Series numéricas – Ejercicios – Ingeniería , Ejercicios de Ingeniería

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EJERCICIOS RESUELTOS:

Series numéricas

Matemáticas

Elena Álvarez Sáiz

Dpto. Matemática Aplicada y C. Computación

Universidad de Cantabria

Profesora: Elena Álvarez Sáiz

Ejercicios: Series numéricas

Fundamentos Matemáticos I

1 Calcular la suma de las siguientes series:

(a)

2 3 4

n

+ π− + + + + + (b)

3 2

1

n

n

n n n

∞

=

∑

Solución:

(a)

2

• π − + = +π

(b) Descomponiendo en fracciones simples

3 2

n

n n n n n n

n

S

n n n n n n

n n n n n

lim 2 2

n

S

n n

→∞

Dada la serie

n 1

n

∞

=

∑

. Se pide:

• Determina su carácter
• Encuentra una sucesión sencilla del mismo orden que la sucesión de sus sumas parciales.

Justificar los pasos seguidos.

• Demuestra que la sucesión obtenida en el apartado anterior es del mismo orden que su suma

parcial n-ésima.

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Ejercicios: Series numéricas

Fundamentos Matemáticos I

Luego son asintóticamente equivalentes.

Forma 2:

Basta considerar la equivalencia:

1

k

k k k k

n

n

k

En nuestro caso

k =.

Determinar la suma parcial enésima que permite calcular

( )

3

1

n

n

∞

=

∑

con un error menor

que

2

−

Solución:

Consideramos la serie

( )

3/

1

n 2 1

S

n

∞

=

∑

que es convergente (por comparación con la

serie armónica generalizada:

1

p

n

n

∞

=

∑

con p=3/2>1) y

n

S la suma parcial n-ésima de

la serie.

Teniendo en cuenta que

( )

( )

3/

f x

x

es decreciente y positiva en

)

se

cumple

( ) ( )

( ) ( )

3/2 3/

1

... lim

h

n

h

k n

n

S S f k f x dx

n n

∞

→∞

= +

∑ ∫

Como

Profesora: Elena Álvarez Sáiz S

Fundamentos Matemáticos I

Ejercicios: Series numéricas

( )

( )

( ) ( )

3/

lim lim lim

h h

h h h

n n

f x dx dx

h n n

x

→∞ →∞ →∞

∫ ∫

Por lo tanto, el error al considerar como suma de la serie la suma parcial n-ésima

está acotado por

n

error S S

n

Si queremos ahora que este error sea menor que una centésima basta encontrar el

valor de n cumpliendo:

4

2

n n

n

. Basta tomar

entonces los 5000 primeros sumandos

( )

5000

5000

3/

1

n

S S

n

=

∑

Utilizando el criterio integral demuestra que la serie

1

n

n

r

∞

=

∑

es convergente para valores

0 < r< 1.

Solución:

Vamos a acotar la sucesión de sumas parciales por dos sucesiones convergentes.

En este caso la función

( )

x

f x

r

= es positiva y decreciente en

( )

En primer lugar observamos que la serie solo puede ser convergente o

divergente ya que se trata de una serie de términos positivos. Utilizando el

criterio integral se tiene la siguiente acotación

2

1 1

n n

n

x n x

dx S dx

r r

r r r r

∫ ∫

Como

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Fundamentos Matemáticos I

Ejercicios: Series numéricas

( )

( )

2

2

3

2 2 4 4 4

1 1 1 1 1

2

n n n

n n

n n

n

n n n n n

n n n n n

n

e e e

e e Ch n

e e

e

Ch n e e e e e

e

−

∞ ∞ ∞ ∞ ∞

−

= = = = =

∑ ∑ ∑ ∑ ∑

Comparamos esta serie con

1

n

n

e

∞

=

∑

y como el límite

3 4 2

4 4

lim : lim 1

n n n n

n n n

n n

e e e e

e e e

→∞ →∞

es distinto de cero y de infinito ambas series tienen el mismo carácter, es decir,

convergentes.

(a) Como la serie es geométrica el valor de la suma es:

2 3

1

1 1

n

n

n

n n

∞ ∞

= =

∑ ∑

(b) Teniendo en cuenta que

( )

x

f x

es continua, decreciente y positiva

en

)

y llamando

( )

n

n

a f n

se tiene que:

1 2

log log

x n

x

n n n

n

n

R a a dx

∞

∞

∫

Basta encontrar n cumpliendo:

1

log 9 og

n

n

l

−

Dando valores se ve que bastaría considerar n=3 para conseguir obtener el

valor de la serie con el error considerado. El valor aproximado será:

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Fundamentos Matemáticos I

2 3

3

2 3

S

(a) Demostrar que:

2

n

n

n n

(b) Determinar el valor de

2

1

n

n

∞

=

∑

Solución:

(a) Demostramos la igualdad por inducción

Para n=1 la igualdad es cierta:

Suponiendo cierta para n veamos si se cumple:

( )

( )

2 2

n

n n

n

Por hipótesis de inducción:

( ) ( )

2 2 2

2 1

n

n

n

n n

n n

=

Operando:

( )

( )( )

( )

( )( ) ( )( )

( )( )

( )( )

2

2

n n

n n n n

n

n n n n

n n n

n n n n n n n

(b) La serie es convergente por comparación con la serie armónica generalizada

2

1

n

n

∞

=

∑

. Para calcular el valor tenemos en cuenta el apartado (a):

2

n

n

S

n n

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Ejercicios: Series numéricas

Fundamentos Matemáticos I

El término general es :

1

a a

n

a

a n sen n

n n n

−

Aplicando el criterio de comparación por paso al límite se concluye que:

• Si 1 − a≤ 1 la serie es divergente
• Si 1 − a< 1 la serie es convergente

9 Estudiar el carácter de la serie siguiente en función de los posibles valores de x

( )( ) 1

n

n

n

x

x

n n x

∞

=

∑

Solución:

Como x es mayor que cero se trata de una serie de términos positivos con término

general

( )( )

n

n

n

x

a

n n x

Aplicando el criterio del cociente:

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

1

1

1

lim lim lim

n

n

n

n n n n

n

n

x

n n x x n n x a x

a n n x

x

n n x

→∞ →∞ →∞

se concluye que:

• Si x < 5 la serie es convergente
• Si x > 5 la serie es divergente
• Si x=5 la serie es:

( )( )

( )( )

1 1

n

n

n n

n n x

n n x

∞ ∞

= =

∑ ∑

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Fundamentos Matemáticos I

Ejercicios: Series numéricas

que es convergente por comparación con la serie armónica generalizada para p=2:

( )( )

( )( )

1 1

n

n

n n

n n x n n x

∞ ∞

= =

∑ ∑

10 Estudiar la convergencia absoluta y condicional de la serie:

n

n

n

x

a x a

n a

∞

=

∑

Solución:

Se trata de una serie que para valores de x positivos es de términos positivos y para

valores de x negativos es de términos negativos. Estud¡amos por ello la convergencia

absoluta mediante el criterio de la raíz:

lim lim

n

n

n

n n n

n

x x

L

n a

n a

→∞ →∞

como

1

( (

log ) log )

lim 1 lim lim 1

n n n n

n

n n n

a

tomar tomar

arimtos arimtos

n a n a a

→∞ →∞ →∞

= =

se tiene que:

x

L

a

• si x < a, la serie es convergente
• Si x > a, la serie es divergente

11 Estudiar la convergencia de la serie

Profesora: Elena Álvarez Sáiz S

Fundamentos Matemáticos I

Ejercicios: Series numéricas

Por otro lado

2

2

lim

lim

n

n

n

n n

n

n

→∞

→∞

Luego, aplicando el teorema del encaje

2 2 2

lim ...

n

n n n n

→∞

(b) Como el término general no tiende a cero la serie no es convergente. Por ser una

serie de términos positivos al no ser convergente debe ser divergente.

13 Determinar el carácter de las siguientes series:

3

1

1

n

n

n

∞

−

=

∑

1

log

n

n

n

∞

=

∑

2

2

1

n

n

sen

n

∞

=

∑

Solución:

• La serie (a) es una serie geométrica de razón 2/3<1, luego es convergente.

3 4 5 6

1 2

1

n

n o

n

∞

−

=

∑

• La serie

1

log

n

n

n

∞

=

∑

es una serie de términos positivos ya que

n

n

cuyo término general no tiende a cero (condición necesaria de convergencia):

( )

og log 2

n n

n

a l

n

→∞

Se trata entonces de una serie divergente.

• La serie

2

2

1

n

n

sen

n

∞

=

∑

es una serie de términos positivos, teniendo en

cuenta además que

2 2

2

2 2 2

n n

sen

n n n n

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Ejercicios: Series numéricas

Fundamentos Matemáticos I

la serie tiene el mismo carácter que

2

1

n

n

∞

=

∑

(criterio de comparación por paso

al límite) se trata de una serie convergente.

14 Determinar el carácter de las siguientes series:

( )

( )

2

2

log

n

n

n n

∞

=

∑

( )

3

1

n

n

n

∞

=

∑

Solución:

• La serie

( )

( )

2

2

log

n

n

n n

∞

=

∑

es una serie alternada convergente por el criterio de

Leibnitz:

o

( )

2

lim lim 0

log

n

n n

a

n n

→∞ →∞

o

{ }

n

a es monótona decreciente:

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

2

2

2 2

log

log 1 log 1

log

1 log 1

el aritmo

es una función

creciente

n n n n

n n

n n

Estudiamos ahora la convergencia absoluta, es decir, la convergencia de la serie:

( )

2

2

log

n

n n

∞

=

∑

. Como

( ) ( )

2 2

log 2 n ≤ n logn se tiene que

( ) ( )

2 2

n log n log 2 n

y, por el criterio de comparación es convergente. Luego la serie es absolutamente

convergente.

• La serie

( )

3

1

n

n

n

∞

=

∑

es una serie alternada convergente por el criterio de

Leibnitz:

o

3

lim lim 0

n

n n

a

n

→∞ →∞

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Ejercicios: Series numéricas

Fundamentos Matemáticos I

Solución:

(a) En primer lugar analizamos la condición necesaria de convergencia. Cuando n

tiende a infinito el numerador presenta una indeterminación luego el término

general de la serie lo escribimos como

n

a a a

n n n n

n n

a

n n n n n n n

El denominador es un infinito del mismo orden que

1

2

a

a

n n n

= (ver *)

En el caso de que

a a

+ ≤ ⇒ ≤ el término general no tiende a

cero luego la serie, por ser de términos positivos al no converger, será

divergente.

En el caso de que

a

> el término general tiende a cero.

Comparando con la serie

1

1

2

a

n

n

∞

=

∑

se tiene que como:

1

2

1

2

1

2

lim lim lim 0,

a 1 1

a

n

a n n dividiendo n

por n

a

a n

n n n

n

n

→∞ →∞ →∞

aplicando el criterio de comparación por paso al límite las series

1

a

n

n n

n

∞

=

∑

y

1

1

2

a n

n

∞

=

∑

tienen el mismo carácter.

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Ejercicios: Series numéricas

Como la segunda serie es la armónica generalizada se tiene que:

Para 0 < p≤ 1 la serie

1

p

n

n

∞

=

∑

es divergente. Luego la serie

1

1

2

a n

n

∞

=

∑

es divergente si

< a+ ≤. En consecuencia para

a

< ≤ la serie

1

a

n

n n

n

∞

=

∑

es divergente.

Para p < 1 la serie

1

p

n

n

∞

=

∑

es convergente. Luego la serie

1

1

2

a n

n

∞

=

∑

es convergente si

< a+. Concluimos que para

< a la serie

1

a

n

n n

n

∞

=

∑

es convergente.

Estudiar la convergencia de la serie

1

a

n

n

sen

n

π

∞

=

∑

para a = 1 y a = 2.

Solución:

Observar que

( )

( )

1 1

n

a a

n n

n

sen

n

n

π

∞ ∞

= =

∑ ∑

. Es convergente por Leibniz.

Se considera la sucesión

( 1 )( 2 )

n

n

n

a

n n b

con b ∈ . Se pide:

a) Estudiar la convergencia de la serie

1

n

n

a

∞

=

∑

b) Encontrar el valor de la suma

1

n

n

a

∞

=

∑

para b = 1.

c) Consideramos S

n

la suma parcial n-ésima de la serie

1

n

n

a

∞

=

∑

para b = 1. Sin obtener la

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Ejercicios: Series numéricas

(c) Por el criterio integral

( ) ( )

2 2

1

log log

n

n n

K S K

n n

donde K y K

son constantes. Por lo tanto,

( )

( )

2

log log

n

n

S n

n

Dada la serie

2

1

n n

n

n

a b

a b

n

∞

=

∑

estudiar su convergencia y convergencia absoluta

según los valores de a y b.

Solución:

(a) Convergencia absoluta

Se trata de estudiar la convergencia de la serie

2

1

n n

n

a b

a b

n

∞

=

∑

. Puesto que

esta serie es de términos positivos, se puede estudiar aplicando el criterio de la

raíz,

2

1/

lim lim

n n n

n

n

n n

a b ab

n n

→∞ →∞

0 si 0 1 convergente

si 1 divergente

si 0 1, convergente

si 1 si 1, divergente

si 1?

b

b

a

a b a

a

En el caso a = b= 1 , se obtiene la serie armónica

1

n

n

∞

=

∑

, que es divergente.

Por tanto la serie es absolutamente convergente para los valores

{ } { }

a > 0, 0 < b < 1 ∪ b = 1, 0 < a< 1.

b) Convergencia

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Ejercicios: Series numéricas

Fundamentos Matemáticos I

Para los valores de a y b para los que la serie es absolutamente convergente, la

serie alternada es convergente. Se trata de estudiar, por tanto los demás casos.

• b = 1, a = 1. Se obtiene las serie

1

n

n

n

∞

=

∑

, que es convergente ya que la

sucesión

n

es decreciente y convergente a 0 (Criterio de Leibnitz).

• b = 1, a > 1. Se obtiene las serie ( 1)

n

n

a

n

∑

, que no es convergente ya que

la sucesión ( 1)

n

n

a

n

es oscilante y por tanto no se cumple la condición

necesaria de convergencia.

• b > 1, la serie no es convergente por la misma razón que en el caso anterior.

Por tanto la serie es convergente para los valores

{ } { }

a > 0, 0 < b < 1 ∪ b = 1, 0 < a≤ 1

Estudiar la convergencia y convergencia absoluta de la serie

1

cos

n

a

n

x

n

∞

=

∑

con x 0, π,a

según los valores de x y a.

Solución:

Se trata de una serie de términos que según los valores de x puede ser de

términos positivos o alternada. Por ello estudiamos la convergencia absoluta y

aplicamos el criterio de la raiz para la serie de los valores absolutos:

cos 1

lim cos lim cos

n

n

a n a n n

x

x x

n n

→∞ →∞

= = ∀a ∈ 

por tanto