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11.3 PROBLEMA DEL FLUJO MÁXIMO 433
3
3
3
2
(^5 )
6
3 1
2
7
5
4
a ) Sexta iteración
1
(^2 )
7
8
6
3
4
3
3 3 2 5 2 6
3 1
2
7
5
4
b ) Séptima iteración
1
(^2 )
7
8
6
3
4
FIGURA 11.5 Iteraciones sexta y séptima (final)
11.3 Problema del flujo máximo
El problema del flujo máximo implica determinar la cantidad máxima de material que en una red puede fluir de un punto ( el origen ) a otro (el destino final ). Los ejemplos de este tipo de problema incluyen determinar el número máximo de autos que circulan por un sistema de carreteras, la canti- dad máxima de líquido que fluye por una red de tuberías y la cantidad máxima de datos que pueden fluir por una red de cómputo. Para encontrar el flujo máximo desde el origen o el inicio de una red hasta el sumidero o final de la red, se utilizan dos métodos comunes: la técnica del flujo máximo y la programación lineal. Comenzamos por presentar un ejemplo y demostrar el primero de los dos métodos.
Técnica del flujo máximo
Waukesha, un pequeño pueblo en Wisconsin, está en el proceso de desarrollar un sistema de caminos para el área del centro. Bill Blackstone, uno de los planeadores de la ciudad, quiere determinar el número máximo de automóviles que pueden fluir por el pueblo de oeste a este. La red de caminos se ilustra en la figura 11.6.
La técnica del flujo máximo encuentra la mayor cantidad que puede fluir a través de una red.
TABLA 11.1 Resumen de los pasos en el problema del árbol de expansión mínima de Lauderdale Construction
PASO
NODOS CONECTADOS
NODOS NO CONECTADOS
NODO NO CONECTADO MÁS CERCANO
ARCO SELECCIONADO
LONGITUD DEL ARCO
DISTANCIA TOTAL 1 1 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 3 1–3 2 2 2 1, 3 2, 4, 5, 6, 7, 8 4 3–4 2 4 3 1, 3, 4 2, 5, 6, 7, 8 2 o 6 2–3 3 7 4 1, 2, 3, 4 5, 6, 7, 8 5 o 6 2–5 3 10 5 1, 2, 3, 4, 5 6, 7, 8 6 3–6 3 13 6 1, 2, 3, 4, 5, 6 7, 8 8 6–8 1 14 7 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8 7 7 7–8 2 16
434 CAPÍTULO 11 • MODELOS DE REDES
PROGRAMA 11.1 Solución de QM para Windows para el problema del árbol de expansión mínima de la compañía Lauderdale Construction
3 2 10
1 2 1
0 1 1
1
0 3 2
1
6
1
2
0 Punto Oeste
Capacidad en cientos de autos por hora
Punto Este
1
2 6
5
4
3
FIGURA 11.
Red de caminos para Waukesha
Las calles se indican mediante sus respectivos nodos. Observe la calle entre los nodos 1 y 2. Los números al lado de los nodos indican el número máximo de automóviles (en cientos de unidades por hora) que pueden fluir desde los diferentes nodos. El número 3 al lado del nodo 1 indica que pueden ir 300 vehículos por hora desde el nodo 1 hasta el nodo 2. Véase los números 1, 1 y 2 al lado del nodo 2.
436 CAPÍTULO 11 • MODELOS DE REDES
3
1 2 2
Restar 2
Sumar 2
Trayectoria anterior
1
3 0 4
Trayectoria nueva
1
2 6
1
2 6
FIGURA 11.
Ajuste de capacidad para la trayectoria 1-2-6, iteración 1
Sistema de control de tránsito en la autopista Hanshin
L a autopista Hanshin comenzó con una sección de camino de 2.
kilómetros en la ciudad de Osaka, Japón, en la década de 1960. Este pequeño tramo fue la primera vía rápida urbana de cuota en Osaka. El flujo aproximado de tránsito era de 5,000 autos por día. En la ac- tualidad, la autopista incluye cerca de 200 kilómetros de carretera en un sistema que conecta Osaka con Kobe, Japón. El flujo de tráfico a principios de la década de 1990 era de más de 800,000 vehículos diarios, con un flujo pico que excedía 1 millón de autos por día. Como se señala en este capítulo, maximizar el flujo de tránsito a través de una red incluye una investigación de la capacidad actual y futura de las diferentes ramas de la red. Además del análisis de capaci- dad, Hanshin decidió usar un sistema de control de tráfico automati- zado para maximizar el flujo por la autopista existente, así como para reducir el congestionamiento y los cuellos de botella ocasionados por accidentes, mantenimiento de las vías o autos descompuestos. Se es- peraba que el sistema de control también aumentara el ingreso de la autopista. La administración de Hanshin investigó el número de acci- dentes y descomposturas en la vía rápida para ayudar a reducir
problemas y aumentar más el flujo vehicular. El sistema de control de tráfico proporciona un control tanto directo como indirecto. El control directo incluye registrar el número de vehículos que en- tran a la autopista por las rampas de acceso. El control indirecto incluye brindar información completa y al minuto con respecto a los flujos de tránsito y a las condiciones generales del flujo vehicular en la autopista, la cual se obtiene usando detectores de vehículos, cá- maras de TV, detectores ultrasónicos e identificadores automáticos de vehículos que leen la información de las matrículas. Los datos reunidos con tales dispositivos dan a las personas que están en casa o van conduciendo la información que requieren para deter- minar si usarán la autopista Hanshin. Esta aplicación revela que una solución a un problema tiene muchos componentes, incluyendo análisis cuantitativos, equipo y otros elementos, como proporcionar información a los conductores.
Fuente: Basada en T. Yoshino, et al. “The Traffic-Control System on the Han- shin Expressway”, Interfaces 25 (enero-febrero de 1995): 94-108.
EN ACCIÓN
un flujo de 2 unidades del nodo 6 al 2 (para un cambio total de 4 unidades). Al observar la ruta del nodo 2 al 1, vemos el número 3 al lado del nodo 2. Esto indica que el cambio total posible en esa di- rección es 3, y ello vendría de reducir los flujos del nodo 1 al 2, o bien, de aumentar los flujos del nodo 2 al 1. Como el flujo actual del nodo 1 al 2 es 2, podemos reducir esto en 2, dejando una capaci-
11.3 PROBLEMA DEL FLUJO MÁXIMO 437
El proceso se repite.
1
1
1 1
3
1
Restar 1
Sumar 1
Trayectoria anterior
1
2 6
4
0 2 10
4 0 0
0 2 0
1
0 3 2
1
6
2
4
0
Red nueva
1
2 6
5
4
3
FIGURA 11.8 Segunda iteración para el sistema de caminos de Waukesha
dad que también permite un flujo de 1 unidad del nodo 2 al nodo 1 (que da un cambio total de 3 unidades). En este punto tenemos un flujo de 200 automóviles a través de la red del nodo 1 al nodo 2 al nodo 6. También se refleja la nueva capacidad relativa, como se indica en la figura 11.7. Ahora repetimos el proceso eligiendo otra ruta con capacidad existente. Elegimos de manera ar- bitraria la ruta 1–2–4–6. La capacidad máxima en esta trayectoria es 1. De hecho, la capacidad en to- dos los nodos de esta trayectoria (1–2–4–6) de oeste a este es 1. Recuerde que la capacidad de la rama 1–2 es ahora 1, porque ya fluyen 2 unidades (200 autos por hora) por la red. Entonces, aumentamos en 1 el flujo en la trayectoria 1–2–4–6 y ajustamos su capacidad (véase la figura 11.8). Ahora tenemos un flujo de 3 unidades (300 autos): 200 automóviles por hora en la ruta 1–2– más 100 autos por hora en la ruta 1–2–4–6. ¿Podemos todavía aumentar el flujo? Sí, a través de la trayectoria 1-3-5-6 que es la trayectoria inferior. Consideramos la capacidad máxima de cada nodo en esta ruta. La capacidad del nodo 1 al nodo 3 es de 10 unidades; la capacidad del 3 al 5 es de 2 unidades, y la capacidad del nodo 5 al 6 es de 6 unidades. Estamos limitados por la menor capacidad, que es 2 unidades de flujo del nodo 3 al 5. El incremento de 2 unidades en el flujo a lo largo de esta ruta se muestra en la figura 11.9. De nuevo, repetimos el proceso, intentamos encontrar una ruta con capacidad sin usar en la red. Si verifica con cuidado la última iteración en la figura 11.9, verá que no hay más trayectorias del nodo
0 2
8
4 0 0
0 2 0
1
2
3 0
3
4
2
4
2 1
2 6
5
4
3
FIGURA 11.
Tercera y última iteración para el sistema de caminos de Waukesha
Continuamos hasta que no haya más trayectorias con capacidad sin utilizar.
11.4 PROBLEMA DE LA RUTA MÁS CORTA 439
Las variables se definen como:
X (^) ij flujo del nodo i al nodo j
Se agregará un arco adicional a la red, el cual irá de regreso del destino (nodo 6) al origen (nodo 1). El flujo por este arco representa el flujo total en la red. El programa lineal es:
Maximizar el flujo X 61 sujeto a:
X 64 … 1
X 62 … 2
X 56 … 1
X 53 … 1
X 46 … 1
X 43 … 1
X 42 … 1
X 35 … 2
X 34 … 3
X 26 … 2
X 24 … 1
X 21 … 1
X 14 … 2
X 13 … 10
X 12 … 3
11.4 Problema de la ruta más corta
El objetivo del problema de la ruta más corta es encontrar la menor distancia para ir de un lugar a otro. En una red, esto suele implicar la determinación de la ruta más corta de un nodo a cada uno de los otros nodos. Este problema se resuelve con la técnica de la ruta más corta, o bien, planteándolo como un programa lineal con variables 0–1. Se presentará un ejemplo para demostrar primero la téc- nica de la ruta más corta y, luego, se desarrollará un programa lineal.
Técnica de la ruta más corta
Todos los días, Ray Design debe transportar camas, sillas y otros muebles de la fábrica al almacén; necesita pasar por varias ciudades y Ray desea encontrar la ruta con la distancia más corta. La red de carreteras se muestra en la figura 11.10.
La técnica de la ruta más corta minimiza la distancia a través de una red.
Las últimas seis restricciones igualan el flujo que sale de un nodo con el que llega al nodo. El pro- blema está listo para resolverse usando el módulo de programación lineal en QM para Windows o Solver de Excel.
Xij Ú 0 y enteros
X 26 + X 46 + X 56 = X 61 o bien X 26 + X 46 + X 56 = X 61
X 35 = X 56 + X 53 o bien X 35 - X 56 - X 53 = 0
- X 42 - X 43 - X 46 = 0
x 14 + X 24 + X 34 + X 64 = X 42 + X 43 + X 46 o bien X 14 + X 24 + X 34 + X 64
x 13 + X 43 + X 53 = X 34 + X 35 o bien X 13 + X 43 + X 53 - X 34 - X 35 = 0
- X 21 - X 24 - X 26 = 0
X 12 + X 42 + X 62 = X 21 + X 24 + X 26 o bien X 12 + X 42 + X 62
X 61 = X 12 + X 13 + X 14 o bien X 61 - X 12 - X 13 - X 14 = 0
