Teoría de modelos, Ejercicios de Análisis Matemático

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Teor´ıa de Modelos

E. Casanovas

Revisado Septiembre 2003

Cap´ıtulo 1

Preliminares

Un tipo de semejanza o un lenguaje es un conjunto de s´ımbolos, cada uno de los cuales puede ser una constante o un s´ımbolo de funci´on n–´adico para alg´un n´umero natural n ≥ 1 o, finalmente, un predicado n–´adico para alg´un n ≥ 1. Usamos habitualmente c, d,... para constantes, F, G,... para s´ımbolos de funci´on, P, Q, R,... para predicados y L para lenguajes. Los s´ımbolos l´ogicos son los conectores ¬, ∧, ∨, →, ↔, los cuantificadores ∀, ∃, el s´ımbolo de igualdad =, los par´. entesis ), ( y las variables v 0 , v 1 ,.. .. Si el contexto lo permite usamos = en vez de = para el s´. ımbolo de igualdad. Tambi´en usamos x, y, z, u, v, w para referirnos a variables cualesquiera e incluso a tuplas de variables.

Sea L un lenguaje. Los t´erminos de L son las variables, las constantes de L y las ex- presiones obtenidas con la siguiente regla: si F ∈ L es un s´ımbolo de funci´on n–´adico y t 1 ,... , tn son t´erminos de L, entonces tambi´en lo es F t 1... tn. Para facilitar la lectura escribimos a veces F (t 1 ,... , tn) en vez de F t 1... tn. Usamos t, r para t´erminos. La nota- ci´on t = t(x 1 ,... , xn) se usa para expresar que las variables que aparecen en el t´ermino t est´an en la lista de distintas variables x 1 ,... , xn, lo cual no significa que todas ellas deban aparecer en t. Sin necesidad de escribir t = t(x 1 ,... , xn), la mera introducci´on de la nota- ci´on t(x 1 ,... , xn) tiene el mismo significado, a saber, que consideramos un t´ermino cuyas variables est´an en la lista x 1 ,... , xn.

Las ecuaciones del lenguaje L son las expresiones de la forma t 1 = t 2 , donde t 1 y t 2 son t´erminos de L. Las f´ormulas at´omicas de L son las ecuaciones de L y las expresiones de la forma Rt 1... tn donde R ∈ L es un predicado n–´adico y t 1 ,... , tn son t´erminos de L. En vez de Rt 1... tn escribimos en ocasiones R(t 1 ,... , tn) para facilitar la lectura. Las f´ormulas de L son las f´ormulas at´omicas de L y las expresiones obtenibles mediante las siguientes reglas:

1. Si ϕ es una f´ormula de L, tambi´en lo es ¬ϕ.
2. Si ϕ y ψ son f´ormulas de L, tambi´en lo son (ϕ ∧ ψ), (ϕ ∨ ψ), (ϕ → ψ) y (ϕ ↔ ψ).
3. Si ϕ es una f´ormula de L y x es una variable, entonces tambi´en ∀xϕ y ∃xϕ son f´ormulas de L.

Usamos ϕ, ψ, χ, θ,... y en ocasiones tambi´en δ y σ para f´ormulas y usamos Σ, Γ, ∆ y a veces tambi´en Φ, Ψ, para conjuntos de f´ormulas. Obs´ervese que el n´umero de t´erminos de L y tambi´en el n´umero de f´ormulas de L es a lo sumo |L| + ω.

Una aparici´on de una variable x en una f´ormula ϕ es una aparici´on ligada si est´a dentro de una f´ormula de la forma ∀xψ o ∃xψ. En otro caso se dice que se trata de una aparici´on libre. Las variables libres de una f´ormula son las que tienen alguna aparici´on libre en la f´ormula. Todas las variables de una f´ormula at´omica son por tanto libres. La notaci´on ϕ = ϕ(x 1 ,... , xn) se usa para indicar que las variables libres de ϕ aparecen en la secuencia de distintas variables x 1 ,... , xn. Como en el caso de los t´erminos, la mera introducci´on de ϕ(x 1 ,... , xn) implica que estamos considerando una f´ormula cuyas variables libres est´an entre x 1 ,... , xn. Una sentencia es una f´ormula sin variables libres.

Con t ∈ L y ϕ ∈ L indicamos que t es un t´ermino de L y que ϕ es una f´ormula de L. La notaci´on ϕ ∈ Ln se usa para expresar que ϕ es una f´ormula de L y que para alguna secuen- cia x 1 ,... , xn, ϕ = ϕ(x 1 ,... , xn). Normalmente ϕ(x) ∈ Ln supone que x es una n–tupla de variables. En ocasiones queremos hacer una separaci´on en dos grupos de las variables libres de ϕ. Por ejemplo, ϕ = ϕ(x 1 ,... , xn; y 1 ,... , ym) separa las variables x 1 ,... , xn de las variables y 1 ,... , ym. Se sobreentiende entonces que los conjuntos de variables en cues- ti´on son disjuntos y que las variables libres de la f´ormula aparecen en la lista completa x 1 ,... , xn, y 1 ,... , ym. Finalmente, ϕ(x, y) ∈ Ln,m indica que x es una n–tupla de variables y que y es una m–tupla (disjunta de x).

Se dice que M es una L–estructura o una estructura de tipo L si M consta de un universo, que es un conjunto no vac´ıo y que tambi´en designamos con M , y de una interpretaci´on sM de cada uno de los s´ımbolos s de L de acuerdo con lo siguiente:

1. La interpretaci´on de una constante es un elemento del universo: cM^ ∈ M para cada c ∈ L.
2. La interpretaci´on de un s´ımbolo funcional n–´adico es una operaci´on n–´adica en el universo: F M^ : M n^ → M para cada F ∈ L n–´adico.
3. La interpretaci´on de un predicado n–´adico es una relaci´on n–´adica en el universo: RM^ ⊆ M n^ para cada R ∈ L n–´adico.

Usamos M y N para estructuras.

Sea M una estructura de tipo L. Una interpretaci´on de las variables en M es una funci´on π que asigna a cada variable x un elemento π(x) del universo de M. La denotaci´on en M de un t´ermino t ∈ L bajo una interpretaci´on π es un elemento tM^ [π] del universo de M definido de acuerdo con lo siguiente:

1. xM^ [π] = π(x) para cada variable x.
2. cM^ [π] = cM^ para cada constante c ∈ L.
3. (F t 1... tn)M^ [π] = F M^ (tM 1 [π],... , tMn [π]) para cada F ∈ L n–´adico y cualesquiera t´erminos t 1 ,... , tn de L.

Se define adem´as la relaci´on de satisfacci´on M |= ϕ[π] como sigue:

1. M |= t 1 = t 2 [π] si y s´olo si tM 1 [π] = tM 2 [π].
2. M |= R(t 1 ,... , tn)[π] si y s´olo si (tM 1 [π],... , tMn [π]) ∈ RM^.
3. M |= ¬ϕ[π] si y s´olo si M 6 |= ϕ[π]

Sean L ⊆ L′^ lenguajes y sean M y M ′^ estructuras de tipo L y L′^ respectivamente. Si tienen el mismo universo e interpretan del mismo modo los s´ımbolos de L, entonces se dice que M ′^ es una expansi´on de M a L′^ y que M es la restricci´on de M ′^ a L. La restricci´on de M ′^ a L se denota con M ′^  L.

Lema 1.3 Sea M una estructura de tipo L y sea M ′^ una expansi´on de M a L′^ ⊇ L. Si t = t(x 1 ,... , xn) ∈ L y a 1 ,... , an ∈ M , entonces tM^

′ (a 1 ,... , an) = tM^ (a 1 ,... , an). Y si ϕ = ϕ(x 1 ,... , xn) ∈ L y a 1 ,... , an ∈ M , entonces M ′^ |= ϕ(a 1 ,... , an) si y s´olo si M |= ϕ(a 1 ,... , an)

Sea M una estructura de tipo L y A ⊆ M. Sea C = {ca : a ∈ A} un conjunto de constantes tales que ca 6 = cb para cualesquiera a, b ∈ A distintos y ca 6 ∈ L para cada a ∈ A. M posee una expansi´on natural a L ∪ C, la expansi´on en la que cada constante ca se interpreta como el correspondiente elemento a de A. Nos referimos con las notaciones

MA = (M, (a)a∈A) = (M, a)a∈A

a esa expansi´on. Normalmente la elecci´on del conjunto C es irrelevante y nos referimos al lenguaje ampliado L ∪ C con la notaci´on L(A). A menudo simplificaremos incluso la nota- ci´on admitiendo que tomamos a = ca, es decir, que cada elemento es usado como constante que se refiere a s´ı mismo en la expansi´on. Si el conjunto A es finito y la tupla a es una enumeraci´on suya, tambi´en usamos (M, a) para referirnos a esta expansi´on de M.

Si Σ es un conjunto de f´ormulas de L, se dice que Σ es satisfacible si existe una L– estructura y una interpretaci´on π en M tales que M |= Σ[π], es decir, tales que M |= σ[π] para cada σ ∈ Σ. Esta noci´on es independiente de la elecci´on de L. Una f´ormula ϕ es sa- tisfacible si el conjunto {ϕ} lo es. Un conjunto de sentencias Σ es entonces satisfacible si existe una estructura M tal que M |= Σ, es decir M |= σ para cada σ ∈ Σ. Decimos en ese caso que M es un modelo de Σ. Definimos adem´as ModL(Σ) como la clase de todas las L–estructuras que son modelo de Σ. Para una sentencia σ ponemos ModL(σ) = ModL({σ}).

Sea Σ un conjunto de f´ormulas de L y ϕ una f´ormula de L. Decimos que ϕ es conse- cuencia de Σ y escribimos Σ |= ϕ si para cada L–estructura M y cada interpretaci´on de las variables π en M , si M |= Σ[π], entonces M |= ϕ[π]. Obviamente Σ 6 |= ϕ si y s´olo si Σ ∪ {¬ϕ} es satisfacible. Por el Teorema de Completud de la l´ogica de primer orden sa- bemos que Σ |= ϕ es equivalente a Σ ϕ, es decir, a la existencia de una deducci´on de ϕ con premisas en Σ. Usamos la notaci´on Σ ϕ como equivalente a Σ |= ϕ cuando lo consi- deramos conveniente. Esta noci´on es tambi´en independiente de la elecci´on del lenguaje L. Para f´ormulas ϕ y ψ ponemos ϕ |= ψ en vez de {ϕ} |= ψ. Si Σ es un conjunto de sentencias de L y σ es una sentencia de L, entonces Σ |= σ significa que ModL(Σ) ⊆ ModL(σ). Dos f´ormulas ϕ y ψ son l´ogicamente equivalentes si ϕ |= ψ y ψ |= ϕ. Escribimos entonces ϕ ≡ ψ. Si se trata de sentencias de lenguaje L esto significa que ModL(ϕ) = ModL(ψ).

La l´ogica proposicional es un fragmento de la l´ogica de primer orden. Fijemos un lenguaje L. Las variables proposicionales pueden identificarse con ciertas f´ormulas de L, las f´ormulas primas. Estas son las f´´ ormulas at´omicas y las que comienzan con un cuantificador. Obs´ervese que toda f´ormula de L se obtiene a partir de las f´ormulas primas mediante procedimientos propios de la l´ogica proposicional. Una interpretaci´on proposicional de L es una aplicaci´on que asigna a cada f´ormula prima ϕ de L un elemento del conjunto { 0 , 1 }. Si v es una

interpretaci´on proposicional de L, v se extiende de una ´unica manera a una aplicaci´on v∗ que asigna a cada f´ormula de L un elemento de { 0 , 1 } y cumple las condiciones

1. v∗(¬ϕ) = 1 si y s´olo si v∗(ϕ) = 0
2. v∗(ϕ ∧ ψ) = 1 si y s´olo si v∗(ϕ) = v∗(ψ) = 1
3. v∗(ϕ ∨ ψ) = 0 si y s´olo si v∗(ϕ) = v∗(ψ) = 0
4. v∗(ϕ → ψ) = 0 si y s´olo si v∗(ϕ) = 0 y v∗(ψ) = 1
5. v∗(ϕ ↔ ψ) = 1 si y s´olo si v∗(ϕ) = v∗(ψ).

Se dice que v satisface ϕ si v∗(ϕ) = 1. Una f´ormula ϕ de L es una tautolog´ıa si todas las interpretaciones proposicionales de L la satisfacen. Una f´ormula ϕ de L es una consecuen- cia tautol´ogica o consecuencia proposicional de un conjunto Σ de f´ormulas de L si toda interpretaci´on proposicional que satisface a todas las f´ormulas de Σ satisface tambi´en a ϕ. Finalmente, un conjunto Σ de f´ormulas de L es proposicionalmente satisfacible si hay una interpretaci´on proposicional de L que satisface a todas las f´ormulas de Σ. Se cumple lo siguiente

1. Las tautolog´ıas son f´ormulas v´alidas.
2. Las consecuencias tautol´ogicas son consecuencias.
3. Los conjuntos satisfacibles son proposicionalmente satisfacibles.

De acuerdo con el siguiente lema siempre es suficiente tratar problemas de satisfaci- bilidad y consecuencia para sentencias en vez de para f´ormulas arbitrarias. Aunque no lo enunciemos expl´ıcitamente, lo mismo ocurre a nivel proposicional.

Lema 1.4 Sea Σ un conjunto de f´ormulas de L y ϕ una f´ormula de L. Sea C = {cn : n ∈ ω} un conjunto de nuevas constantes distintas, es decir C ∩ L = ∅ y cn 6 = cm para n 6 = m. Si Σ′ y ϕ′^ son obtenidos a partir de Σ y ϕ sustituyendo cada variable vn por la correspondiente constante cn, entonces Σ′^ es un conjunto de sentencias de L ∪ C, ϕ′^ es una sentencia de L ∪ C y adem´as:

1. Σ es satisfacible si y s´olo si Σ′^ es satisfacible.
2. Σ |= ϕ si y s´olo si Σ′^ |= ϕ′.

Un literal es una f´ormula at´omica o la negaci´on de una f´ormula at´omica. Una f´ormula est´a en forma normal conjuntiva si es una conjunci´on de disyunciones de literales y est´a en forma normal disyuntiva si es una disyunci´on de conjunciones de literales. Una f´ormula est´a en forma prenexa si no tiene cuantificadores o es de la forma

Q 1 x 1 Q 2 x 2... Qnxnϕ

donde ϕ no tiene cuantificadores, las variables son todas distintas y cada Qi es o bien ∀ o bien ∃. Se llama a ϕ la matriz de la forma prenexa y a Q 1 x 1 Q 2 x 2... Qnxn es su prefijo cuantificacional.

Con la ´unica precauci´on de introducir constantes y s´ımbolos funcionales distintos para f´ormulas distintas se puede generalizar la construcci´on de formas de Skolem para la satisfa- cibilidad de modo que se aplique a conjuntos de f´ormulas. Si Σ es un conjunto arbitrario de f´ormulas, {ϕsk^ : ϕ ∈ Σ} es un conjunto de f´ormulas universales que es satisfacible si y s´olo si Σ lo es. De este modo a efectos de satisfacibilidad basta tratar con f´ormulas universales y a efectos de validez basta con f´ormulas existenciales. Sin embargo ello es a costa de introducir s´ımbolos funcionales. Existe una variante de la construcci´on de Skolem que no introduce nuevos s´ımbolos funcionales sino nuevos predicados. La forma para la satisfacibilidad que se obtiene en este caso no es en general universal sino ∀∃ y la forma para la validez es ∃∀.

Una teor´ıa de lenguaje L es un conjunto T de sentencias de L que est´a cerrado bajo consecuencia, es decir, que verifica σ ∈ T para cada sentencia σ de L tal que T |= σ. Si K es una clase de estructuras de tipo L, la teor´ıa de K es el conjunto de sentencias de L que son verdaderas en todas las estructuras de K. Se designa con Th(K) y obviamente es una teor´ıa. Ponemos adem´as Th(M ) = Th({M }). Por otro lado si Σ es un conjunto de sentencias de L, entonces T = {σ ∈ L : Σ |= σ} es una teor´ıa. Se dice que Σ es un conjunto de axiomas para T o una axiomatizaci´on de T. Se dice que una clase K de L–estructuras es ∆–elemental si hay un conjunto Σ de sentencias de L tal que ModL(Σ) = K y se dice que es elemental si hay una sentencia σ de L tal que ModL(σ) = L. Obs´ervese que si T es una teor´ıa de lenguaje L, entonces |T | = |L| + ω es el n´umero de f´ormulas (y de sentencias) de L.

Lema 1.8 1. ModL(T ) =

σ∈T ModL(σ).

2. Th(K) =

M ∈K Th(M^ ).

3. Si K 1 ⊆ K 2 , entonces Th(K 2 ) ⊆ Th(K 1 ).
4. Si Σ 1 ⊆ Σ 2 , entonces ModL(Σ 2 ) ⊆ ModL(Σ 1 ).
5. Th(ModL(Σ)) = {σ ∈ L : Σ |= σ}.
6. ModL(Th(K)) es la menor clase ∆–elemental que extiende a K.

Cap´ıtulo 2

Homomorfismos

Definici´on (Homomorfismo, homomorfismo estricto) Sean M y N estructuras de tipo L. Una funci´on f : M → N es un homomorfismo si

1. f (cM^ ) = cN^ para cada constante c ∈ L.
2. f (F M^ (a)) = F N^ (f (a)) para cada s´ımbolo de funci´on n–´adico F ∈ L y cada n–tupla a ∈ M.
3. Si a ∈ RM^ , entonces f (a) ∈ RN^ para cada predicado n–´adico R ∈ L y cada n–tupla a ∈ M.

Se dice que el homomorfismo es estricto si adem´as

4. a ∈ RM^ si y s´olo si f (a) ∈ RN^ para cada predicado n–´adico R ∈ L y cada n–tupla a ∈ M.

Definici´on (F´ormulas positivas) Se llaman f´ormulas positivas a las f´ormulas que se obtienen a partir de las f´ormulas at´omicas mediante conjunciones, disyunciones y cuantifi- caci´on as´ı como las f´ormulas equivalentes a ´estas.

Lema 2.1 Sea f : M → N un homomorfismo.

1. Para cada t´ermino t ∈ L y cada tupla a ∈ M , f (tM^ (a)) = tN^ (f (a)).
2. Si f es exhaustivo, para cada f´ormula positiva ϕ(x) y cada tupla a ∈ M , si M |= ϕ(a), entonces N |= ϕ(f (a)).
3. Si f es exhaustivo y estricto, entonces para cada f´ormula sin igualdad ϕ(x) y cada tupla a ∈ M , M |= ϕ(a) si y s´olo si N |= ϕ(f (a)).

Definici´on (Inmersi´on, isomorfismo) Una inmersi´on de M en N es un homomorfismo estricto inyectivo de M en N. Un isomorfismo entre M y N es una inmersi´on exhaustiva de M en N. Escribimos en ese ´ultimo caso f : M ∼= N. Decimos que M y N son isomorfos y escribimos M ∼= N si existe un isomorfismo entre M y N.

2. Para cada f´ormula sin igualdad ϕ(x 1 ,... , xn) y cada n–tupla (a 1 ,... , an) en M ,

M |= ϕ(a 1 ,... , an) si y s´olo si M/E |= ϕ([a 1 ]E ,... , [an]E ).

Sea E ∈ L un predicado di´adico. Hay un conjunto ∆E,L de sentencias de L que expresan que E es una congruencia respecto a los s´ımbolos de L. Se trata del conjunto formado por las siguientes sentencias:

1. ∀xE(x, x)
2. ∀xy(E(x, y) → E(y, x))
3. ∀xyz(E(x, y) ∧ E(y, z) → E(x, z))
4. ∀x 1... xny 1... yn(E(x 1 , y 1 ) ∧ · · · ∧ E(xn, yn) → E(F (x 1 ,... , xn), F (y 1 ,... , yn))) para cada s´ımbolo funcional n-´adico F ∈ L
5. ∀x 1... xny 1... yn(E(x 1 , y 1 ) ∧ · · · ∧ E(xn, yn) ∧ R(x 1 ,... , xn) → R(y 1 ,... , yn)) para cada predicado n-´adico R ∈ L

Obviamente M |= ∆E,L si y s´olo si EM^ es una congruencia en M.

Proposici´on 2.7 Sea Σ un conjunto de sentencias sin igualdad, sea E ∈ L un predica- do di´adico y sea ∆E,L el conjunto de sentencias que expresan que E es una relaci´on de congruencia respecto a los s´ımbolos de L. Las siguientes condiciones son equivalentes:

1. Σ ∪ ∆E,L es satisfacible.
2. Σ tiene un modelo en el que E se interpreta como la igualdad.

Prueba. Por un lado, si M es un modelo de Σ ∪ ∆E,L entonces EM^ es una congruencia en M y M/E es un modelo de Σ en el que E se interpreta como la igualdad. Por otro lado, si M es un modelo de Σ en el que E se interpreta como la igualdad, entonces M tambi´en satisface ∆E,L pues la igualdad es una congruencia en M.

Definici´on (Automorfismo) Un automorfismo de la estructura M es un isomorfismo de M en M. Si A ⊆ M , un A–automorfismo o automorfismo sobre A es un automorfismo de MA, es decir, es un automorfismo de M que es la identidad en A. El conjunto de los automorfismos de A se designa con Aut(M ) y el conjunto de los A-automorfismos de M con AutA(M ) o Aut(M/A). Obviamente Aut(M ) y Aut(M/A) son grupos con la operaci´on de composici´on.

Proposici´on 2.8 Para cada dos tuplas a, b ∈ M de la misma longitud sea Oa,b = {f ∈ Aut(M ) : f (a) = b}. Los conjuntos {Oa,b : a, b ∈ M } son una base de abierto-cerrados para una topolog´ıa en Aut(M ). Con esta topolog´ıa Aut(M ) es un grupo topol´ogico Hausdorff y totalmente disconexo.

Prueba. La colecci´on F = {Oa,b : a, b ∈ M } verifica

F = Aut(M ) y est´a cerrada bajo in- tersecciones finitas dado que Oa,b ∩ Oc,d = Oac,bd. Por tanto es una base para una topolog´ıa en Aut(M ). Cada Oa,b es un abierto-cerrado, pues Aut(M )rOa,b =

{Oa,c : c ∈ M, c 6 = b}.

La topolog´ıa es Hausdorff pues si, f 6 = g hay un elemento a ∈ M tal que f (a) 6 = g(a). En- tonces f ∈ Oa,f (a), g ∈ Oa,g(a) y Oa,f (a) ∩ Oa,g(a) = ∅. Con esta topolog´ıa Aut(M ) es un grupo topol´ogico pues la antiimagen de Oa,b mediante la operaci´on de producto de grupo es la uni´on de los conjuntos Oa,c × Oc,b para c ∈ M y su antiimagen en la operaci´on inversa del grupo es Ob,a.

Proposici´on 2.9 Un subgrupo G de Aut(M ) es cerrado si y s´olo si existe una expansi´on M ′^ de M tal que G = Aut(M ′).

Prueba. Con esta topolog´ıa, que un subconjunto X de Aut(M ) sea cerrado significa que para cada f , f ∈ X si y s´olo si para cada tupla a existe un g ∈ X tal que f (a) = g(a). Entonces, si M ′^ es una expansi´on de M y G = Aut(M ′) es claro que que G es un subgrupo de Aut(M ) y que el hecho de que un f ∈ Aut(M ) pertenezca a G depende s´olo de c´omo f transforma las tuplas de M , de manera que si para cada tupla a hay g ∈ G con f (a) = g(a), tenemos que f ∈ G. A la inversa, si G es un subgrupo cerrado de Aut(M ), para cada n ≥ 1 consideramos las ´orbitas de las n–tuplas de M bajo la acci´on de G. Para cada tal ´orbita X introducimos un predicado n–´adico RX y lo interpretamos como la ´orbita X. Sea M ′^ la consiguiente expansi´on de M. Es f´acil verificar que G = Aut(M ′).

finitamente satisfacible y veamos que tambi´en lo es

Σ ∪ ∆α+1 = Σ ∪ ∆α ∪ { (∃xαϕα(xα) → ϕα(cα)) }.

Como tanto ϕα como las f´ormulas de Σ∪∆α son de L∪{ ci : i < α }, y cα no es de ese lengua- je, lo que queremos mostrar es un caso particular del siguiente hecho de car´acter general: si Γ es un conjunto satisfacible de sentencias de un tipo de semejanza L, ϕ = ϕ(x) es una f´ormu- la de L y la constante c no es de L, entonces tambien es satisfacible Γ∪{ (∃xϕ(x) → ϕ(c)) }. La raz´on es que en un modelo M de Γ siempre podemos interpretar libremente la constante c de modo que se satisfaga el condicional.

Lema 3.2 (Lema de Lindenbaum) Si Σ es un conjunto finitamente satisfacible de sen- tencias de L, entonces Σ puede extenderse a un conjunto de sentencias de L que es maximal respecto a la satisfacibilidad finita.

Prueba. Sea X la colecci´on formada por todas las extensiones de Σ en L que son fini- tamente satisfacibles. X est´a parcialmente ordenado por inclusi´on y toda cadena Y en X tiene cota superior, pues

Y ∈ X. Por el Lema de Zorn, X tiene un elemento maximal, que es lo que buscamos.

Lema 3.3 Sean Σ un conjunto de sentencias de L y C ⊆ L un conjunto de constantes tales que

1. Σ es maximal en L respecto a satisfacibilidad finita ,
2. Σ tiene ejemplificaciones en C.

Entonces existe un modelo M de tipo L tal que

3. Σ = Th(M ),
4. M = {cM^ : c ∈ C}.

Prueba. Sea T el conjunto de los t´erminos de L que no tienen variables. Definimos en T la relaci´on ∼ : t 1 ∼ t 2 ⇔ t 1 =^. t 2 ∈ Σ.

Como Σ es maximal respecto a satisfacibilidad finita, si σ es consecuencia de un subconjunto finito de Σ, entonces σ ∈ Σ. De ello se sigue que ∼ es una relaci´on de equivalencia en T y adem´as que tiene las dos siguientes propiedades:

(i) Si F es un s´ımbolo funcional n-´adico de L y para cada i (1 ≤ i ≤ n) ti ∼ t′ i, entonces F t 1... tn ∼ F t′ 1... t′ n.

(ii) Si P es un predicado n-´adico de L, P t 1... tn ∈ Σ y para cada i (1 ≤ i ≤ n) ti ∼ t′ i, entonces P t′ 1... t′ n ∈ Σ.

Construimos un modelo M de tipo L cuyo universo es el conjunto cociente

T / ∼ = { [ t ]∼ : t ∈ T }.

La interpretaci´on de los s´ımbolos de L es como se indica:

(iii) Para cada constante c ∈ L, cM^ = [ c ]∼.

(iv) Para cada s´ımbolo funcional n-´adico F ∈ L y cualesquiera t 1 ,... , tn ∈ T ,

F M^ ([ t 1 ]∼,... , [ tn ]∼) = [ F t 1... tn ]∼.

(v) Para cada predicado n-´adico P ∈ L y cualesquiera t 1 ,... , tn ∈ T ,

P M^ = {([ t 1 ]∼,... , [ tn ]∼) : P t 1... tn ∈ Σ}.

Ya podemos ver que se cumple la condici´on 4. Sea a ∈ M y veamos que hay c ∈ C tal que a = cM^. Hay t ∈ T tal que a = [ t ]∼. Como Σ |= ∃x x

= t, resulta que ∃x x

= t ∈ Σ y como Σ tiene ejemplificaciones en C, hay c ∈ C tal que c

= t ∈ Σ. Pero entonces c ∼ t y por tanto, a = [ t ]∼ = [ c ]∼ = cM^. Ahora es f´acil probar por inducci´on que

(vi) Para cada t´ermino t ∈ T , tM^ = [ t ]∼.

y con esto y (ii) vemos que

(vii) Para cada sentencia at´omica σ de L, M |= σ ⇔ σ ∈ Σ.

S´olo falta generalizar (vii) a cualquier sentencia σ de L. Ello puede hacerse por inducci´on. La hip´otesis de que Σ es maximal respecto a satisfacibilidad finita nos sirve para los casos ¬ϕ y (ϕ ∨ ψ). Consideremos el caso ∃xϕ(x). Por 4 tenemos que

M |= ∃xϕ(x) si y s´olo si hay c ∈ C tal que M |= ϕ(c),

y como Σ tiene ejemplificaciones en C,

∃xϕ(x) ∈ Σ si y s´olo si hay c ∈ C tal que ϕ(c) ∈ Σ.

De estos dos hechos y de la hip´otesis inductiva para ϕ(c) se sigue el resultado para ∃xϕ(x).

Teorema 3.4 (Teorema de Compacidad) Si Σ es un conjunto finitamente satisfacible de sentencias de L, entonces Σ tiene un modelo (de cardinalidad ≤ |L| + ω).

Prueba. Sea κ = |L| + ω y sea C un conjunto de constantes tal que C ∩ L = ∅ y |C| = κ. Sea ∆ el conjunto de sentencias de L ∪ C garantizado por el Lema 3.1. Entonces Σ ∪ ∆ es finitamente satisfacible. Sea Γ la extensi´on de Σ ∪ ∆ que nos da el Lema 3.2. Γ es un conjunto de sentencias de L ∪ C que es maximal respecto a satisfacibilidad finita y que tiene ejemplificaciones en C. Sea M el modelo de tipo L ∪ C que el Lema 3.3 nos proporciona para Γ. Como M = { cM^ : c ∈ C }, la cardinalidad de M es ≤ κ. Entonces M  L es un modelo de tipo L que satisface Σ y que tiene cardinalidad ≤ κ.

Observaciones 3.5 1. Aunque el Teorema de Compacidad se ha enunciado para con- juntos de sentencias, vale tambi´en para conjuntos de f´ormulas: sustituyendo las va- riables libres por constantes se obtiene un conjunto de sentencias que es equivalente para satisfacibilidad.

2. Una consecuencia del Teorema de Compacidad es que si Σ |= σ entonces existe un subconjunto finito Σ 0 de Σ tal que Σ 0 |= σ.

(v) Para cada predicado n-´adico P ∈ L y cualesquiera t 1 ,... , tn ∈ T ,

P M^ = {(t 1 ,... , tn) : P t 1... tn ∈ Σ}.

Por inducci´on se muestra f´acilmente que para cada t´ermino sin variables t, tM^ = t y que para cada sentencia sin igualdad σ, σ ∈ Σ si y s´olo si M |= σ.

Teorema 3.8 Si un conjunto Σ de sentencias sin igualdad de L es consistente, entonces para cada cardinal κ ≥ |L| + ω tiene un modelo de cardinalidad κ.

Prueba. Sea κ ≥ |L| + ω y sea C = { ci : i < κ } un conjunto de constantes nuevas y distintas, es decir, C ∩ L = ∅ y ci 6 = cj para i < j < κ. Por los lemas 3.1 y 3.2, Σ puede extenderse a un conjunto Γ de sentencias de L ∪ C que es finitamente satisfacible y tiene ejemplificaciones en C. Aplicando el Lema 3.7 a Γ obtenemos un modelo de Herbrand M cuyo universo es H(L ∪ C) y que satisface a todas las sentencias de Σ. Claro est´a, M tiene cardinalidad κ.

Observaci´on 3.9 Los modelos de Henkin pueden obtenerse como cocientes de los modelos de Herbrand. Ello permite obtener una prueba alternativa del Lema 3.3 a partir del Le- ma 3.7 y la Proposici´on 2.7.

Teorema 3.10 Sea Σ un conjunto de sentencias universales sin igualdad de un lenguaje L que contiene al menos una constante. Entonces Σ es satisfacible si y s´olo si Σ tiene un modelo que es una estructura de Herbrand.

Prueba. Sea N una L–estructura arbitraria. Existe una estructura de Herbrand M asociada de modo natural a N. Es la estructura de Herbrand M en la que para cada predicado n– ´adico R ∈ L, RM^ = {(t 1 ,... , tn) ∈ M n^ : N |= Rt 1... tn}.

N induce una relaci´on de congruencia en M , la relaci´on definida por t 1 ∼ t 2 si y s´olo si N |= t 1

= t 2. Se puede formar, por tanto, la estructura cociente M/ ∼. Existe una inmersi´on natural de M/ ∼ en N. Es la aplicaci´on f : M/ ∼ → N definida por f ([t]∼) = tN^. Por 2. sabemos que una sentencia universal verdadera en N debe ser verdadera en el cociente de la estructura de Herbrand. Por 2.6 si no tiene s´ımbolo de igualdad ser´a tambi´en verdadera en la estructura de Herbrand misma.

Lema 3.11 Si Σ es un conjunto de sentencias sin cuantificadores y sin igualdad, entonces Σ es satisfacible si y s´olo si Σ es proposicionalmente satisfacible.

Prueba. Si v es una interpretaci´on proposicional que satisface a Σ, se obtiene una estructura de Herbrand M que es un modelo de Σ interpretando cada predicado n–´adico R ∈ L mediante la cl´ausula

RM^ = {(t 1 ,... , tn) ∈ M n^ : v satisface Rt 1... tn}.

Teorema 3.12 (Herbrand) Sea ϕ = ∃x 1... xnψ una sentencia sin igualdad de tipo L y sup´ongase que ψ no tiene cuantificadores. Entonces ϕ es v´alida si y s´olo si existen t´erminos de L, t 1 ,... , tm·n para los que la disyunci´on

(ψ(t 1 ,... , tn) ∨ ψ(tn+1,... , t 2 ·n) ∨... ∨ ψ(t(m−1)·n+1,... , tm·n))

es una tautolog´ıa.

Prueba. Sin perder generalidad, supondremos que el lenguaje L contiene al menos una constante. Por 3.10, en la medida en que trabajemos con sentencias universales sin igualdad, a efectos de satisfacibilidad podemos limitarnos a considerar estructuras de Herbrand. Sea M una tal estructura de Herbrand y sea ϕ = ∀x 1... ∀xnψ una sentencia universal sin igualdad en la que ψ = ψ(x 1 ,... , xn) es una f´ormula sin cuantificadores. Claramente, ϕ es verdadera en M si y s´olo si para cualesquiera t´erminos sin variables t 1 ,... , tn de L, en M es verdadera la sentencia ψ(t 1 ,... , tn). Por tanto, la satisfacibilidad de ∀x 1... ∀xnψ es equivalente a la satisfacibilidad del conjunto Σ = {ψ(t 1 ,... , tn) : t 1 ,... , tn ∈ H(L)}. Por compacidad, el conjunto Σ es satisfacible si y s´olo si todos sus subconjuntos finitos son satisfacibles. Por tanto la satisfacibilidad de ∀x 1... ∀xnψ es equivalente a que para cada m y cualesquiera t 1 ,... , tm·n ∈ H(L) la sentencia

ψ(t 1 ,... , tn) ∧ ψ(tn+1,... , t 2 ·n) ∧... ∧ ψ(t(m−1)·n+1,... , tm·n)

sea satisfacible. Por 3.11, la sentencia universal ϕ = ∀x 1... ∀xnψ es satisfacible si y s´olo si para cada m y cualesquiera t 1 ,... , tm·n ∈ H(L), la sentencia

ψ(t 1 ,... , tn) ∧... ∧ ψ(t(m−1)·n+1,... , tm·n)

es proposicionalmente satisfacible. Como una sentencia es v´alida (una tautolog´ıa) si y s´olo si su negaci´on es satisfacible (proposicionalmente satisfacible), de ello se sigue el resultado.

Observaci´on 3.13 El Teorema de Herbrand reduce la validez en primer orden a validez proposicional. Sus restricciones son que la sentencia debe ser existencial y que no debe con- tener la igualdad. El problema de que ϕ sea existencial no es gran impedimento si se utiliza la forma normal de Skolem para la validez. Este procedimiento proporciona una sentencia existencial que es v´alida si y s´olo si la sentencia original lo es. Respecto al problema de la igualdad, supongamos ahora que ϕ contiene la igualdad y sustituyamos las apariciones del s´ımbolo de igualdad en ϕ por un nuevo predicado binario E. Sea ϕ′^ la sentencia as´ı obte- nida. Se puede suponer que el lenguaje L de ϕ es finito, de manera que el conjunto ∆E,L de la Proposici´on 2.7 es finito y podemos formar su conjunci´on δ. Obs´ervese que δ es una sentencia universal, de manera que (δ → ϕ′) es equivalente a una sentencia existencial. Ahora bien, ϕ es v´alida si y s´olo si (δ → ϕ′) es v´alida y esta ´ultima sentencia no contiene la igualdad.

Definici´on (Teor´ıas completas) Sea T una teor´ıa de lenguaje L. T es consistente si es satisfacible o (por el Teorema de Compacidad) si es finitamente satisfacible. Es completa si para cada sentencia σ de L, o bien σ ∈ T o bien ¬σ ∈ T. En ocasiones se dice que el conjunto de L–sentencias Σ es completo si la correspondiente teor´ıa {σ ∈ L : Σ |= σ} es completa.