Lógica matemática – Ejercicios – Ingeniería , Ejercicios de Ingeniería

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INGENIERÍA TÉCNICA EN INFORMÁTICA EJERCICIOS DE LÓGICA MATEMÁTICA Profesor-Tutor de la U.N.E.D, (Ceuta) Ceuta, 2001 ingeniería Técnica en Informática. Ejercicios de Lógica Matemática, Por Javier Carroquino Cañas, Página E Introducción Con este trabajo se pretende entrenar a los alumnos de la asignatura “Lógica Matemática” de Ingeniería Téenica en Informática de la U.N.E.D., para un aprendizaje de dicha asignatura y posterior superación de las pruebas correspondientes. Por eso, los ejercicios que aquí se resuelven, han sido propuestos, en su mayoría, en convocatorias anteriores, suponiendo un extraordinario recurso didáctico para los alumnos de dicha asignatura. Esperemos que los métodos de resolución empleados y las explicaciones sean lo más comprensibles para el estudiante, que podrá comprobar, no se ha escatimado espacio con el fin de que las explicaciones sean lo más claras posibles. Ceuta, junio de 2001 Ingeniería Técnica en Informática. Ejercicios de Lógica Matemática Por Javier Carroquino Cañas. Página 3 a) b) e) d) Solución: Equivocados Parcialmente acertados En lo cierto Es un disparate Decimos que A > B es F cuando A=V y B=F, lo cual es cierto ya que la tabla de verdad correspondiente a A —>B sería: La respuesta correcta es €) Ejercicio 4.- (propuesto en junio de 1997, 2* semana) La forma clausulada de la expresión Wx3yP(x,y) Y 3xQ(x) puede ser: a) b) o d) Solución: PES fo) Y Q(b) P(a,f(a)) V Q(a) Plfi).y) Y 0) P(ux) Y Q(b) + — Eliminamos el cuantificador existencial 3y afectado por un cuantificador universal v, lo cual hacemos introduciendo una función de Skolem (el otro 3 no está afectado por el Y): VxP(,f09) V 3XQ(%) + — Eliminamos el cuantificador universal, entendiéndose que la variable x está cuantificada universalmente: POS) V xQ) + Eliminamosel cuantificador existencial que queda, introduciendo una constante de Skolem: PGSf(9) V Q(b) Conelusión: La respuesta correcta es a) Ejercicio 5.- (propuesto en junio de 1997, 1* semana) Dados los dos razonamientos: a) b) o) d) 19.- 3x(Px -— Qx) 2%.- 3xPx 3x(Qx — Px) 3XQx x(Px AQx) 3x(Qx A Px) 2% es correcto y 1* incorrecto 1% es correcto y 2* incorrecto Ambos son correctos Ambos son incorrectos ingeniería Técnica en Informática Ejercicios de Lógica Matemática. Por Javier Carroquino Cañas, Página 4 Solución: Veamos el razonamiento 1%: PI: 2x(Px -—=Qx) Existe x tal que si x es P entonces x es Q. P2: 3x(Qx .— Px) Existe x tal que si x es Q entonces x es P. C: Ax(PxAQx) Existe un x que es P y es Q. Intentemos resolverlo por refutación, es decir: PIA P2 AC deberá ser una contradicción, es decir, expresando las premisas y la negación de la conclusión en forma clausulada y resolviendo, el resultado final será la clausula vacía A. SS Veamos: Eliminamos los condicionales y negamos la conclusión: Pl: 3x(PPxVOQx) P2: x(?Qx V Px) =3x (Px AQx) =Vx APx AQx) =Yx (7Px V >0x) Eliminamos los cuantificadores 3 y Y. En este caso hay que introducir constantes de Skolem: Pl: >PaVQa P2: —QbV Pb >: —Px V Qx Resolvemos: Ch Pa Por resolución de Pi y € C2: >Qb Por resolución de P2 y € Noes posible obtener la clausula vacía 2 (no olvidemos que a y b son constantes y no garantizamos que a=b). Por tanto: El razonamiento 1* es incorrecto. Veamos el razonamiento 2”: Pl: 3xPx Existe x tal que xes P P2: 3xQx Existe x tal que x es Q C: 3x(PxAQx) Existe un x que es P y es Q. Intentemos resolverlo por refutación, es decir: PIAP2A>C deberá ser una contradicción, es decir, expresando las premisas y la negación de la conclusión en forma clausulada y resolviendo, el resultado final será la clausula vacía 2. Veamos: Eliminamos los cuantificadores 3 y negamos la conclusión: Pl: Pa P2: Qb =C : —Px V-Qx Resolvemos: Cl: —Qa Por resolución de P1 y =C C2: Pb Por resolución de P2 y =C No es posible obtener la clausula vacía 2 (no olvidemos que a y b son constantes y no garantizamos que a=b). Por tanto: El razonamiento 2” es incorrecto. Conclusión: Ambos razonamientos son incorrectos. La respuesta es d). Ingeniería Técnica en Informática Ejercicios de lógico Matemática. ___Por Javier Carroquino Cañas. Página 6 Ejercicio 8.- (propuesto en junio de 2000, 1* semana) Sea la proposición modal P¿: No es necesario que p sea posible. La expresión P¿ equivale a: a) p *esimposible b) p esposible e) Es posible que p sea imposible d) Ninguno de los anteriores Solución: no | es necesario que | p sea posible 20 PE Es decir: —"$>8p y eliminando la doble negación: 4-4p Es posible que no sea posible p (es posible que p sea imposible) Por tanto: La respuesta correcta es €) Ejercicio 9.- (propuesto en septiembre de 1999) Sea la expresión $2: Vx Jy Rxy La fórmula clausulada de Q es: a) Rxa b) Ray ) Riy dy Rxflx) Solución: Vx ly Rxy Para todo x existe un y ta! que x está relacionado con y Wx Rxf(x) Hemos eliminado el 3 (afectado por un V) introduciendo una función de Skolem y=f(x) Rxfíx) Hemos eliminado el cuamtificador Y y llegado a la forma clausulada Conclusión: La respuesta es d) Ejercicio 10.- (propuesto en junio de 1997, 1* semana) Señale el razonamiento mal hecho: > p>q ay) P>9 B) Pr q Pp 4 q a) Sólo el A) b) Sóloel B) e) Ambos d) Ninguno Solución: Apliquemos el método de resolución al caso A): Pi: -pvg Hemos eliminado el condicional P2: pirq Es una sentencia en forma clausulada que podemos desglosar en dos elausulas. Ingeniería Técnica en Informática Ejercicios de Lógica Matemática PorJavierCarroquino Cañas. Página 7 Pl: —pvq Pp E] Resolviendo: Cl: q de Pl y P2 C2: >p de Pl y P3 Cc 4 de Cl y P3 C4 4 de C2 y P2 C:o 4 Conclusión primera: El razonamiento A) es correcto, Apliquemos el método de resolución al caso A): Pl: -pvq Hemos eliminado el condicional Pz p Es una sentencia que está en forma clausulada. Resolviendo: C: q de Pl y P2 Conclusión segunda: El razonamiento B) es correcto Conclusión final: Ambos razonamientos son correctos. La respuesta correcta es d) Ejercicio 11.- (Reserva septiembre de 1997) “Es posible que p sea necesario” equivale a “es posible que —p sea imposible”. Esta afirmación es: a) Cierta b) Falsa c) Depende de p d) Ninguna de las otras tres Solución: P es necesario que p E $-9p es posible que p sea necesario $>p es posible que —p =p no es posible que no p [es imposible que —p) e $-4-p es posible que —p sea imposible Conclusión: Son equivalentes. La respuesta correcta es 1) Ejercicio 12.- (Junio de 1997, 2* semana) Si AMB =p entonces (y aunque la recíproca no es cierta) se cumple: a) B=09 b ÁuUB=U e) AUBx0 d) AuB=0 Solución: Hagamos un razonamiento ayudado de gráficos: Ingeniería Técnica en Informática, ____Ejercicios de Lógica Matemática. __ Por Javier Carroguino Cañas, Página 9 Eliminamos el condicional: —VWxRx v VyPy Expresamos Y En función de 3: Jx—Rx vw VyPy Extraemos los cuantificadores: IxWy (Rx yv Py) Expresamos —Rx Y Py como un condicional: 3x Vy(Rx=> Py) Por tanto: La respuesta correcta es b) Ejercicio 15.- (septiembre de 1998) Sean los conjuntos borrosos: S=( 0/0'5,110'5,205] y T=(0/0,11,211) El complementario de $ es: a» Ss b 7 e TUS d ms Solución: Por definición: $ = Complementario de S = (ap, 1-1) -(01-05,1-05,21-05)=1 0105, 10'5, 2105) =5 Por tanto, la respuesta correcta es a) Ejercicio 16.- (septiembre de 1998) Sean los conjuntos borrosos: $ = ( 0/0'5, 110'5,2/0'5 ) y T= ( 00, 111,211 ) Se verifica: a) S4T bh Tes ) SnT=p d) s=7 Solución: Comprobemos si a) es verdadero o falso: Por definición: Sc TY si ps(x)s px) vxeU Para 06€U uy(0)=0'5<0=pux(0) es falso Entonces ScT esfalso y Sy Tes verdadero. Conclusión: La respuesta es a) Ejercicio 17.- (septiembre de 1998) Scan los conjuntos borrosos: S=[ 0/0'5, 1J0'5, 205) y T=(00,111,21) El conjunto SuS' es igual a: a) Eluniversal U (todos los elementos con pertenencia 1). D (sy a T d) Tru Ingeniería Técnica en Informática. Ejercicios de Lógica Matemática. __ Por Javier Carroquino Cañas, Página 10 Solución: Sus” =( 0105, 110'5, 2105) f 01—0'5, 1[1-0'5, 21105) = =(010'5, 1105, 2105) u £010'5, 110'5,210'5] = =( O) max(0'5.0'5) , max(0'5,0'5) , 2]max(0'5,0'5) ) =( 0J0'5, 110'5, 2105 j=S Ahora bien: S*=10J0'5, 105, 2105)=8 Por tanto: (S= S*=S, es decir: SuSt=S= (Sy Conclusión: La respuesta es b) Ejer: o 18.- (propuesto en junio del 2001, 1* semana) Si P: p >qvr fuese una sentencia de la lógica trivalente de Lukasiewicz, entonces su valor de verdad para p=q=r=%% Sería: a) 0 b) 12 E) 2 d) J Solución: Si construyésemos la tabla de verdad de P: p >qv r y considerando que: “E Valor de verdad de (qvr)= max (q,1) «> Valor de verdad de (p —>q vr) = min (1,1+(qvr)-p) Tendríamos: , Elnúmero total de interpretaciones P A r avr p>avr en esta tabla serían 3? = 27 En nuestro casop=q=r='4: 0 1 0 0 0 Valor de (qVr) = max (q,r) = 0 0 % ya 1 = max (4,4) = 4 0 Y 0 a 1 Valorde (p>qvr) = A IA min (1,1+(qvr)-p) = =min (1,1+%- 4) = min (1,1) A YA Y YA 1 =1 A A AA Conclusión: 1 1 1 1 1 La respuesta es d) Ejercicio 19.- (propuesto en junio del 2001, 1* semana) Sea la sentencia P: (raq) —>-—p ¿Cuál es su forma clausulada? a) pAgárr b) Tp VqVar b) Arq) V>p d) Ninguna de las anteriores. Ingeniería Técnica en Informática, Ejercicios de Lógica Matemática. Observamos que en la última columna, correspondiente a P,A—P, hay valores Y y F, por lo que P,A7P, es una indeterminación, es decir, la respuesta es c) Ejercicio 21.- La sentencia (p + q)60 (2q E Pp) es: a) Una tautología €) Una indeterminación d) Solución: Comprobemos su valor de verdad mediante la construcción del árbol semántico. E yO 2 3 4 5 y y DN ZN 7 »y DN AN 7 Ñ Conclusión: A la vista del análisis realizado eu la columna derecha, podemos asegurar que se trata de una tautología. La respuesta correcta es a) b) Una contradicción No es una sentencia. Nodo 2: (we qe (qe -p v FV no podemos decidir el valor de la sentencia Nodo 3: (pe o (690 =p) F VF no podemos decidir el valor de la sentencia Nodo 4: Pe ge (e =p) vv FV FV Ná v v Cuando p- V y q--V, la sentencia es Y Nodo 5: (po ge (290 -p) v F Vr FV F F v Cuando p=V y q=F, la sentencia es Y Nodo 6: (Pe Qe (qe =p) FOV o FVO VE F F v Cuando p=F y q=V, la sentencia es V Nodo 7: (Pe qe (qe =p) F FE VE VF v v v Cuando p=F y q=F, la sentencia es V Por Javier Carroquino Cañas. ingeniería Técnica en Informática. Ejercicios de Lógica Matemática, Por Jayier Carroquino Cañas. Página 13 Ejercicio 22.- (propuesto en junio del 2001, 2* semana) Si P2: =p---> (ra q) esuna sentencia, V es tautología y F es absurdo o contradicción, entonces la frase F € —--—-> (P24- -- > V) Es: a V b F <) Indeterminada d) EsVyF Solución: as Analicemos la sentencia P2 : P2: =p---> (r1q) v vv F V v O Si p-V,r-V y q=V, tenemos: Es decir, P2 es Y O Sip=F,r-V y q+F, tenemos: P2: =p---> ([raq) Es decir, P2 es F P q F v EF Por tanto, P2 es indeterminada, ya v F que según la interpretación tomará el F valor Y o F. e Analicemos P2 ------ vo Pe---=>V O Supongamos que P2 es V. Entonces: Es decir, P2----- > V es V M v NÁ O Supongamos que P2 es F. Entonces: Pe--->vV Es decir, P2 ----->V esF F v Por tanto, P2----- -Ves F indeterminada (puede ser V o F) E Analicemos F + ---> (Ple -—> V): M Si P2----- > V es V, entonces: Fe ---> (Pe --> Y) Es decir, la frase es F F v F WM Si P2------ V esF, entonces: Fe--->(Pe--> Y) Es decir, la frase es Y F F v Conclusión: La frase puede ser Y o F, es decir, indeterminada. La respuesta correcta es €) Ejercicio 23.- Sean las sentencias: $: pMq T: -Epv og) R: Ap- 79) Entonces: Ingeniería Técnica en Informática, Ejercicios de Lógica Matemática___ Por Javier Carroguino Cañas, Página 15 Ejercicio 25.- (propuesto en junio de 2001, 1* semana) Dada la sentencia P : (r A q)- - — > —P ,su forma clausulada es: a) =pv=qwv=ar b) -(raqlvop Cc) paqrar d) Ninguna de las anteriores Solución: Expresemos la sentencia P en forma clausulada: + Primero eliminamos el condicional: P_ : — (1 A a) vap + Aplicamos una de las leyes de Morgan al paréntesis: P: E rv=q ) v=p + Por la propiedad asociativa, quitamos paréntesis: P:orv- qv-p + Por la propiedad conmutativa: Pio pv =qv ar Conclusión: La respuesta correcta es a) Ejercicio 26.- La forma clausulada de [(»- =—> q) A p|- —- > q se corresponde con: a) =p b) pnq c) =pvp d) Ninguna de las anteriores Solución: e A simple vista puede apreciarse que la sentencia dada es una tautología, es decir, puede considerarse como un teorema, por lo que su forma clausulada debe serlo también. De las opciones que nos dan, la única que es tautología es e), por lo que la respuesta correcta esc). o No obstante, expresemos la sentencia en forma clausulada: 2) — Eliminamos el condicional externo: =[(p-- > q)a p]vq 8) Fliminamos el condicional intemo: =[(=p v q)a p]v q €) Introduzcamos la negación dentro del corchete: [+ (=p v g)w =p ]v q d) Introducimos = dentro del paréntesis: [(pa 9) vw =p ]v q e) Aplicamosuna propiedad distributiva: [(p v =p)a (29 v =p)] v q D Nuevamentela distributiva: [(pv =p)v q]x [4 v =p)v a] ingeniería Técnica en Informática____ Ejercicios de Lógica Matemática Por Javier Carroquino Cañas. 2) Reduciendo: (pv =pv dnlegv =pvq) h) Como en la primera clausula tenemos la tautología pV=p y en la segunda tenemos qV=q , podemos eliminar ambas (ya que son tautologías). 1) Ahora bien, para no confundir este resultado con la clausula vacía (A), que no tiene literales y se corresponde con una contradicción, la podemos simplificar una única clausula de la forma —pVp, es decir, una tautología. Conclusión: La respuesta correcta es €) Ejercicio 27.- (propuesto en septiembre 2001 como reserva) Dada la sentencia P: p- - > (q A r) , el número de clausulas que tiene su forma clausulada es: a) 2 b 1 e) 4 d) Ninguna de las anteriores Solución: Expresemos P: p-- > (q A Fr) en forma clausulada: 0% Recordando que A --B =-AVB, tenemos que P: =p V(qAr) 9 Por una de las propiedades distributivas, P: (-p VYACEp VD) 9 (Ep VgJA(7p V r) es una forma clausulada, siendo —p Vg y —pVr clausulas. O Es decir, la forma clausulada de P tiene dos clausulas. Conclusión: La respuesta correcta es a) Ejercicio 28.- La negación de p-q es: a) pq b qp e) pi 3d) pq Solución: Expresemos — p-- q en forma clausulada: —pVg Neguemos esta expresión: (—pVq) Por una de las leyes de Morgan: (pVg) = ——pA7q = pArq Conclusión: La respuesta correcta es a). Ejercicio 29.- ( propuesto en septiembre 2001 como reserva) Sean las premisas: Pl: p>(qnr) Pl:ro p Entonces: a) P2se deduce o es consecuencia de P1, pero no P2 de P1 b) Pl se deduce o es consecuencia de P2, pero no P1 de P2 e) Pl se deduce o es consecuencia de P2 y P2 de P1 d) NiPl de P2niP2 de Pl. ingeniería Técnica en informática, Ejercicios de Lógica Matemática. Por Javier Carroquino Cañas. Página 18 Inferir es sacar una consecuencia de algo. En este caso, si la sentencia. peq es V, significa que, o bien ocurre la proposición p, o bien ocurre la proposición q, pero no ambas, De esto último podemos deducir que “Si p entonces no q” y “Si q entonces no p”. En nuestro caso podemos deducir que (peq) -- (p - 74) es una tautología: Conclusión: La respuesta correcta es a) NOTA: Comprobemos que la sentencia_(peq) —- (p —— 74) es una tautología. Pp. 4 q peq p--q > ]1(peq)--(p-- 74) v vV F F F v v F v v v v F v F v V M F F v F M v Nótese como se trata de una tautología. Ejercicio 32.- La regla de resolución es una aplicación sistemática de la tautología: a) la aja(oo> r))> (avr) b)p>p e) (pva)>lav=av p) dy pvqv>q Solución: Investiguemos el apartado a): HH Expresemos los condicionales del antecedente en forma clausulada: P- q en forma clausulada es ..... =pVq =p — r en forma clausulada es .... —pVr,es decir, pVr El antecedente esta formado por dos premisas: Pl: —pvaq P2: pvr Obsérvese que en una csta p negada y en otra sin negar. 'É Apliquemos la regla de resolución para obtener la resolvente: Cl: qvr (consecuencia lógica de P1 y P2) ÉÍÓ Es decir, hemos llegado a la conclusión de que “Si (p - q) y (Tp - r) entonces (q V+)” que es el apartado a). Conclusión: La respuesta correcta es a) Ejercicio 33.- La forma clausulada de (pAq)WV(rAs) es: a) (panvipAs)V(qArv(gAs) b) Ya está en forma clausulada. 0) (PYOMPpYS)A(qU)MgVs) d AYDAEVNAqVNA(qrs) Solución: Ingeniería Técnica en Informática. Ejercicios de Lógica Matemática. Por Javier Carroquino Cañas. Página 19 Expresemos (pAq)V(rAs) en forma clausulada, aplicando la propiedad distributiva: (PAQV(rAs) =[pV(rAS)JALGV(EAS)f > [PVD A(PYS)JAL(GVDA(EVS)l= (PVP VS) MA VDA(QVs) La última expresión corresponde a la forma clausulada de (pAqWV(rAs). Conclusión: La respuesta correcta es e) Ejercicio n* 34.- Sean: A: panqg>rvp B: po(rag) Señale la respuesta correcta: a) Bes consecuencia de A b) —BAA es consecuencia de A e) Aes consecuencia de B d) B/-A es una consecuencia de B Solución: Nos piden que comprobemos lo siguiente: a) ¿Es A-B una tautología ? b) ¿Es A- "BAA una tautología ? c) ¿Es B- A una tautología ? d) ¿Es B- BA-A una tautología ? 343233 Para decidir construimos la siguiente tabla de verdad: p q r |pg rvp 1Mq pAq=tvp p-r4q A-B B-A A-=-BAA B-BA-A VVV|v vv v V v V VVvoF vv F Y F F NÁ VFEV|F vV: F v F V FVv|Fr vv v F vV VEF FO OVo F v F v FVvVEF F EF F vV v v FEV FI VO F vV V V FEF Fo F F M v V Nótese lo siguiente: Lo La cuarta y quinta columna de la zona central de la tabla corresponden a las sentencias A y B respectivamente. Lo La zona derccha de la tabla corresponde a las sentencias a tratar en a), b), c) y d). An La columna correspondiente a A > B la hemos interrumpido porque al aparecer F en la segunda fila ya sabemos que A — B no es tautología y por tanto a) no es correcta. La Al concluir la columna correspondiente a B — A vemos que es tautología y por tanto estamos en condiciones de tomar una decisión si necesidad de seguir el proceso. Conclusión: La respuesta correcta es €)