Métodos de Demostración en Lógica Computacional, Monografías, Ensayos de Lógica Matemática

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METODOS DE DEMOSTRACION

MILTON FELIPE CRUZ REY

HERRAMIENTAS DE LOGICA COMPUTACIONAL

POLITECNICO GRANCOLOMBIANO

1) Nuevo estilo de demostración: Son proposiciones de la forma “si p entonces q” Se denota p→q Si ella entrega la tarea, aprueba el curso. P:ella entrega la tarea q:aprueba el curso condicional: p→q es una afirmación hipotética que no habla del mundo; es decir, no es posible saber el valor de verdad de A o B simplemente con observar la expresión «Si A, entonces B», sin ninguna información adicional. El condicional establece una relación entre A y B, pero no aclara su valor de verdad 2) Asumiendo el antecedente Asumir que el valor izquierdo de la implicación es TRUE, y sí es posible, luego usar esa(s) hipótesis en la demostración. Ejemplo A Λ ( B V ¬A) → B Hipótesis: A Λ ( B V ¬A) Ξ true Luego, A Ξ true ( B V ¬A) Ξ true B Ξ (Axioma de la identidad) B Ξ true Ξ (Hipótesis ( B V ¬A) Ξ true) (1) B Ξ ( B V ¬A) Ξ (Hipótesis A Ξ true) A Ξ true Ξ B Ξ (Al reemplazar A por B en ecuación (1)) B Ξ (B V ¬B) Ξ (Axioma del tercio excluido de la disyunción) (B V ¬B) Ξ true Ξ B true Ξ true Ξ Axioma de la identidad true en P - > Q, todas las expresiones equivalentes a P también van a ser TRUE.

2. En una disyunción en la parte izquierda, no se puede asumir que todos sus argumentos son TRUE, pero en una conjunción sí.

5) Análisis de casos Este método de demostración segmenta la expresión y los demuestra a partir de dos demostraciones diferentes. El análisis de casos reúne tres versiones diferentes bajo el mismo método: Para comprobar expresiones R se pueden construir expresiones de disyunción como P ʌ Q equivalentes a true y que cumplen la implicación de P con R y de Q con R (P → R ʌ Q → R). A: Estamos en cuarentena. B: No tengo dinero. C: No salgo a bailar. Hipótesis: Si estamos en cuarentena o no tengo dinero entonces, no voy a bailar. A V B → C (A C) ʌ (B → C) Ξ (Definición del condicional) ¬( A V B) V C Ξ (Ley de Morgan) (¬A ʌ ¬B) V C Ξ (Distributividad de la disyunción) (¬A V C) ʌ (¬B V C) Ξ (Implicación) (AC) ʌ (B → C) 6) Contrapositiva Son proposiciones de la forma: “si no q entonces no p” Se denota ¬ q → ¬p Contra positiva de la siguiente proposición condicional: Si los tres lados son congruentes, entonces el triángulo es equilátero. P: los tres lados son congruentes Negación: ¬p: los tres lados no son congruentes q: el triángulo es equilátero Negación: ¬q: el triángulo no es equilátero Contrapositiva: ¬ q → ¬p Entonces: Si el triángulo no es equilátero, los tres lados no son congruentes. Si una sentencia es verdadera, entonces su contra positiva es verdadera (y viceversa). Si una sentencia es falsa, entonces su contra positiva es falsa (y viceversa).