Lógica, Ejercicios de Análisis Matemático

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L´ogica 1

Enrique Casanovas

Curso 1999 - 2000

• 1. Axiomas de la Teor´ıa de Conjuntos Indice general
• 2. Operaciones Booleanas
• 3. Relaciones
• 4. Equivalencia y Orden
• 5. Funciones
• 6. N´umeros Naturales
• 7. Conjuntos Finitos y Conjuntos Infinitos
• Bibliograf´ıa
• ´Indice de Materias

la puerta a la Teor´ıa de Conjuntos contempor´anea, donde a menudo no se demuestran teoremas sino que se demuestra que ciertos enunciados son indemostrables o irrefutables. Pero estas cuestiones no pueden ser tratadas en esta asignatura. Aqu´ı s´olo se va a efectuar una introducci´on a la axiom´atica y al tratamiento de las nociones de infinito y de n´umero cardinal.

La parte de la Teor´ıa de Conjuntos que se ense˜na en esta asignatura es bastante ele- mental. Se introducen nociones y se exponen resultados que son necesarios para poder de- sarrollar posteriormente otras partes de la L´ogica, en particular la Sem´antica de la L´ogica de Primer Orden. Por otro lado esta asignatura est´a destinada a ense˜nar a hacer demostra- ciones, de manera que se concede una especial importancia a la manera en que los teoremas se van justificando.

La Teor´ıa de Conjuntos habla esencialmente de conjuntos. Sin embargo no se debe esperar encontrar una definici´on de qu´e es un conjunto, no es frecuente que las teor´ıas definan los objetos de los que hablan y normalmente s´olo dan una descripci´on parcial de ellos. De hecho aqu´ı hablaremos no s´olo de conjuntos, sino que hablaremos m´as generalmente de objetos. Ciertos objetos ser´an conjuntos y otros no. Estos ´ultimos se llamar´an objetos primitivos. Los conjuntos se formar´an con objetos primitivos y con conjuntos ya formados. Puede hacerse Teor´ıa de Conjuntos sin considerar m´as objetos que los conjuntos, es decir, sin objetos primitivos. En ocasiones se llama Teor´ıa de Conjuntos Puros. De hecho en la mayor´ıa de los libros de texto se encuentra expuesta la Teor´ıa de Conjuntos Puros. La raz´on es que la eliminaci´on de los objetos primitivos simplifica la escritura de los enunciados y adem´as se puede justificar f´acilmente que no hay realmente una gran p´erdida eliminando estos objetos primitivos pues pueden ser convenientemente simulados mediante conjuntos puros. Aqu´ı mantendremos los objetos primitivos en la presentaci´on de la teor´ıa aunque no tendr´an un papel muy relevante.

Entre los objetos de los que la teor´ıa habla hay una relaci´on establecida, la relaci´on de pertenencia. Se dice que un objeto es elemento de otro si le pertenece, es decir, si est´a relacionado con ´el mediante esa relaci´on de pertenencia. Los objetos primitivos no tienen elementos pero pueden ser elementos de otros objetos. Los conjuntos pueden tener o no tener elementos. Veremos que hay un ´unico conjunto sin elementos. Por otro lado los conjuntos pueden ser elementos de otros objetos, es decir, tendremos conjuntos de conjuntos, conjuntos de conjuntos de conjuntos, etc.

La Teor´ıa de Conjuntos es una teor´ıa y como tal es un conjunto de enunciados de un cierto lenguaje. En este caso el lenguaje es el de la L´ogica de Primer Orden con un s´ımbolo “∈” para la relaci´on de pertenencia. Usamos por tanto el s´ımbolo de igualdad, conectores l´ogicos, cuantificadores, par´entesis y variables. Para distinguir los conjuntos entre los objetos de los que hablamos usamos dos tipos de variables: min´usculas x, y, z,... para objetos cualesquiera y may´usculas A, B, C,... para conjuntos. En la pr´actica este lenguaje se ampliar´a en distintas direcciones:

introduciremos nuevos s´ımbolos mediante definiciones,

introduciremos m´as tipos de variables para ciertos tipos de conjuntos,

usaremos el lenguaje natural mezclado con el lenguaje formal para poder expresar los hechos de modo m´as natural y comprensible.

Esta ampliaci´on del lenguaje es inesencial. Todo enunciado del lenguaje ampliado tiene una traducci´on al lenguaje formal inicial.

Los enunciados de la teor´ıa de conjuntos est´an organizados en tres categor´ıas: axiomas, definiciones y teoremas. Los axiomas caracterizan a la teor´ıa. No precisan ser demostrados aunque su significado puede ser explicado y discutido. Las definiciones tampoco se demues- tran, sirven s´olo para ampliar el lenguaje y facilitar as´ı la expresi´on breve de enunciados complejos. Los teoremas deben ser demostrados a partir de los axiomas, las definiciones y otros teoremas previamente demostrados. Los lemas, las proposiciones y los corolarios son teoremas. Se llaman de estas maneras diversas seg´un su importancia, el motivo por el que se enuncian o la facilidad con que se demuestran a partir de otros teoremas.

Los axiomas de la Teor´ıa de Conjuntos se ir´an introduciendo poco a poco y se inter- calar´an definiciones y teoremas en ese proceso. La teor´ıa no estar´a totalmente presentada hasta el final.

Axioma 1.1 (Axioma de Extensionalidad) Conjuntos con los mismos elementos son iguales.

El hecho de que los conjuntos A y B tienen los mismos elementos se expresa con la f´ormula ∀x(x ∈ A ↔ x ∈ B)

o, si se prefiere, mediante

∀x(x ∈ A → x ∈ B) ∧ ∀x(x ∈ B → x ∈ A).

Por tanto el Axioma de Extensionalidad se enuncia en el lenguaje formal como sigue:

∀A∀B(∀x(x ∈ A ↔ x ∈ B) → A = B).

Una manera alternativa de expresarlo consiste en decir que si A y B son conjuntos distintos, entonces no tienen los mismos elementos, es decir A tiene un elemento que B no tiene o B tiene un elemento que A no tiene:

A 6 = B → ∃x(x ∈ A ∧ x 6 ∈ B) ∨ ∃x(x ∈ B ∧ x 6 ∈ A).

Obs´ervese que, con independencia del Axioma de Extensionalidad y por motivos pura- mente l´ogicos, es cierto que

A = B → ∀x(x ∈ A ↔ x ∈ B).

Si juntamos esto con el Axioma de Extensionalidad obtenemos que

Proposici´on 1.2 ∀x(x ∈ A ↔ x ∈ B) ↔ A = B

Esto nos permite eliminar la igualdad en A = B utilizando en su lugar la expresi´on ∀x(x ∈ A ↔ x ∈ B).

Definici´on Decimos que A est´a incluido en B o que A es un subconjunto de B y escribimos A ⊆ B si todos los elementos de A son elementos de B, esto es,

A ⊆ B ↔ ∀x(x ∈ A → x ∈ B).

Para decir que A no est´a incluido en B escribimos A 6 ⊆ B. Obs´ervese que A 6 ⊆ B significa que alg´un elemento de A no es elemento de B pero no significa que todos los elementos de A est´en fuera de B.

Proposici´on 1.5 No hay ning´un conjunto A tal que ∀x(x ∈ A ↔ x 6 ∈ x), es decir, {x : x 6 ∈ x} no existe.

Prueba. Efectuando una prueba indirecta supongamos lo contrario, es decir, que existe un conjunto A tal que ∀x(x ∈ A ↔ x 6 ∈ x).

Esto vale en particular para el caso x = A, de modo que

A ∈ A ↔ A 6 ∈ A

lo cual es una contradicci´on.

Si bien es cierto que no toda propiedad determina un conjunto, tambi´en es verdad que es habitual en la teor´ıa intuitiva de conjuntos utilizar propiedades para formar conjuntos tomando los elementos de un cierto conjunto previamente formado que tengan la propiedad en cuesti´on, es decir separando los elementos del conjunto que tienen la propiedad de los que no la tienen. En la teor´ıa axiom´atica tambi´en podemos hacer eso.

Axioma 1.6 (Esquema de Separaci´on) Si P es una propiedad expresable en el lenguaje de la teor´ıa de conjuntos, para cada conjunto X existe el conjunto {x : x ∈ X ∧ P (x)}, es decir hay un conjunto A tal que ∀x(x ∈ A ↔ x ∈ X ∧ P (x)).

Obs´ervese que el Esquema de Separaci´on no es un simple axioma sino una infinidad de axiomas: a cada propiedad P le corresponde un axioma de separaci´on, el axioma

∀X∃A∀x(x ∈ A ↔ x ∈ X ∧ P (x)).

Obs´ervese tambi´en que el Esquema de Separaci´on no sirve para obtener conjuntos a no ser que se tengan ya conjuntos. Pero en alg´un momento habr´a que empezar a tener conjuntos por alg´un otro medio. Para ello ser´an necesarios otros axiomas.

El hecho de que exijamos que la propiedad P sea expresable en el lenguaje de la teor´ıa de conjuntos no es ret´orico. Se obtienen contradicciones en la teor´ıa si este punto no se respeta. Un ejemplo de ello es la llamada paradoja de Richard. Consiste en lo siguiente. Consideremos el conjunto N de los n´umeros naturales. La existencia de ese conjunto puede garantizarse con los axiomas de la teor´ıa de conjuntos. Consideremos ahora la propiedad P que consiste en ser un objeto definible en castellano utilizando menos de 23 palabras. No est´a nada claro que esa propiedad pueda expresarse en el lenguaje de la teor´ıa de conjun- tos. Puede haber discusiones acerca de cu´ales son exactamente las palabras del castellano. Imaginemos que hemos fijado un determinado fragmento con rigor y que ese fragmento contiene s´olo un n´umero finito de palabras, por ejemplo todas las que alguna vez hayan aparecido escritas. Eliminada esta ambig¨uedad comenzamos la discusi´on. Supongamos que existe el conjunto A = {x : x ∈ N ∧ P (x)}. Veremos que ello conduce a contradicciones. Como no tenemos m´as que un n´umero finito de palabras, no hay m´as que un n´umero fini- to de propiedades expresadas mediante 23 palabras en castellano. Eso quiere decir que el conjunto A es finito y con ello que su complemento N r A es infinito y en particular no es un conjunto vac´ıo. Es un hecho que todo conjunto no vac´ıo de n´umeros naturales tiene un menor elemento. Por tanto N r A tiene un menor elemento n. Obs´ervese que n 6 ∈ A. Pero n es el menor n´umero natural que no pertenece al conjunto de los n´umeros naturales definibles en castellano mediante menos de 23 palabras. Esta es una definici´´ on de n que usa menos de 23 palabras. Como n es entonces definible con menos de 23 palabras, n ∈ A. Esto

es una contradicci´on.

Enunciamos ahora un axioma que nos garantiza que hay conjuntos. Este axioma resulta redundante si se hace Teor´ıa de Conjuntos Puros, es decir si todos los objetos considerados son conjuntos.

Axioma 1.7 (Axioma de Existencia de Conjuntos) Hay conjuntos, esto es, ∃A A = A.

Proposici´on 1.8 Existe un conjunto sin elementos, es decir, ∃A∀x x 6 ∈ A.

Prueba. Por el Axioma de Existencia de Conjuntos sabemos que hay al menos un conjunto B. Aplicamos el esquema de separaci´on al conjunto B y a la propiedad x 6 = x obteniendo con ello que A = {x : x ∈ B ∧ x 6 = x} es un conjunto. Obviamente A no puede tener elementos, pues si x ∈ A entonces x 6 = x.

Proposici´on 1.9 Hay a lo sumo un conjunto sin elementos. Formalmente,

∀x x 6 ∈ A ∧ ∀x x 6 ∈ B → A = B.

Prueba. Sean A y B conjuntos sin elementos. Entonces A y B tienen los mismos elementos, esto es, ∀x(x ∈ A ↔ x ∈ B). Por el Axioma de Extensionalidad, A = B.

En virtud de las dos ´ultimas proposiciones sabemos que hay un ´unico conjunto sin elementos. Esto nos permite hacer la siguiente definici´on.

Definici´on El conjunto vac´ıo, ∅, es el ´unico conjunto que no tiene elementos.

La propiedad x 6 = x determina entonces un conjunto, el conjunto vac´ıo. Podemos escribir

∅ = {x : x 6 = x}.

Observaciones 1.10 1. ∀x x 6 ∈ ∅

2. ∀x x 6 ∈ A → A = ∅
3. para cualquier propiedad P , ∀x(x ∈ ∅ → P (x))
4. ∅ ⊆ A
5. A ⊆ ∅ → A = ∅

Si bien hay un conjunto m´ınimo, el conjunto vac´ıo, veremos ahora que no hay un conjunto m´aximo. El proceso de construcci´on de conjuntos no puede darse nunca por acabado.

Proposici´on 1.11 No hay un conjunto universal, es decir, un conjunto al que pertenezcan todos los objetos. Formalmente, ¬∃A∀x x ∈ A

{{∅}} es {∅}. Por su parte {∅, {∅}} es un conjunto con dos elementos y por ello no puede ser igual a los anteriores. El conjunto vac´ıo pertenece a algunos conjuntos pero no a todos. Sin embargo est´a incluido en todos. Puede ayudar a comprender estas nociones el desci- frar qu´e relaciones de pertenencia e inclusi´on se dan entre los siguientes conjuntos: A = ∅, B = {∅}, C = {{∅}}, D = {∅, {∅}}, E = {∅, {{∅}}}, F = {{∅}, {{∅}}} y G = {{∅, {∅}}}.

Cap´ıtulo 2

Operaciones Booleanas

En este cap´ıtulo vamos a tratar de las operaciones de uni´on, intersecci´on y diferencia de conjuntos. Se introducir´an algunos nuevos axiomas. Las operaciones de intersecci´on y diferencia de conjuntos pueden obtenerse aplicando el esquema de separaci´on. Lo explicamos a continuaci´on.

Proposici´on 2.1 1. Dados dos conjuntos A y B existe siempre un tercer conjunto C cuyos elementos son los elementos comunes a A y a B, esto es

∀AB∃C∀x(x ∈ C ↔ x ∈ A ∧ x ∈ B)

2. Dados dos conjuntos A y B existe siempre un tercer conjunto C cuyos elementos son los elementos de A que no son elementos de B, esto es,

∀AB∃C∀x(x ∈ C ↔ x ∈ A ∧ x 6 ∈ B)

Prueba. El primer conjunto se obtiene aplicando el esquema de separaci´on al conjunto A y a la propiedad x ∈ B. El segundo se obtiene aplic´andolo al conjunto A y a la propiedad x 6 ∈ B.

Definici´on La proposici´on anterior nos asegura que tanto {x : x ∈ A ∧ x ∈ B} como {x : x ∈ A ∧ x 6 ∈ B} existen. El primer conjunto se llama intersecci´on de A y B y se denota con A ∩ B. El segundo conjunto se llama diferencia de A y B y se denota A r B.

La operaci´on de uni´on no puede obtenerse de ese modo. Necesitamos un axioma es- pec´ıfico que garantice su existencia. Introducimos de momento una versi´on d´ebil de este axioma.

Axioma 2.2 (Axioma de Uniones. Primera versi´on) Dados dos conjuntos A y B exis- te siempre un tercer conjunto C cuyos elementos se obtienen a˜nadiendo a los elementos de A los de B, es decir ∀AB∃C∀x(x ∈ C ↔ x ∈ A ∨ x ∈ B)

Definici´on El axioma anterior nos asegura que {x : x ∈ A ∨ x ∈ B} existe. El conjunto {x : x ∈ A ∨ x ∈ B} se llama uni´on de A y B y se denota con A ∪ B.

c) A r C = B r C → A ∪ C = B ∪ C d) A r B = B r A ↔ A = B

Las relaciones m´as importantes que hay entre estas operaciones de uni´on, intersecci´on y diferencia por un lado y la inclusi´on por el otro est´an resumidas en la siguiente proposici´on. Se muestra que cada una de estas operaciones permite caracterizar la inclusi´on y que a su vez todas ellas son caracterizables en t´erminos de la inclusi´on.

Proposici´on 2.6 1. A ⊆ B si y s´olo si A ∪ B = B.

2. A ⊆ B si y s´olo si A ∩ B = A.
3. A ⊆ B si y s´olo si A r B = ∅.
4. A ∪ B es el menor conjunto que incluye a A y a B, es decir

a) A ⊆ A ∪ B y B ⊆ A ∪ B. b) Si C es un conjunto que cumple las condiciones A ⊆ C y B ⊆ C, entonces A ∪ B ⊆ C.

5. A ∩ B es el mayor conjunto que est´a incluido en A y en B, es decir

a) A ∩ B ⊆ A y A ∩ B ⊆ B. b) Si C es un conjunto que cumple las condiciones C ⊆ A y C ⊆ B, entonces C ⊆ A ∩ B.

6. A r B es el mayor conjunto que est´a incluido a A y es disjunto de B, es decir

a) A r B ⊆ A y (A r B) ∩ B = ∅. b) Si C es un conjunto que cumple las condiciones C ⊆ A y C ∩ B = ∅, entonces C ⊆ A r B.

Ejercicio 2.7 Demostrar lo siguiente:

1. A ⊆ B → C r B ⊆ C r A
2. A ⊆ B ∧ C ⊆ D → A ∪ C ⊆ B ∪ D
3. A ⊆ B ∧ C ⊆ D → A ∩ C ⊆ B ∩ D

Definici´on La diferencia sim´etrica de los conjuntos A y B es el conjunto A ∆ B formado por los elementos en los que difieren, es decir,

A ∆ B = (A r B) ∪ (B r A).

Ejercicio 2.8 Demostrar que se cumple lo siguiente:

1. A ∆ B = (A ∪ B) r (A ∩ B)
2. A ∆ B = ∅ ↔ A = B
3. A ∆ A = ∅

4. A ∆ B = B ∆ A

5. A ∆ (B ∆ C) = (A ∆ B) ∆ C

Definici´on Sea U un conjunto. Si A es un subconjunto de U , definimos el complemento de A respecto a U como A = U rA. Hay que ser cuidadosos con esta notaci´on porque es relativa al conjunto U que hay que fijar de antemano en cualquier discusi´on con complementos.

Observaciones 2.9 Sea U un conjunto y sean A y B subconjuntos de U. Consideramos complementos respecto a U. Se cumple lo siguiente:

1. A = A 6. A r B = A ∩ B 11. A ∪ B = A ∩ B
2. ∅ = U 7. A ⊆ B ↔ B ⊆ A 12. A ∪ B = A ∩ B
3. U = ∅ 8. A = B ↔ A = B 13. A ∩ B = ∅ ↔ A ⊆ B
4. A ∩ A = ∅ 9. A ∩ B = A ∪ B 14. A ∪ B = U ↔ A ⊆ B
5. A ∪ A = U 10. A ∩ B = A ∪ B 15. A = B ↔ A ∪ B = U ∧ A ∩ B = ∅

Axioma 2.10 (Axioma del Conjunto Potencia) Para cada conjunto A existe un con- junto B cuyos elementos son los subconjuntos de A, esto es,

∀A∃B∀x(x ∈ B ↔ x ⊆ A).

Definici´on El conjunto potencia de A , P(A), es el conjunto formado por los subconjuntos de A, es decir, P(A) = {x : x ⊆ A}.

Para entender bien esta noci´on resulta ´util calcular P({ 0 , 1 , 2 }) y calcular P(∅), P(P(∅)), P(P(P(∅))), etc.

Observaciones 2.11 1. A ⊆ B ↔ A ∈ P(B).

2. ∅ ∈ P(A)
3. A ∈ P(A)
4. ∀x(x ∈ A ↔ {x} ⊆ A)
5. A ∈ P(C) ∧ B ∈ P(C) → A ∩ B ∈ P(C)
6. A ∈ P(C) ∧ B ∈ P(C) → A r B ∈ P(C).
7. A ∈ P(C) ∧ B ∈ P(C) ↔ A ∪ B ∈ P(C).

Ejercicio 2.12 Decidir si los siguientes enunciados son verdaderos. En caso afirmativo dar una demostraci´on y en caso negativo un contraejemplo.

1. P(A ∪ B) = P(A) ∪ P(B)

2. P(A ∩ B) = P(A) ∩ P(B)

3. P(A r B) = P(A) r P(B)

La gran intersecci´on del vac´ıo no est´a definida. Nunca hablaremos de

∅ y cuando usemos la notaci´on

Φ tendremos que estar seguros de que Φ es una colecci´on no vac´ıa. Obs´ervese que si uno se empe˜nara en decir que existe el conjunto ⋂ ∅ = {x : ∀y(y ∈ ∅ → x ∈ y)}

caer´ıa en contradicciones pues ese conjunto ser´ıa un conjunto universal.

Observaciones 2.16 1.

{A, B} = A ∩ B

{A} = A

{A 1 ,... , An} = A 1 ∩ · · · ∩ An

P(A) = ∅

En relaci´on con las operaciones de gran uni´on y gran intersecci´on se utiliza en ocasiones la notaci´on de cuantificaci´on acotada. La notaci´on (∃x ∈ y)ϕ abrevia ∃x(x ∈ y ∧ ϕ) y la notaci´on (∀x ∈ y)ϕ abrevia ∀x(x ∈ y → ϕ). Obs´ervese que ¬(∃x ∈ y)ϕ es l´ogicamente equivalente a (∀x ∈ y)¬ϕ y que ¬(∀x ∈ y)ϕ lo es a (∃x ∈ y)¬ϕ. Usando la cuantificaci´on acotada se pueden expresar la gran uni´on y la gran intersecci´on de modo muy breve: ⋃ Φ = {x : (∃y ∈ Φ)x ∈ y} y

Φ = {x : (∀y ∈ Φ)x ∈ y}.

Para poder enunciar de modo sencillo las generalizaciones de las propiedades b´asicas de la uni´on y la intersecci´on a estas operaciones de gran uni´on y gran intersecci´on, es conveniente introducir una notaci´on nueva. Si A es un conjunto y Φ una colecci´on de conjuntos, entonces mediante {A ∩ X : X ∈ Φ} nos referimos al conjunto formado por todos los objetos de la forma A ∩ X que se pueden obtener utilizando elementos X de Φ, es decir,

{A ∩ X : X ∈ Φ} = {B : ∃X(X ∈ Φ ∧ B = A ∩ X)}.

Otras notaciones an´alogas son {A ∪ X : X ∈ Φ} y {A r X : X ∈ Φ}. Y si Φ y Ψ son colecciones de conjuntos, con {X ∩ Y : X ∈ Φ ∧ Y ∈ Ψ} denotamos el conjunto formado por todas las intersecciones que se pueden hacer entre elementos de Φ y elementos de Ψ. Formalmente

{X ∩ Y : X ∈ Φ ∧ Y ∈ Ψ} = {Z : ∃XY (Z = X ∩ Y ∧ X ∈ Φ ∧ Y ∈ Ψ)}.

La notaci´on {X ∪ Y : X ∈ Φ ∧ Y ∈ Ψ} se entiende de modo similar. Un problema que se plantea al usar estas notaciones es que previamente deber´ıa asegurarse que el conjunto en cuesti´on existe. Esto puede garantizarse sin dificultades en cada caso concreto, pero no lo va- mos a ir haciendo. Otra cuesti´on es que si se usa, por ejemplo, la notaci´on

{A∩X : X ∈ Φ}

previamente deber´ıa saberse que {A ∩ X : X ∈ Φ} no es vac´ıo. Eso se cumple cuando Φ es una colecci´on no vac´ıa. Tampoco iremos repitiendo este tipo de comentarios continuamente.

Proposici´on 2.17 Sean Φ y Ψ colecciones de conjuntos y sea A un conjunto. Se supone adem´as que las colecciones afectadas por la gran intersecci´on no son vac´ıas.

1. (

(Φ ∪ Ψ) y (

2. A ∪

(Φ ∪ {A}) y A ∩ (

(Φ ∪ {A}).

3. A ∪ (

{A ∪ X : X ∈ Φ} y A ∩

{A ∩ X : X ∈ Φ}.

{X ∩ Y : X ∈ Φ ∧ Y ∈ Ψ}

{X ∪ Y : X ∈ Φ ∧ Y ∈ Ψ}

6. A r

{A r X : X ∈ Φ} y A r

{A r X : X ∈ Φ}.

7. (

Φ) r A =

{X r A : X ∈ Φ} y (

Φ) r A =

{X r A : X ∈ Φ}.

Observaciones 2.18 Sea U un conjunto y sea Φ una colecci´on no vac´ıa de subconjuntos de U. Consideramos complementos respecto a U. Se cumple lo siguiente:

{X : X ∈ Φ}

{X : X ∈ Φ}

{X : X ∈ Φ}

{X : X ∈ Φ}

Ejercicio 2.19 Sea Φ una colecci´on de conjuntos. Demostrar lo siguiente.

Φ es el menor conjunto que incluye a todos los elementos de Φ, es decir,

a) Para cada A ∈ Φ, A ⊆

b) Si C es un conjunto tal que para cada A ∈ Φ, A ⊆ C, entonces

Φ ⊆ C.

2. Sup´ongase que Φ 6 = ∅. Entonces

Φ es el mayor conjunto que est´a incluido en todos los elementos de Φ, es decir,

a) Para cada A ∈ Φ,

Φ ⊆ A

b) Si C es un conjunto tal que para cada A ∈ Φ, C ⊆ A, entonces C ⊆

Ejercicio 3.2 Mostrar que si se definiera 〈x, y〉 = {x, {y}} no se cumplir´ıa la Proposi- ci´on 3.1.

Definici´on El producto cartesiano de los conjuntos A y B, A × B, es el conjunto formado por todos los pares ordenados cuya primera componente pertenece a A y cuya segunda componente pertenece a B. As´ı pues

A × B = {〈x, y〉 : x ∈ A ∧ y ∈ B}.

Hay que observar que en la definici´on de A × B estamos usando la misma notaci´on abreviada que, por ejemplo, en {A ∩ X : X ∈ Φ}. Sin usarla tenemos que

A × B = {z : ∃x∃y(z = 〈x, y〉 ∧ x ∈ A ∧ y ∈ B)}.

Por tanto, para decidir si un objeto pertenece o no a A × B hay que usar lo siguiente:

∀z(z ∈ A × B ↔ ∃x∃y(z = 〈x, y〉 ∧ x ∈ A ∧ y ∈ B)).

Sin embargo si la pregunta es si un par ordenado 〈x, y〉 pertenece o no a A × B, entonces se puede usar el siguiente criterio:

∀x∀y(〈x, y〉 ∈ A × B ↔ x ∈ A ∧ y ∈ B).

Otra cuesti´on es que, previamente a la definici´on de A × B, deber´ıamos haber demostrado que existe un conjunto C cuyos elementos son todos los pares ordenados cuya primera componente es de A y cuya segunda componente es de B, es decir,

∀A∀B∃C∀z(z ∈ C ↔ ∃x∃y(z = 〈x, y〉 ∧ x ∈ A ∧ y ∈ B)).

El conjunto C puede obtenerse aplicando el esquema de separaci´on a la propiedad ∃x∃y(z = 〈x, y〉 ∧ x ∈ A ∧ y ∈ B) y al conjunto PP(A ∪ B). En posteriores definiciones no siempre entraremos en estos detalles.

Observaciones 3.3 1. A × ∅ = ∅ × A = ∅

2. A × B = B × A ↔ A = B ∨ A = ∅ ∨ B = ∅
3. A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C) y (A ∪ B) × C = (A × C) ∪ (B × C)
4. A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C) y (A ∩ B) × C = (A × C) ∩ (B × C)
5. A × (B r C) = (A × B) r (A × C) y (A r B) × C = (A × C) r (B × C)
6. A ⊆ B ∧ C ⊆ D → A × C ⊆ B × D

Ejercicio 3.4 El siguiente enunciado es falso.

A × C ⊆ B × D → A ⊆ B ∧ C ⊆ D.

Mostrar que es falso mediante un contraejemplo y a˜nadir alguna condici´on adicional que lo haga verdadero.

Ejercicio 3.5 Demostrar los siguientes enunciados.

1. A ×

{A × X : X ∈ Φ}

2. Si Φ 6 = ∅, entonces A ×

{A × X : X ∈ Φ}.

Definici´on Una relaci´on es un conjunto de pares ordenados. Usamos las variables R, S, T , con sub´ındices si es preciso, para relaciones. Se dice que R es una relaci´on en el conjunto A si R es un conjunto de pares ordenados formados por elementos de A, es decir, si R es un subconjunto de A × A. Formalmente,

R es una relaci´on ↔ ∀x(x ∈ R → ∃u∃v x = 〈u, v〉)

R es una relaci´on en A ↔ R ⊆ A × A.

Obs´ervese que si R es una relaci´on en A, entonces R es una relaci´on. La notaci´on xRy es una abreviaci´on de 〈x, y〉 ∈ R. Se lee “x est´a relacionado con y mediante R”.

El siguiente enunciado incluye una versi´on del Axioma de Extensionalidad para las relaciones.

Proposici´on 3.6 1. Si ∀xy(xRy → xSy) entonces R ⊆ S.

2. Si ∀xy(xRy ↔ xSy), entonces R = S.

Prueba. Basta con mostrar el punto 1 , pues el punto 2 se sigue de ´el. Para ver que R ⊆ S tenemos que mostrar que todos los elementos de R son elementos de S, es decir, que ∀z(z ∈ R → z ∈ S). Sea z ∈ R y veamos que z ∈ S. Como R es una relaci´on y z ∈ R, z es un par ordenado, es decir, hay x, y tales que z = 〈x, y〉. Tenemos entonces que 〈x, y〉 ∈ R. Con la nueva notaci´on, xRy. Utilizando ahora la hip´otesis, vemos que xSy. Esto significa que 〈x, y〉 ∈ S, es decir, que z ∈ S.

Definici´on El dominio de una relaci´on R es el conjunto dom R formado por las primeras componentes de los pares de R y el recorrido de R es el conjunto rec R formado por las segundas componentes de los pares de R. As´ı pues

dom R = {x : ∃yxRy} y rec R = {y : ∃xxRy}.

El campo de R es el conjunto campo R formado por las componentes de los pares de R. Por tanto, campo R = dom R ∪ rec R.

Para garantizar la existencia de dom R se aplica el Axioma de Separaci´on a la propiedad ∃y〈x, y〉 ∈ R y al conjunto

R. Para rec R se usa la propiedad ∃y〈y, x〉 ∈ R y el mismo conjunto.

Observaciones 3.7 1. R es una relaci´on si y s´olo si existen A y B tales que R ⊆ A×B.

2. Si R es una relaci´on, entonces existe un conjunto A tal que R es una relaci´on en A.
3. Para cada relaci´on R, R es una relaci´on en A si y s´olo si campo (R) ⊆ A.