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Contenidos
- Capitulo 2. Rudimentos sobre L´ogica Matem´atica
- Proposiciones L´ogicas
- Generaci´on de Proposiciones y Tablas de Verdad
- Ejercicios Resueltos de L´ogica
- Uso de Cuantificadores
- Ejercicios Propuestos de L´ogica
- Las proposiciones l´ogicas y el casting conjuntista
- Ejercicios Resueltos de Conjuntos
- Ejercicios Propuestos de Conjunto
- Situaciones de Desempe˜no: L´ogica y Conjuntos
- Soluci´on Situaciones de Desempe˜no: L´ogica y Conjuntos
- Bibliograf´ıa
- Indice Alfab´etico
En este ejemplo, podemos ”seg´un nuestra experiencia” tratar de determinar para ese a ∈ R, el conjunto Sa, es decir tratar de decir quienes son los elementos de Sa, y por ende tambi´en decir quienes no son miembros de Sa, para ello procedemos como sigue:
x ∈ Sa ⇐⇒ x ∈ R ∧ p(x) = a (1) ⇐⇒ x ∈ R ∧ x − 1 = a (2) ⇐⇒ x ∈ R ∧ x = a + 1 (3)
Por tanto, tenemos que
Sa = {a + 1} (4)
Despu´es del procedimiento observamos que:
(1) Para caracterizar los elementos de Sa es necesario, seg´un (1), realizar dos operaciones: Una saber quienes son los elegibles o candidatos y la otra es verificar quienes de esos satisfacen el filtro, o hacen que la proposici´on l´ogica sea verdadera, decir p(x) = a.
(2) La etapa descrita en (2) es una operacionalizaci´on del filtro o proposici´on l´ogica, es decir plantea la ecuaci´on x − 1 = a
(3) La etapa descrita en (3) reduce el problema de pertenecer o no al conjunto, resolviendo en R la ecuaci´on x = a + 1
(4) Finalmente, (4) caracteriza, en este caso, al elemento del conjunto como a + 1, y por ejemplo para a = 0, tenemos que S 0 = { 1 } y en este caso:
1 ∈ S 0 pues es verdadero que p(1) = 0 2 6 ∈ S 0 pues es falso que p(2) = 0
- Generaci´on de Proposiciones y Tablas de Verdad
Definici´on 2.1. Si p es una proposici´on l´ogica entonces le asociaremos una ”Tabla de verdad” de la forma:
p 1 0
donde, 1 representa el valor de verdad verdadero(encendido)y 0 representa el valor de verdad falso (apagado).
Definici´on 2.2. Si p es una proposici´on l´ogica entonces ∼ p representar´a la proposici´on negaci´on de p, y le asociaremos una ”Tabla de verdad” de la forma:
p ∼ p 1 0 0 1
Definici´on 2.3. Una proposici´on l´ogica se dir´a compuesta si es formada por m´as de una proposici´on l´ogica. Para las proposiciones p y q, las siguientes proposiciones compuestas por ellas ser´an consideradas b´asicas
Definici´on 2.3.1. Llamaremos Conjunci´on o Producto l´ogico de p y q a p ∧ q, y le asignaremos la ”Tabla de verdad”
p q p ∧ q 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0
Sintetiza el concepto de intersecci´on en el sentido que: p ∧ q ser´a verdadera s´olo si p y q lo son si- mult´aneamente
Definici´on 2.3.2. Llamaremos Disyunci´on o Suma l´ogica de p y q a p ∨ q, y le asignaremos la ”Tabla de verdad”
p q p ∨ q 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0
Sintetiza el concepto de uni´on en el sentido que: Para que p ∨ q sea verdadera basta que una de ellas lo sea
Definici´on 2.3.3. Llamaremos Implicaci´on l´ogica de p y q a p =⇒ q, y le asignaremos la Tabla de verdad
p q p =⇒ q 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1
Sintetiza el concepto de relaci´on causal, en el sentido que p =⇒ q ser´a falsa s´olo cuando la hip´otesis p es verdadera y la conclusi´on q es falsa. Caso contrario la nueva proposici´on es verdadera.
Definici´on 2.3.4. Llamaremos Bicondicional l´ogico de p y q, ´o equivalencia l´ogica, a la proposici´on p ⇐⇒ q, o (p ≡ q) y le asignaremos la ”Tabla de verdad”
p q p ⇐⇒ q 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1
Sintetiza el concepto de equivalencia, concepto central en el proceso de clasificaci´on, p ⇐⇒ q ser´a verdadera s´olo cuando ambas tengan el mismo valor de verdad.
Definici´on 2.4. Una proposici´on compuesta se llama una Tautolog´ıa si su valor de verdad es siempre ver- dadero, independiente del valor de verdad de las proposiciones que la componen
Ejemplo 2.4.1. Si p es una proposici´on l´ogica entonces ∼ (∼ p) ⇐⇒ p es una tautolog´ıa
En efecto
En efecto
p q r q ∨ r p ∧ (q ∨ r) ⇐⇒ p ∧ q p ∧ r (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
(3) Si p y q son proposiciones l´ogicas entonces son equivalentes p =⇒ q y ∼ p ∨ q, es decir la proposici´on
(p =⇒ q) ⇐⇒ (∼ p ∨ q)
es una tautolog´ıa conocida como: Transformaci´on de la implicaci´on o inferencia en disyunci´on
En efecto
p q ∼ p p =⇒ q ⇐⇒ ∼ p ∨ q 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1
(4) Si p y q son proposiciones l´ogicas entonces son equivalentes ∼ (p∨q) y (∼ p ∧ ∼ q)es decir la proposici´on
∼ (p ∨ q) ⇐⇒ (∼ p ∧ ∼ q) (6)
es una tautolog´ıa conocida como: Ley de De Morgan para la disyunci´on
En efecto
p q ∼ p ∼ q p ∨ q ∼ (p ∨ q) ⇐⇒ ∼ p ∧ ∼ q 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1
(5) Si p y q son proposiciones entonces
[p ∧ (p =⇒ q)] =⇒ q (7)
es una tautolog´ıa conocida como: Modus Ponens o M´etodo de Afirmaci´on
En efecto
p q p =⇒ q p ∧ (p =⇒ q) [p ∧ (p =⇒ q)] =⇒ q 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1
(6) Si p, q y r son proposiciones entonces
[(p =⇒ q) ∧ (q =⇒ r)] =⇒ (p =⇒ r) (8)
es una tautolog´ıa conocida como: Implicaci´on L´ogica o Ley del Silogismo
En efecto
p q r p =⇒ q q =⇒ r (p =⇒ q) ∧ (q =⇒ r) =⇒ p =⇒ r 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1
(7) Si p y q son proposiciones entonces
[(p =⇒ q)∧ ∼ q] =⇒∼ p
es una tautolog´ıa conocida como: Modus Tollens o M´etodo de Negaci´on
En efecto
p q p =⇒ q ∼ q (p =⇒ q)∧ ∼ q =⇒ ∼ p 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1
(8) Si p es una proposici´on y C una contradicci´on entonces
(∼ p =⇒ C) =⇒ p
En efecto
Si hacemos w = [(p =⇒ q) ∧ (q =⇒ (r ∧ s)) ∧ (∼ r ∨ (∼ t ∨ u)) ∧ (p ∧ t)] entonces
w =⇒ (p =⇒ (r ∧ s)) ∧ (∼ r ∨ (∼ t ∨ u)) ∧ (p ∧ t) silogismo =⇒ (p =⇒ r) ∧ (∼ r ∨ (∼ t ∨ u)) ∧ p [(a ∧ b) =⇒ a]tautolog´ıa =⇒ p ∧ (p =⇒ r) ∧ (∼ r ∨ (∼ t ∨ u)) conmutatividad de ∧ =⇒ r ∧ (∼ r ∨ (∼ t ∨ u)) Modus ponens =⇒ r ∧ ((∼ r∨ ∼ t) ∨ u) Asociatividad de ∨ =⇒ r ∧ (∼ (r ∧ t) ∨ u) De Morgan =⇒ r ∧ (∼ r ∨ u) [(a ∧ b) =⇒ a]tautolog´ıa =⇒ (r∧ ∼ r) ∨ (r ∧ u) distributividad de ∧ en ∨ =⇒ C ∨ (r ∧ u) ley del inverso =⇒ r ∧ u ley del neutro =⇒ u [(a ∧ b) =⇒ b]tautolog´ıa
- Uso de Cuantificadores
Una forma natural de generar proposiciones es a trav´es de f´ormulas para hacer proposiciones, como por ejemplo:
(1) p(x): x es un natural mayor que 3
En este caso
Si notamos por I el conjunto de naturales x para los cuales p(x) es verdadera y por O el conjunto de naturales x para los cuales p(x) es falsa entonces
I = {x ∈ N | p(x) verdadera} = { 4 , 5 , 6 ,... } O = {x ∈ N | p(x) falsa} = { 1 , 2 , 3 }
(2) q(x, y) : x ∈ R e y ∈ R ∧ x^2 + y^2 = 1
En este caso, como veremos m´as tarde, I define un circulo con centro en (0, 0) y radio 1 y O es el resto del plano cartesiano R^2
Definici´on 4.1. p(x 1 , x 2 ,... , xn) se llama una f´ormula proposicional definida en un conjunto A si:
◦ Cada xi para 1 = 1, 2 ,... , n son variables en A, es decir pueden tomar valores en el conjunto A
◦ Para cada sustituci´on de las variables en A la f´ormula se transforma en una proposici´on l´ogica
Ejemplo 4.1.1. Ya observamos que (p(x) : x es un natural mayor que 3), es una f´ormula proposicional, y en particular tenemos:
- p(1) es falsa
- p(2) es falsa
- p(3) es falsa
- p(x) es verdadera para cada x ∈ N y x ≥ 4
As´ı p(x) es verdadera para algunos n´umeros naturales y tambi´en p(x) es falsa para algunos n´umeros natu- rales.
Definici´on 4.2. Si p(x) es una f´ormula proposicional entonces
(1) ” Para alg´un x; p(x)” es una proposici´on y la notaremos por [∃x; p(x)].
(2) ” Para un ´unico x; p(x)” es una proposici´on y la notaremos por [∃! x; p(x)].
(3) ” Para todo x; p(x)” es una proposici´on y la notaremos por [∀x; p(x)]
Ejemplo 4.2.1. Definamos en R las proposiciones:
⋄ p(x) : x ≥ 0
⋄ q(x) : x^2 ≥ 0
⋄ r(x) : x^2 − 3 x − 4 = 0
⋄ s(x) : x^2 − 3 > 0
entonces
◦ ∃x : (p(x) ∧ r(x)) es verdadera, pues existe 4 ∈ R tal que p(4) y r(4) son verdaderas.
◦ ∀x : (p(x) =⇒ q(x)) es verdadera, pues para cualquier valor real a, q(a) es verdadera.
◦ ∀x : (q(x) =⇒ s(x)) es falsa, pues por ejemplo q(1) es verdadera y s(1) es falsa.
La siguiente tabla especifica el comportamiento de los cuantificadores (∃) y (∀)
Proposici´on Verdadera Falsa
∃x : p(x) Para al menos un a, p(a) es verdadera Para cada a, p(a) es falsa
∀x : p(x) Para cada a, p(a) es verdadera Existe a tal que p(a) es falsa
∃x :∼ p(x) Existe a tal que p(a) es falsa Para cada a, p(a) es verdadera
∀x :∼ p(x) Para cada a, p(a) es falsa Existe a tal que p(a) es verdadera
(8) Sean p y q dos proposiciones l´ogicas. Si definimos el nuevo conectivo l´ogico:
p#q ≡ [(q ∧ p) =⇒∼ p]∧ ∼ q Entonces demuestre que
{q ∧ [p =⇒ (p#q)]}∨ ∼ p ≡∼ p
(9) Sean p y q dos proposiciones l´ogicas. Si definimos los dos nuevos conectivos l´ogicos: (p ∗ q =∼ p =⇒∼ q) ∧ (p#q =∼ p ∧ q) Entonces demuestre que (∼ p ∗ q)#(∼ q#p) ≡ p ∧ q
(10) Demuestre usando propiedades que
{[p =⇒ (q∧ ∼ r)] ∧ [p ∧ (q =⇒ r)]} ∨ {(p ∧ q) ∨ [r ∧ (∼ r ∨ q) ∧ p]} ≡ p ∧ q
- Las proposiciones l´ogicas y el casting conjuntista
Definici´on 6.1. Relaci´on entre conjunto y proposici´on l´ogica Si p es una proposici´on l´ogica entonces llamaremos Ap o A, si no hay confusi´on al conjunto de elementos que filtra p, es decir
Ap = {x | p es verdadera para el caso o suceso x} := {x | p(x)}
As´ı que, tenemos una ”correspondencia” entre conjuntos y proposiciones que podemos simbolizar como sigue:
p proposici´on l´ogica L9999K Ap := {x | p(x)} (9)
En la simbolizaci´on hecha en (9) hemos ”adoptado un orden” en el sentido que una proposici´on es interpre- tada como un filtro que permite, ”conjuntar” elementos que son homog´eneos respecto del valor de verdad o falsedad de la proposici´on p. Es decir tenemos que.
Si x es un elemento de Ap entonces ”x es un elemento elegible” y x verifica la condici´on descrita por p, y rec´ıprocamente si ”x es un elemento elegible” y x verifica la condici´on descrita por p entonces x es un elemento de Ap en s´ımbolos notaremos
x ∈ Ap ⇐⇒ x es elegible ∧ p(x) es verdadera (10)
Ejemplo 6.1.1. Si u es la proposici´on l´ogica que filtra el hecho de aparecer o no aparecer en la base de datos de alumnos de la Universidad de Santiago entonces
Au = {Alumnos que aparecen en la base de datos de la Universidad de Santiago} (11)
Definici´on 6.2. Conjunto Complemento Si p es una proposici´on l´ogica entonces como ∼ p es una proposici´on l´ogica
A∼p = {x | ∼ p(x)}
Se llama el conjunto complementario o complemento respecto de los elegibles que satisfacen al filtro p, y lo notaremos (A∼p)c^ o Ac^ si no hay confusi´on.
Lema 6.2.1. Si p es una proposici´on l´ogica tal que A = {x | p(x)} entonces
Ac^ = {x | x 6 ∈ A} (12)
En efecto
x ∈ Ac^ ⇐⇒ x es elegible ∧ ∼ p(x) ⇐⇒ x es elegible ∧ p(x) es falsa ( ver (5)) ⇐⇒ x 6 ∈ A
Definici´on 6.3. Uni´on de Conjuntos Si p y q son dos proposiciones l´ogicas entonces llamaremos conjunto uni´on de los conjuntos Ap y Aq a:
Ap ∪ Aq = {x | p(x) ∨ q(x)} (13)
Lema 6.3.1. Operacionalmente la definici´on dada en (13) significa que
x ∈ (Ap ∪ Aq) ⇐⇒ x ∈ Ap ∨ x ∈ Aq (14)
En efecto
x ∈ (Ap ∪ Aq) ⇐⇒ x es elegible ∧ (p(x) ∨ q(x)) ⇐⇒ (x es elegible ∧ p(x)) ∨ (x es elegible ∧ q(x)) ⇐⇒ x ∈ Ap ∨ x ∈ Aq
Ejemplo 6.3.2. Si definimos la proposici´on l´ogica p como los alumnos de la Universidad de Santiago que son alumnos regulares, es decir cumplen los requisitos establecidos por la instituci´on, para ser considerados alumnos con todas las franquicias y deberes que establece el regimen de estudio vigente entonces
Au = Ap ∪ A∼p
donde Au es definido en (11). Pues
(1) Ap = {x ∈ Au | p(x)}
(2) A∼p = {x ∈ Au | ∼ p(x)}
Definici´on 6.4. Intersecci´on de Conjuntos Si p y q son dos proposiciones l´ogicas entonces llamaremos conjunto intersecci´on de los conjuntos Ap y Aq a:
Ap ∩ Aq = {x | p(x) ∧ q(x)} (15)
Lema 6.4.1. Operacionalmente la definici´on dada en (13) significa que
x ∈ (Ap ∩ Aq) ⇐⇒ x ∈ Ap ∧ x ∈ Aq (16)
En efecto
x ∈ (Ap ∩ Aq) ⇐⇒ x es elegible ∧ (p(x) ∧ q(x)) ⇐⇒ (x es elegible ∧ p(x)) ∧ (x es elegible ∧ q(x)) ⇐⇒ x ∈ Ap ∧ x ∈ Aq
- Ejercicios Resueltos de Conjuntos
(1) Si A es un conjunto entonces A ∪ A = A Esta propiedad se llama Idempotencia de la uni´on de conjuntos
Soluci´on
Etapa 1. Si usamos el lenguaje definido incipientemente en la parte de l´ogica, es decir, conforme a la identificaci´on definida en (9) hacemos A = {x | p(x)} entonces el resultado sigue del hecho que p ∨ p ⇐⇒ p es una tautolog´ıa.
Etapa 2. Con el lenguaje propio de los conjuntos obtenemos lo siguiente:
x ∈ (A ∪ A) ⇐⇒ x es elegible ∧ (x ∈ A ∨ x ∈ A) ( Ver (14)) ⇐⇒ x es elegible ∧ p(x) es verdadera ⇐⇒ x ∈ {x | p(x)} ( Ver (9)) ⇐⇒ x ∈ A
(2) A ∩ A = A (Idempotencia de la intersecci´on de conjuntos)
Soluci´on
Etapa 1. Si usamos el lenguaje definido incipientemente en la parte de l´ogica, es decir, conforme a la identificaci´on definida en (9) hacemos A = {x | p(x)} entonces el resultado sigue del hecho que p ∧ p ⇐⇒ p es una tautolog´ıa.
Etapa 2. Con el lenguaje propio de los conjuntos obtenemos lo siguiente:
x ∈ (A ∩ A) ⇐⇒ x es elegible ∧ (x ∈ A ∧ x ∈ A) ( Ver (16)) ⇐⇒ x es elegible ∧ p(x) es verdadera ⇐⇒ x ∈ {x | p(x)} ( Ver (9)) ⇐⇒ x ∈ A
(3) (Ac)c^ = A (Idempotencia de la inclusi´on de conjuntos)
Soluci´on
Etapa 1. Si usamos el lenguaje definido incipientemente en la parte de l´ogica, es decir, conforme a la identificaci´on definida en (9) hacemos A = {x | p(x)} entonces el resultado sigue del hecho que ∼ (∼ p) ⇐⇒ p es una tautolog´ıa.
Etapa 2. Con el lenguaje propio de los conjuntos obtenemos lo siguiente:
x ∈ (Ac)c^ ⇐⇒ x es elegible ∧ (x 6 ∈ Ac) ( Ver (12)) ⇐⇒ x es elegible ∧ p(x) es verdadera ⇐⇒ x ∈ {x | p(x)} ( Ver (9)) ⇐⇒ x ∈ A Estos ejercicios nos dicen que, despu´es de la segunda aplicaci´on no obtendremos nueva informaci´on, si se verifica ”la ley de Idempotencia.”
- Ejercicios Propuestos de Conjunto
8.1. Para A y B conjuntos: Determine la veracidad o falsedad de las proposiciones.
(1) A ⊂ (A ∪ B)
(2) (A ∩ B) ⊂ (A ∪ B)
(3) (A ∩ B)c^ ⊂ Bc
(4) (A ∪ B)c^ ⊂ (A ∩ B)c
(5) B ⊂ (A ∩ B)
(6) (A ∪ B)c^ ⊂ Ac
(7) (A ∩ B) ∪ B = B
8.2. Para A y B conjuntos: Simplifique las proposiciones.
(1) (A ∩ B) ∪ (Ac^ ∩ B)
(2) (A ∪ B)c^ ∪ (Ac^ ∩ B)
(3) A ∪ B ∪ A
(4) (A ∪ ∅) ∪ A)c
(5) (A ∪ B) ∩ (A ∪ Bc) ∩ (A ∪ B)
8.3. Para A y B conjuntos: Demuestre que.
(1) A ∪ (A ∩ B) = A
(2) A ∩ [B − (A ∩ B)] = ∅
(3) [(A ∩ Bc)c^ − (A ∪ Bc)] ∪ (A ∩ B) = B
- Soluci´on Situaciones de Desempe˜no: L´ogica y Conjuntos
(1) Demuestre usando propiedades (algebra de proposiciones) que es una es Tautolog´ıa la siguiente proposici´on.
[(p =⇒ q) =⇒ q] ∨ [∼ p ]
Soluci´on
Etapa 1. Debemos mostrar que [(p =⇒ q) =⇒ q] ∨ [∼ p ] es una tautolog´ıa
Etapa 2. Gesti´on de la informaci´on: Aplicamos directamente propiedades y obtenemos.
[(p =⇒ q) =⇒ q] ∨ [∼ p] ⇐⇒ [∼ (p =⇒ q) ∨ q] ∨ [∼ p] ⇐⇒ [∼ (∼ p ∨ q) ∨ q] ∨ [∼ p] ⇐⇒ [(p ∧ ∼ q) ∨ q] ∨ [∼ p] ⇐⇒ [(p ∨ q) ∧ (∼ q ∨ q)] ∨ [∼ p] ⇐⇒ [(p ∨ q) ∧ (T )] ∨ [∼ p] (T significa tautolog´ıa ) ⇐⇒ [(p ∨ q)] ∨ [∼ p] ⇐⇒ [(p ∨ [∼ p]) ∨ q)] ⇐⇒ [T ∨ q] ⇐⇒ T
(2) Si definimos el conectivo l´ogico # como sigue:
q#p = [p ⇒ (∼ q∧ ∼ p)] ∨ (q ∨ p) entonces demuestre que
(∼ p ⇒ q)#[(p∧ ∼ q)# ∼ q)# ∼ q] (∗) Es una tautolog´ıa
Soluci´on
Etapa 1. Por demostrar que (∗) es una tautolog´ıa, o sea que es una proposici´on siempre verdadera
Etapa 2. Gesti´on de la informaci´on
Observamos aplicando directamente la definici´on que
[p ⇒ (∼ q∧ ∼ p)] ∨ q ∨ p ⇐⇒ [∼ p ∨ (∼ q∧ ∼ p)] ∨ (q ∨ p) ⇐⇒ [∼ p∨ ∼ (q ∨ p)] ∨ (q ∨ p) ⇐⇒ ∼ [p ∧ (q ∨ p)] ∨ (q ∨ p) ⇐⇒ ∼ [q ∨ p] ∨ (q ∨ p) Luego, q#p es una tautolog´ıa
Etapa 3. Articulaci´on de la informaci´on
As´ı que, (∼ p ⇒ q)#[(p∧ ∼ q)# ∼ q)# ∼ q] es una tautolog´ıa.
(3) Si definimos el conectivo l´ogico ∗
p ∗ q es Falsa s´olo si p y q son verdaderas, caso contrario p ∗ q es Verdadera. entonces determinemos el valor de verdad de la proposici´on
[(p =⇒ q) ∨ q] ⇐⇒ [(p∧ ∼ q)∗ ∼ q] (∗∗)
Soluci´on
Etapa 1. Debemos estudiar el valor de verdad de la proposici´on (∗∗)
Etapa 2. Gesti´on de la informaci´on
- Si usamos las tautolog´ıas: (p =⇒ q) ∨ q ⇐⇒ (∼ p ∨ q) ∨ q ⇐⇒∼ p ∨ q entonces estudiar la proposici´on (∗∗) es equivalente a estudiar la proposici´on: (∼ p ∨ q) ⇐⇒ [(p∧ ∼ q)∗ ∼ q]
- M´as a´un, conforme a la ley de De Morgan ∼ (p∧ ∼ q) ⇐⇒∼ p ∨ q De donde (∗∗) se transforma en (∼ p ∨ q) ⇐⇒∼ (∼ p ∨ q)∗ ∼ q Si hacemos m =∼ p ∨ q entonces (∗∗) finalmente se reduce a la proposici´on
m ⇐⇒∼ m∗ ∼ q Etapa 3. Conclusiones:
Caso 1. Si m es verdadera ∼ m es falsa y entonces por definici´on ∼ m∗ ∼ q es verdadera, y m ⇔∼ m∗ ∼ q es verdadera
Caso 2. Si m es falsa entonces ∼ m es verdadera y tenemos dos subcasos:
(i) Si ∼ q es verdadera entonces ∼ m∗ ∼ q es falsa, y se tiene que m ⇔∼ m∗ ∼ q es verdadera
(ii) Si ∼ q es falsa entonces q es verdadera y m =∼ p ∨ q es verdadera, lo cual contradice la hip´otesis, por tanto este subcaso, no es posible
Luego, (∗∗) es una tautolog´ıa
