Conceptos básicos necesarios en la asignatura de
Fundamentos de Ordenadores (ETSETB)
Marta Jiménez y Beatriz Otero
Departament d’Arquitectura de Computadors
Mayo 2013
UNIVERSITAT POLITÈCNICA
DE CATALUNYA
BarcelonaTECH
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Tipo: Ejercicios
2020/2021
Subido el 13/06/2021
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Conceptos básicos necesarios en la asignatura de
Fundamentos de Ordenadores (ETSETB)
Marta Jiménez y Beatriz Otero
Departament d’Arquitectura de Computadors
Mayo 2013
UNIVERSITAT POLITÈCNICA DE CATALUNYA BarcelonaTECH
Índice
- Introducción…………………………………………………………………………. Pág.
- Proposiciones y conectivos lógicos……………………………………………….
- Proposiciones lógicas………………………………………………………………
- Proposiciones simples……………………………………………………………...
- Conectivos lógicos………………………………………………………………….
- Conjunción de proposiciones………………………………………………………
- Disyunción de proposiciones……………………………………………………….
- Negación de una proposición……………………………………………………...
- Proposiciones compuestas………………………………………………………...
- Resultado lógico de una proposición compuesta………………………………..
- Ejercicios propuestos………………………………………………………………
- Sistemas de numeración y cambios de base…………………………………...
- Sistemas de numeración…………………………………………………………..
- Cambios de base de numeración………………………………………………...
- Conversión de un número en base b a base 10………………………………..
- Conversión de un número en base 10 a base b………………………………..
- Conversión de un número en base 2 a cualquier base potencia de 2……….
- Conversión de un número en una base potencia de 2 a base 2……………...
- Ejercicios propuestos……………………………………………………………...
- Respuesta de los ejercicios propuestos…………………………………………
- Proposiciones……………………………………………………………………….
- Sistemas de numeración y cambios de base…………………………………...
Proposiciones y conectivos lógicos
1. Proposiciones lógicas
Una proposición lógica es una afirmación que puede ser verdadera o falsa pero no ambas cosas a la vez. Las proposiciones lógicas se denotan utilizando letras minúsculas. En el siguiente ejemplo definimos las proposiciones p, q, r, y s.
Ejemplos de proposiciones:
p: Un cubo tiene 5 caras (proposición falsa)
q: Martina mide menos de 165 cm (proposición verdadera)
r: 8 + 3 = 11 (proposición verdadera)
s: Lleida es una provincia de Cataluña (proposición verdadera)
Por otra parte, algunos ejemplos de afirmaciones que no son proposiciones son los siguientes:
Me gustaría que vinieras a visitarme
Juan, podrías salir de la habitación!
Ojalá nieve mañana
El día de San Jordi me gustaría que me regalaran un libro
Muy buenos días!
Estas afirmaciones no son proposiciones porque no se puede determinar si son verdaderas o falsas, son afirmaciones que denotan algún deseo, orden o mandato.
1.1 Proposiciones simples
Las proposiciones pueden ser simples o compuestas. En esta sección definiremos las proposiciones simples, mientras que las proposiciones compuestas las definiremos en la sección 3.
Una proposición simple es aquella que está formada por una sola proposición y por lo tanto, no puede descomponerse a su vez en otras proposiciones. Todas las proposiciones mostradas en el ejemplo anterior son proposiciones simples.
2. Conectivos lógicos
En esta sección describimos los conectivos lógicos utilizados para enlazar las proposiciones simples e indicaremos, para cada caso, la tabla de verdad de cada conectivo lógico. La tabla de verdad contiene todas las combinaciones posibles de verdad o falsedad de todas las proposiciones simples y el resultado lógico obtenido por la proposición formada al usar el conectivo lógico.
En total existen cinco conectivos lógicos. Estos conectivos lógicos son: “y”, “o”, “no” (o “no es cierto que”), “entonces” y “si y sólo sí”. Para el seguimiento del curso de Fundamentos de Ordenadores sólo es necesario conocer los conectivos lógicos “y”, “o” y “no es cierto que” o simplemente “no”. Estos conectivos denotan respectivamente la conjunción (también llamada Y-lógica y habitualmente simbolizada como ∧), la disyunción (O- lógica simbolizada como ∨) y la negación (representada con el símbolo ¬ ). A continuación describirnos en detalle cada uno.
Ejemplos de proposiciones utilizando el conectivo lógico de la disyunción:
Si definimos las siguientes proposiciones simples:
p: Los números naturales son divisibles por 5 (falso) q: Los números naturales son números enteros positivos (verdadero) r: La suma de los tres primeros números naturales es 6 (verdadero) s: Los números naturales pares son divisibles por 7 (falso) t: Los números naturales contienen a los números reales (falso)
Entonces el resultado lógico de las siguientes proposiciones formadas utilizando el conectivo lógico de la disyunción es:
p ∨ q (verdadero) p ∨ s (falso) q ∨ t (verdadero) q ∨ r (verdadero) p ∨ q ∨ r (verdadero) p ∨ s ∨ t (falso)
2.3 Negación de una proposición
Si p es una proposición, su negación “no p”, denotada por ¬p es verdadera sólo si la proposición p es falsa. En caso contrario ¬p es falsa. La tabla 3 muestra la tabla de verdad de este conectivo lógico.
p Negación ¬¬¬¬ p Verdadero Falso Falso Verdadero
El resultado de la negación es verdadero si la proposición a la que se le aplica la operación lógica es falsa y será falso si la proposición es verdadera.
Ejemplos de proposiciones utilizando el conectivo lógico de la negación:
Ejemplo 1: Para la proposición p definida como:
p: El número es mayor que 10
la proposición ¬p seria: el número no es mayor que 10. Otra posibilidad para la proposición ¬p podría ser: el número es menor o igual que 10.
En este caso, el resultado lógico de la proposición ¬p será falso si la proposición p es verdadera y viceversa.
Ejemplo 2: Para la proposición q definida como:
q: Los números naturales son un subconjunto de los números enteros
Tabla 3 Tabla de verdad del conectivo lógico de negación
la proposición ¬q seria: los números naturales no son un subconjunto de los números enteros.
En este caso, el resultado lógico de la proposición ¬q será falso si la proposición q es verdadera y viceversa.
3. Proposiciones compuestas
Una proposición también puede ser compuesta. Se dice que una proposición lógica es compuesta si está formada por varias proposiciones simples enlazadas por conectivos lógicos.
Por ejemplo, si definimos las siguientes proposiciones simples:
p: Beatriz es venezolana
q: Beatriz nació en Caracas
r: Beatriz es mayor de edad
s: Hoy llueve
t: Hoy hace sol
u: Hoy llevo paraguas
Algunos ejemplos de proposiciones compuestas utilizando las proposiciones y los conectivos lógicos anteriores (subrayados en cada proposición) son:
Beatriz nació en Caracas y es venezolana y es mayor de edad (p ∧ q ∧ r)
Hoy llueve o hace sol (s ∨ t)
Hoy llueve y llevo paraguas o hace sol y no llevo paraguas ((s ∧ u) ∨ (t ∧ ¬u))
Observe en los ejemplos anteriores que:
- Una proposición compuesta puede utilizar uno o varios conectivos lógicos diferentes.
- Cada proposición compuesta tiene asociada una expresión lógica formada por los conectivos lógicos y las proposiciones simples correspondientes.
- Se utilizan los paréntesis para indicar el orden (asociatividad) en el que se quiere realizar la conexión de las proposiciones simples (como ejemplo puede ver la última proposición compuesta).:
Finalmente, las proposiciones simples que utilizan únicamente el conectivo lógico de negación no son proposiciones compuestas. Por ejemplo, utilizando las proposiciones simples anteriores, podríamos definir las siguientes proposiciones que también son simples:
Hoy no llueve (¬s)
Beatriz no es venezolana (¬p)
Hoy no llevo paraguas (¬u)
3.1 Resultado lógico de una proposición compuesta
Como indicamos en el apartado anterior, los conectivos lógicos pueden combinarse entre sí para formar proposiciones compuestas. El resultado lógico de la proposición compuesta está determinado por el valor lógico obtenido de la expresión lógica que define la proposición compuesta.
4. Ejercicios propuestos
- Determine cuáles de las siguientes proposiciones son simples y cuáles de ellas son proposiciones compuestas. En cada caso determine el valor lógico (verdadero o falso) de la proposición.
a. Los números enteros que terminan en 0 o en 5 son divisibles por 5. b. Los números impares son múltiplos de 3.
c. El mes de agosto tiene 30 días. d. Todos los números primos son impares.
e. Tegucigalpa es la capital de Honduras y está en América Central. f. No es cierto que Roma es la capital de Italia.
g. El triángulo es un polígono cerrado. h. Gabriel García Márquez escribió la novela “Cien años de Soledad”.
i. 12 + 1 = 7 ó 12 + 1 = 13 j. El primer día de la semana no es el domingo.
k. El año tiene 12 meses. l. Todas las semanas tiene 7 días.
m. 11 es menor que 3 y 5 es menor o igual que 11. n. La ciudad de Caracas no está en un valle.
o. El triángulo tiene 3 lados y el cuadrado tiene 5 lados.
- Complete la siguiente tabla de verdad para las proposiciones: q ∨ ¬r, ¬p y ¬p ∧ (q ∨ ¬r), donde V corresponde con el valor lógico verdadero y F con el valor lógico falso:
p q r ¬¬¬¬ r q ∨∨∨∨ ¬¬¬¬ r ¬¬¬¬ p (^) ¬¬¬¬ p (^) ∧∧∧∧ (q (^) ∨∨∨∨ (^) ¬¬¬¬ r)
V V V F
V V F V
V F V F
V F F V
F V V F
F V F V
F F V F
F F F V
- Determine para cada una de las siguientes afirmaciones la correspondiente proposición compuesta:
a. Dadas las siguientes proposiciones simples:
p: Un año es divisible entre 4
q: Un año es divisible entre 100
r: Un año es divisible entre 400
Determine la proposición compuesta que define un año bisiesto, sabiendo que: Un año es bisiesto si es divisible entre 4 y no es divisibles entre 100 o bien, es divisible entre 400.
b. Una aseguradora permitirá a sus clientes la contratación de una póliza de vida sólo si cumple con alguna de las siguientes condiciones:
- Es de sexo femenino y es menor de 20 años.
- Tiene más de 19 años y no está casado.
- Tiene contratada una póliza de seguros de viaje, está casado y es de sexo masculino.
- Tiene contratada una póliza de seguros de viaje, tiene menos de 20 años y está casado.
- No tiene contratada una póliza de seguros de viaje, no está casada y es de sexo femenino.
Defina las proposiciones simples correspondientes y determine la proposición compuesta para que el asegurado contrate una póliza de vida.
c. Una empresa está interesada en contratar a dos tipos de profesionales:
- Ingenieros Informáticos que tengan un promedio de calificaciones mayor o igual a 7.
- Otros ingenieros no Informáticos con un promedio mayor o igual que 5.0 y menor que 7.
Defina las proposiciones simples correspondientes y escriba la proposición compuesta que describe los tipos de profesionales que la empresa quiere contratar.
d. Dadas las siguientes proposiciones simples:
p: El conmutador maestro está activado
q: La puerta de la bóveda está forzada
r: La puerta del banco está abierta
s: El interruptor especial está activado
y sabiendo que el sistema de alarma contra robo de un banco se activa solamente cuando el conmutador maestro en la estación de policía está activado y cuando ocurren alguna de las dos situaciones siguientes: se fuerza la puerta de la bóveda, o se abre la puerta del banco cuando el interruptor especial está activado.
Sistemas de numeración y cambios de base
1. Sistemas de numeración
Un sistema de numeración está formado por un conjunto de símbolos y reglas de generación que permiten construir todos los números válidos en ese sistema de numeración. Dentro de los sistemas de numeración se encuentran los sistemas de numeración posicionales. En estos sistemas, el valor de un dígito del número depende tanto del símbolo utilizado, como de la posición que este símbolo ocupa en el número. Por ejemplo, en el sistema posicional romano, la posición relativa de los símbolos influye en la representación del número (VI corresponde al número 6 y IV al número 4 ).
Dentro de los sistemas posicionales se encuentran los sistemas de numeración con base. En los sistemas de numeración con base, un número N (en base 10 ) se representa mediante el
siguiente polinomio:
N = anbn^ + an-1bn-1^ + … + a 0 b^0
donde ai es un símbolo del sistema de numeración que llamaremos dígito, y b es la base. La base es igual a la cantidad de símbolos que tiene el sistema de numeración. Algunos ejemplos de los sistemas de numeración posicionales con base son:
Sistema decimal : Es el sistema de base 10 en el que se utilizan los símbolos: 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 y 9. Además es el sistema de numeración utilizado normalmente.
Sistema binario : Es el sistema de base 2 en el que se utilizan dos símbolos: 0 y 1.
Sistema octal : Es el sistema de base 8 en el que se utilizan ocho símbolos: 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , y 7.
Sistema Hexadecimal : Es el sistema de base 16 en el cual se usan los símbolos: 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , A, B, C, D, E, F, donde: A, B, C, D, E y F representan, respectivamente, los valores: 10 , 11 , 12 , 13 , 14 y 15 en el sistema de numeración decimal.
Por otra parte, la base del sistema de numeración en el que está representado un número se suele indicar colocando un subíndice al final del número. En los casos particulares de números en base 2 , base 8 y base 16 también se usa el sufijo b, o, o h, respectivamente. En el caso de la base 16 también se puede utilizar el prefijo 0x. Si no se indica nada, se asume que el número está representado en base 10.
Ejemplos:
12223 (Base 3)
3578 = 357o (Base 8)
1357 = 135710 (Base 10)
110010102 = 11001010b (Base 2)
86BF 16 = 86BFh = 0x86BF (Base 16)
2. Cambios de base de numeración
A continuación estudiaremos el procedimiento para obtener la representación de un número en base b a base 10 , o viceversa, de base 10 a base b. Además, en esta sección también describiremos cómo realizar la conversión de un número en base 2 a cualquier otra base que sea potencia de 2 y viceversa.
2.3 Conversión de un número en base 2 a cualquier otra base potencia de 2
(base 4, base 8, base hexadecimal):
Para realizar la conversión de un número en el sistema binario a cualquier otra base que sea potencia de 2 ( base = 2x^ ) es necesario realizar los siguientes pasos:
- Agrupar los dígitos binarios en grupos formados por x dígitos, donde x es la potencia de la base a la que se quiere realizar la conversión.
- Asignar a cada grupo de dígitos su correspondiente dígito en la base potencia de 2.
Por ejemplo, si se quiere realizar la conversión de un número en base binaria a base hexadecimal se requieren 4 dígitos binarios por cada dígito hexadecimal, ya que 16 = 2^4. Entonces, el procedimiento para convertir un número binario en un número hexadecimal consiste en agrupar los dígitos binarios de 4 en 4 y asignar el dígito hexadecimal correspondiente a cada grupo. La figura 1 ilustra este procedimiento.
Ejemplos:
(a) Dado el número 110010102 , su correspondiente representación en base octal se calcula de la siguiente manera:
Como 8 = 23 esto implica que se requieren 3 dígitos binarios por cada digito octal.
La agrupación del número binario 110010102 en grupos de 3 dígitos quedaría:
011 001 010
y el número en base octal es: (^3128)
(b) Dado el número 110010102 , su correspondiente representación en base 4 se calcula de la siguiente manera:
Como 4 = 22 esto significa que se requieren 2 dígitos binarios por cada digito en base 4.
La agrupación del número binario 110010102 en grupos de 2 dígitos quedaría:
11 00 10 10
y el número en base 4 es: 3022
2.4 Conversión de un número en una base potencia de 2 (base 4, base 8,
base hexadecimal)a base 2 :
Para realizar la conversión de un número en cualquier base potencia de 2 ( base = 2x^ ) a base binaria, simplemente hay que asignar a cada dígito en la base potencia de 2 su correspondiente representación en binario, ocupando x dígitos binarios por cada dígito en la base potencia de 2. La figura 2 ilustra este procedimiento.
Número binario: 0000 0011 1010 0000 0100 1001 1101 1110
Número hexadecimal: 0 3 A 0 4 9 D E
Figura 1 Conversión de un número binario a un número en base hexadecimal
Ejemplos:
(a) Dado el número 7238 en base octal, su correspondiente representación en base binaria se determina de la siguiente manera:
Como 8 = 23 esto indica que se necesitan 3 dígitos binarios para representar cada digito octal.
Además, sabiendo que la representación binaria de cada dígito octal utilizando 3 dígitos binarios es la siguiente:
38 = (^0112)
28 = (^0102)
78 = (^1112)
Entonces el número 7238 en base binaria es: (^111 010 )
(b) Dado el número 1DF2 16 en base hexadecimal, su correspondiente representación en base binaria se determina de la siguiente manera:
Como 16 = 24 esto indica que se necesitan 4 dígitos binarios para representar cada dígito hexadecimal.
Además, sabiendo que la representación binaria de cada dígito hexadecimal utilizando 4 dígitos binarios es la siguiente:
216 = (^00102)
F 16 = (^11112)
D 16 = (^11012)
116 = (^00012)
Entonces el número 1DF2 16 en base binaria es: (^0001 1101 1111 )
La figura 3 muestra un grafo que resume cómo realizar todos los cambios de base para las bases decimal, binaria, octal y hexadecimal fundamentados en las explicaciones anteriores.
Número hexadecimal: A 1 5 B 8 E F 2
Número binario: 1010 0001 0101 1011 1000 1110 1111 0010
Figura 2 Conversión de un número en base hexadecimal a base binaria
3. Ejercicios propuestos
- Complete la siguiente tabla:
Decimal: 10 Binario: (^) b o 2 Octal: (^) o o 8 Hexadecimal: (^) h o (^16)
(^16910)
(^4268)
(^110112)
(^1467) o
(^1000011011) b
1A8 16
(^558)
(^226) h
- Convierta el número 1100002 al sistema de numeración de base 4.
- Convierta el número 2100510 al sistema de numeración de base 3.
- Determine en qué sistema de numeración se cumple que el número 270 del sistema de numeración decimal es igual a 226.
- Determine el sistema de numeración decimal (denotado por x en la igualdad) para que se cumpla que (^123) x = (231) 5.
Respuesta de los ejercicios propuestos
Proposiciones
a. Los números enteros que terminan en 0 o en 5 son divisibles por 5. Proposición compuesta con valor lógico verdadero.
b. Los números impares son múltiplos de 3. Proposición simple con valor lógico falso.
c. El mes de agosto tiene 30 días. Proposición simple con valor lógico falso.
d. Todos los números primos son impares. Proposición simple con valor lógico verdadero.
e. Tegucigalpa es la capital de Honduras y está en América Central. Proposición compuesta con valor lógico verdadero.
f. No es cierto que Roma es la capital de Italia. Proposición simple con valor lógico falso.
g. El triángulo es un polígono cerrado. Proposición simple con valor lógico verdadero.
h. Gabriel García Márquez escribió la novela “Cien años de Soledad”. Proposición simple con valor lógico verdadero.
i. 12 + 1 = 7 ó 12 + 1 = 13 Proposición compuesta con valor lógico verdadero.
j. El primer día de la semana no es el domingo. Proposición simple con valor lógico verdadero.
k. El año tiene 12 meses. Proposición simple con valor lógico verdadero.
l. Todas las semanas tienen 7 días. Proposición simple con valor lógico verdadero.
m. 11 es menor que 3 y 5 es menor o igual que 11. Proposición compuesta con valor lógico falso.
n. La ciudad de Caracas no está en un valle. Proposición simple con valor lógico falso.
o. El triángulo tiene 3 lados y el cuadrado tiene 5 lados. Proposición compuesta con valor lógico falso.