
14)log ( 10 ) ( 10 0 )
6 6 − = −
15)log 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 3 / 2
1 / 2 3 / 2 5 =^ y^ = = = y =
y y y
4º ESO Matemáticas Académicas LOGARITMOS
2 1 log 0, 01 10 0, 01 10 10 10 10 1
y y y y y
− − = = = = = −
5 1 5 1 5 3 1 5 3 3/ 6
log 216 6 216 6 (6 ) 6 6 6 6 5
y y y y y y
− − − − − = = = = = = −
1 1/2 /2 2 1 2 5
log 0, 04 0, 04 5 (5 ) 5 5 5 25 5
y y y y y
− =− y =
y
log
2 10 / 3 3 10
2 (^4 )
− y y y
y y y
3 3 7 1/3^7 1/ 128
log 2 128 2 (2 ) 2 2 2 7 3 21
y y y = y = = = y = y =
log
2 7 / 4 2
1 / 4 2
4 4
9
− − − y y y
y y
y
4 4 4 1/ 5/ (^3 3) 3/
log 3 3 3 3 3 27 27 3 3 4
y y y y y y
− = = = = = = −
23)log 2 (− 16 )=
ln
3 3 =^ = 3 = =−
− e e y e
y e e
y y
25)log− 381 =
2 2 2 2 8/ (^5 3 3) 2/ 3 2
log 5 5 5 5 5 25 25 5 3 5
y y y y y y
− − − − − = = = = = = −
2 1 7/ (^1) 1/ 4 4 3
log (3 ) 3 3 3 3 3 3 4 4
y y y y y y
1 1 1/2 (^2) 2 3 3 1/3 1/
log 2 (2 ) 2 2 2 2 2
y y y y
− − −^ −
1 4 2 2 2 3 1/3 1/
y y y y y
− (^) − = = = = − = −
3
2 2 1 2 2 1/ (^1 3 33) 1/3 7/ 3 7 2
log 2 128 2 128 2 2 2
y (^) y y y
− − (^) − = (^) = (^) = = (^)
4º ESO Matemáticas Académicas LOGARITMOS
log 32 12 log 5
log 81 4
0 , (^5253)
3 3 = + − =−
3 3 3 4 4/ 3
log 81 3 81 3 3 3 3 3
y y y = y = = = y =
log 32 0,5 32
5 5 0 , 5 = = − = =−
− y y y
y
y y
2 1/ (^25 3 )
log 25 5 5 2 5 5 3 6
y y y y y
− = = = = − = −
Ejercicio 3
log 7 2 7 ( 0 ) racionalizar
2 2
2 = − = = = = = =
− x x x x x
x x
x
log 7
1 / 2 2 2 x =^ x = x = x = x =
- log 2 7 7 7 simplif.
4 2 4 4 2 7 x =^ = x x = x =
log
1 / 4 4 4 4 4 1 / 4
1 / 4 = − = = = = = =
− x x x x x
x x
- log ( 7 ) 2 7 7 49 7 7
2 7 x =^ = x = x x =
log
1 / 2 2 2 1 / 2
1 / 2 = − = = = = = =
− x x x x x
x x
- log 0 , 001 3 0 , 001 10 10
3 3 3 = − = = =
− − − x x x x
1/ (^2) 1/
log 2 2 2 2 racionalizar 2
x x x x x
− = − = = = =
3 3 1/ (^25) 1/3 (^3 3 2 )
log 25 3 25 25 5 5 5
x x x x x x
log 3
1 / 3
8
x = x x x
(^3 3 3 ) (^3 )
log (^) x e 3 x e e 1 e x x x x x e e (^) e
− = − = = = = = =
3 2 3 2
racionalizar^33
1 e e x x e e e
log 3
3 1 / 3 3 3 3 1 / 3
1 / 3 =
− x x x x x
x x
Matemáticas Académicas / 4º ESO LOGARITMOS
Ejercicio 4
3 3 3 5 3 5 (^5) (2) log^ log^5 (6) log^ log(^ )^ log^ (5) log^ log^ log^ log
x y x y t t t x y z t x y z z z
= = = − = + −
(7)
log t = 3log x + log y −5log z
2)^3 5 2 3 5 2 ( 3/2^ 5/2 ) (2) (5)
s = x y z log s = log x y z log s = log x y z
3/2 5/ (7)
log log log log log log log log 2 2
s = x + y + z s = x + y + z
4 4 4 5 1/ (^5) (2) log^ log^5 1/2 (6) log^ log^ log(^ )
A A
D D D A B C
B C B^ C
4 5 1/ (5) (7)
log log (log log ) log 4log 5log log 2
D = A − B + C D = A − B − C
1/2 (^) 1/
(^3) (2) log^ log^ 1/3^ log^ log^ 1/3^ log^ log 1/2^ 1/6 (6)
A A A A
E E E E
B C B C^ B C^ B^ C
^ ^
^ ^
( )
1/2 1/2 1/6 1/2 1/2 1/ (5) (7)
log E = log A − log B C log E = log A − (log B + log C )
E A B log C 6
log 2
log 2
log = − −
2 2 3 3 3 2 1/ (2) log^ log^ 1/2 (6) log^ log(^ )^ log(^ )
A B A B
E E E A B C D
C D C D
3 2 1/ (5) (7)
log (log log ) (log log ) 3log 2log log log log 2
E = A + B − C + D E = A + B − C − D
2 2 2 1/ 3 3 (^2) (2)^ log^ log^ 1/2 2 log^ log 1/2 2
A A A E E E B C D B D^ D^ B C^ D
= = = (^) ^ ^ ^
( )
2/ 2/3 1/3 1/6 2/ log log (^) 1/3 1/6 2/3 (^) (6) log log log (5)
A
E E A B C D
B C D
^
2/3 1/3 1/6 2/ (7)
log E = log A − (log B + log C + log D )
E A B C log D 3
log 6
log 3
log 3
log = − − −
Matemáticas Académicas / 4º ESO LOGARITMOS
- ( ) ( ) ( )
log 0,6 4 log 2 log 2 3 10 2 log 2 3 10 10
( )
5/3 1 5/3 1
1
log 2 3 10 = log 2 log 3 log10 log 2 log 3 log10 log 2 log 3 1 3 3
− − = + + = + − = + −
En los ejercicios siguientes hay que aplicar en primer lugar el cambio de base a
x x b
b a log
log log =
5
3
log 32 log 2 5log 2 log 32 log 3 log 3 log 3
4
2
log81 log 3 4log 3 log 81 log 2 log 2 log 2
log 0,3 log(3 /10) log 3 log10 log 3 1
log 0,
log 4 log 2 2log 2 2log 2
3
2 1/
log 27 log 3 3 log 3 6log 3 log 27 log 2 log 2^1 log 2 log 2 2
log 3 log 3 log 3 log 3 log8 log 2 3log 2
3
3 1/
log8 log 2 3 log 2 6log 2 log 8 log 3 log 3^1 log 3 log 3 2
5 1/ 5 0,5 (^1)
log 3 log 3 log 3 5 log 3 log 3 log 0,5 log 2 1 log 2 5 log 2
−
3 2 3 3 2 2 1/ 3 (^1) 1/ 2
log (^) log(3 10 ) log 0, 03 100 log 3 10 log(3 10 ) 3 log 0, 03 (^1) log 2 1 1 1 log log 2 log 2 log 2 2 2 2 2
− − −
−
1 2 2 2 log(3 10 ) 2 log 3 log10 2 log 3 2 log10 2 log 3 2 2log 3 4 4 2log 3 = 3 log 2 3 log 2 3 log 2 3 log 2 3log 2 3log 2
− − + − − − − − = − = − = − = − =
