¡Descarga Los números naturales y más Ejercicios en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
Unidad 1. Los números naturales Matemáticas 2ESO
Página 9
N úmeros y formas geométricas
- ¿Serías capaz de dibujar el siguiente? ¿Y el décimo?
21 55
- Teniendo en cuenta lo que sabes sobre números triangulares, busca y dibuja los cuatro primeros números cuadrados y los cuatro primeros números pentagonales.
1 4 9 16
1 5 12 22
- ¿Cuál sería el siguiente?
48
Matemáticas 2
- Si continuaras la serie hasta tener cincuenta de esos números, ¿cuál sería el último de esos cincuenta? El último de esos cincuenta estaría formado por un rectángulo de 52 de ancho y 50 de alto. Es decir, sería el 2 600.
- Ahora piensa en otra dirección: El número 24 tiene otras formas rectangulares. Búscalas todas. 1 · 24 – 2 · 12 – 3 · 8 – 4 · 6
- Busca un número, entre 30 y 40, que se pueda presentar en varios rectángulos diferentes, y otro que solo se pueda presentar en un único rectángulo. Varios rectángulos, el 36. → 1 · 36 – 2 · 18 – 3 · 12 – 4 · 9 – 6 · 6 Un único rectángulo, el 31.
Matemáticas 2
Página 12
- Pasa a forma incompleja. a) 3 h 20 min b) 5 h 6 s c) 9 h 1 min 1 s d) 2° 52' e) 4' 12" f ) 1° 11' 27" a) 3 h 20 min = 200 min = 12 000 s b) 5 h 6 s = 18 006 s c) 9 h 1 min 1 s = 32 461 s d) 2° 52' = 172' = 10 320" e) 4' 12" = 252" f ) 1° 11' 27" = 4 287"
- Traduce a horas y minutos: a) 86 min b) 132 min c) 250 min a) 1 h 26 min b) 2 h 12 min c) 4 h 10 min
- Traduce a minutos y segundos: a) 74" b) 135" c) 364" a) 1' 14" b) 2' 15" c) 6' 4"
- Expresa en forma compleja. a) 222 min b) 422 s c) 666 s a) 3 h 42 min b) 7 min 2 s c) 11 min 6 s
- Investiga y responde. Los antiguos babilonios escribían los números usando solo dos cifras. Observa algunos: 60 1 60 1 60 1
a) ¿Se trata de un sistema sexagesimal? ¿Por qué? b) Escribe en el sistema babilonio los números: 59 100 734 a) Sí es sexagesimal, pues cada 60 unidades forman una unidad del orden inmediatamente superior. b)b) (^) 60 1 60 1
Matemáticas 2
2 Operaciones con números naturales
Página 13
- Resuelve en el orden en que aparecen. a) 2 · 7 – 3 · 3 b) 2 · (15 – 8) – 3 · (21 – 18) c) 2 · (3 · 5 – 2 · 4) – 3 · (7 · 3 – 2 · 9) d) 2 · (15 – 2 · 16) – 3 · (7 · 9 – 2 · 3^2 ) a) 2 · 7 – 3 · 3 = 14 – 9 = 5 b) 2 · (15 – 8) – 3 · (21 – 18) = 2 · 7 – 3 · 3 = 14 – 9 = 5 c) 2 · (3 · 5 – 2 · 4) – 3 · (7 · 3 – 2 · 9) = 2 · (15 – 8) – 3 · (21 – 18) = 2 · 7 – 3 · 3 = 5 d) 2 · (15 – 2 · 16) – 3 · (7 · 9 – 2 · 3^2 ) = 2 · (15 – 2 · 4) – 3 · (7 · 3 – 2 · 9) = 2 · 7 – 3 · 3 = 5
- Resuelve y observa la influencia de los paréntesis. a) 6 · 7 – 3 · 2 + 8 b) 6 · 7 – 3 · (2 + 8) c) 6 · (7 – 3) · 2 + 8 d) 6 · (7 – 3 · 2) + 8 e) 6 · (7 – 3) · (2 + 8) f ) 6 · (7 – 3 · 2 + 8) a) 6 · 7 – 3 · 2 + 8 = 42 – 6 + 8 = 44 b) 6 · 7 – 3 · (2 + 8) = 42 – 3 · 10 = 12 c) 6 · (7 – 3) · 2 + 8 = 6 · 4 · 2 + 8 = 56 d) 6 · (7 – 3 · 2) + 8 = 6 · 1 + 8 = 14 e) 6 · (7 – 3) · (2 + 8) = 6 · 4 · 10 = 240 f ) 6 · (7 – 3 · 2 + 8) = 6 · (7 – 6 + 8) = 6 · 9 = 54
- Calcula. a) (52 – 34) : 9 + 42 : (39 – 32) b) 10 · (2^3 – 2) – 2 · 5^2 – 6^2 : 12 c)
**5**^ **+ 5 8· + 32** j^ **: 2** **d) (3 – 17 – 13 )**^2 **+ 7 +( 11 – 8 )**^2 a) (52 – 34) : 9 + 42 : (39 – 32) = 18 : 9 + 42 : 7 = 2 + 6 = 8 b) 10 · (2^3 – 2) – 2 · 5^2 – 6^2 : 12 = 10 · 6 – 50 – 3 = 7 c) 5 + 5 8· + 3 2 j^ : 2 = 5 + 49 j : 2 = 12 : 2 = 6 d) 3 – 17 – 13 j^2 + 7 + ( 11 – 8 ) 2 = ( 3 – 2 ) 2 + 7 + 9 = 1 + 4 = 5
Matemáticas 2
Página 14
- Escribe y calcula la expresión aritmética que corresponde a cada una de estas entradas, según se realicen en una calculadora básica o en una científica.
a) 11 + 2 * 3 =
b) 48 / 8 + 7 * 4 =
c) 21 * 7 + 9 / 3 =
d) 78 + 36 / 6 - 19 =
Con la calculadora básica: a) 39 b) 52 c) 52 d) 0 Con la calculadora científica: a) 17 b) 34 c) 150 d) 65
- Practica con tu calculadora científica y comprueba que obtienes las soluciones indicadas. a) 3 232 – 36 · 87 = 100 b) 27 · 14 – 1 368 : 38 = 342 c) (1 408 – 736) : 56 = 12 d) 754 – (186 + 397) = 171 e) 6 525 : 25 + (294 + 7 · 12) = 639 Efectivamente, se obtienen las soluciones indicadas.
Matemáticas 2
3 La relación de divisibilidad
Página 17
- Calcula y contesta. a) ¿Es 173 múltiplo de 19? ¿Y 228? b) ¿Es 516 múltiplo de 43? ¿Y 743? a) 173 no es múltiplo de 19 pues 173 = 19 · 9 + 2, su división no es exacta. 228 sí es múltiplo de 19 pues 228 = 19 · 12. b) 516 es múltiplo de 43 pues su división es exacta, 516 = 43 · 12. Sin embargo, 743 no lo es, pues 743 = 43 · 17 + 12, la división no es exacta.
- Escribe: a) Los cinco primeros múltiplos de 20. b) Todos los divisores de 20. a) 20, 40, 60, 80, 100 b) 1, 2, 4, 5, 10 y 20
- Dibuja todas las formas de representar 18 como número rectangular. 18 = 2 · 9
¿Qué relación tienen con los divisores de 18?
Las dimensiones de los rectángulos son los divisores de 18: 1, 2, 3, 6, 9 y 18.
- Escribe todos los divisores del número 70. Emparéjalos de forma que los productos de los distintos pares sean iguales. Divisores de 70: 1, 2, 5, 7, 10, 14, 35 y 70. 1 · 70 = 70 2 · 35 = 70 5 · 14 = 70 7 · 10 = 70
- Busca: a) Todos los múltiplos de 7 comprendidos entre 100 y 150. b) El primer múltiplo de 13 después de 1 000. a) 105, 112, 119, 126, 133, 140, 147 b) 1 001
Matemáticas 2
4 Números primos y compuestos
Página 19
- Separa, entre los siguientes números, los primos de los compuestos.
29 39 57 83 91 101 111 113 243 341 Primos: 29, 83, 101, 113 Compuestos: 39, 57, 91, 111, 243, 341
- Descompón en dos factores los siguientes números. 93 95 153 168 325 533 663 93 = 31 · 3 95 = 19 · 5 153 = 51 · 3 = 17 · 9 168 = 84 · 2 o las posibles combinaciones de sus factores primos. 325 = 65 · 5 = 25 · 13 533 = 41 · 13 663 = 221 · 3 = 17 · 39 = 51 · 13
- Copia y completa los procesos de descomposición factorial.
2 9 4 2 3 7 7
495 = 3^2 · 5 · 11
- Descompón estos números en factores primos. a) 84 b) 130 c) 160 d) 594 e) 720 f ) 975 g) 2 340 h) 5 220 a) 84 = 2^2 · 3 · 7 b) 130 = 2 · 5 · 13 c) 160 = 2^5 · 5 d) 594 = 2 · 3^3 · 11 e) 720 = 2^4 · 3^2 · 5 f ) 975 = 3 · 5^2 · 13 g) 2 340 = 2^2 · 3^2 · 5 · 13 h) 5 220 = 2^2 · 3^2 · 5 · 29
Matemáticas 2
- Descompón en forma de producto el número 210 de ocho formas diferentes.
210 = 7 · 30 210 = 2 · 105 210 = 6 · 35 210 = 14 · 15 210 = 21 · 10 210 = 3 · 70 210 = 5 · 42 210 = 2 · 3 · 7 · 5
- Escribe factorizados sin hacer ninguna operación: a) Tres múltiplos de 12 = 2^2 · 3. b) Todos los divisores de 75 = 3 · 5 · 5. a) Por ejemplo: 2 2 · 3 · 2; 2^2 · 3 · 3; 2^2 · 3 · 5 b) Por ejemplo: 3 · 5 · 5; 5 · 5; 3 · 5; 5; 3
- Teniendo en cuenta que m = 2^2 · 3 · 5 y n = 2^3 · 3, escribe: a) Tres múltiplos comunes de m y n****. b) Tres divisores comunes de m y n****. a) Por ejemplo: 2 3 · 3 · 5; 2^4 · 3 · 5; 2^3 · 3 · 5 · 7 b) Por ejemplo: 2; 3; 2 2 · 3
Matemáticas 2
6 Máximo común divisor de dos o más números
Página 21
- Calcula mentalmente. a) máx.c.d. (4, 6) b) máx.c.d. (6, 8) c) máx.c.d. (5, 10) d) máx.c.d. (15, 20) e) máx.c.d. (18, 27) f ) máx.c.d. (50, 75) a) 2 b) 2 c) 5 d) 5 e) 9 f ) 25
- Calcula. a) máx.c.d. (24, 36) b) máx.c.d. (28, 42) c) máx.c.d. (63, 99) d) máx.c.d. (90, 126) e) máx.c.d. (165, 275) f ) máx.c.d. (360, 450) a) 12 b) 14 c) 9 d) 18 e) 55 f ) 90
- Calcula. a) máx.c.d. (6, 9, 12) b) máx.c.d. (12, 18, 24) c) máx.c.d. (32, 40, 48) d) máx.c.d. (36, 60, 72) e) máx.c.d. (50, 60, 90) f ) máx.c.d. (75, 90, 105) a) 3 b) 2 · 3 = 6 c) 23 = 8 d) 22 · 3 = 12 e) 2 · 5 = 10 f ) 3 · 5 = 15
- Un carpintero saca del almacén dos listones, uno de 180 cm y el otro de 210 cm, y los quiere dividir en trozos iguales, lo más grandes que sea posible, sin que le sobre nada. ¿Cuánto debe medir cada trozo? máx.c.d. (180, 210) = 30 Cada trozo debe medir 30 cm.
Matemáticas 2
Ejercicios y problemas
Página 22
Sistemas de numeración
- Copia y completa. a) … centenas hacen 13 decenas de millar. b) Mil millares hacen un … c) … decenas de millar hacen 180 millones. d) Un millón de millones hacen un … a) 1 300 centenas b) millón c) 18 000 d) billón
- Observa un número escrito en dos sistemas de numeración diferente:
Sistema de numeración egipcio.
Sistema de numeración maya.
a) Explica el significado de los signos en cada caso. b) Escribe en ambos sistemas el número anterior y el siguiente. a) (^) = 100 unidades
El número es 100 + 30 + 4 = 134
= 10 unidades = 1 unidad
Egipcio
= 1 unidad
El número es 120 + 14 = 134
= 5 unidades
Maya 20 · (5 + 1)
5 · 2 + 4
b) Egipcio Maya
Egipcio Maya
Matemáticas 2
- Resuelve con tu calculadora las expresiones del ejercicio anterior. Se resuelve con la calculadora.
- Calcula. a) [(5 · 6 – 6) : (6^2 – 24)] · (3 + 2)^2 b) [(26 – 4^2 ) : 30 – 5 ] · (8 – 5) c) a 11^ – 2 4 + 32 k^ · [(7 · 4 – 4) : 8] d) ( 108 + 13 – 6)^2 – ( 6 + 7 ) 2 – 52 a) [(5 · 6 – 6) : (6^2 – 24)] · (3 + 2)^2 = [24 : 12] · 25 = 50 b) [(26 – 4 2 ) : 30 – 5 ] · (8 – 5) = [10 : 5] · 3 = 6 c) (11 – 2 4 + 32 ) · [(7 · 4 – 4) : 8] = (11 – 5) · [24 : 8] = 6 · 3 = 18 d) ( 108 + 13 – 6)^2 – ( 6 + 7 ) 2 – 52 = (11 – 6)^2 – 12 = 13
Múltiplos y divisores
- Responde y justifica tu respuesta. a) ¿Es 132 múltiplo de 11? b) ¿Es 11 divisor de 132? c) ¿Es 574 múltiplo de 14? d) ¿Es 27 divisor de 1 542? a) Sí, 132 = 12 · 11 b) Sí, 132 : 11 = 12 c) Sí, 574 = 41 · 14 d) No, 1 542 = 57 · 27 + 3 → división con resto
- Calcula. a) Los cinco primeros múltiplos de 10. b) Los cinco primeros múltiplos de 13. c) Los cinco primeros múltiplos de 31. a) 10, 20, 30, 40 y 50 b) 13, 26, 39, 52 y 65 c) 31, 62, 93, 124 y 155
- Calcula. a) Todos los divisores de 15. b) Todos los divisores de 23. c) Todos los divisores de 32. a) 1, 3, 5 y 15 b) 1 y 23 c) 1, 2, 4, 8, 16 y 32
- Copia estos números y selecciona: 66 71 90 103 105 156 220 315 421 825 1 000 2 007 4 829 5 511 6 005 a) Los múltiplos de 2. b) Los múltiplos de 3. c) Los múltiplos de 5. d) Los múltiplos de 11. a) 66, 90, 156, 220, 1 000 b) 66, 90, 105, 156, 315, 825, 2 007, 5 511 c) 90, 105, 220, 315, 825, 1 000, 6 005 d) 66, 220, 4 829, 5 511
Matemáticas 2
Página 23
Números primos y compuestos
- Escribe. a) Los diez primeros números primos. b) Los números primos comprendidos entre 50 y 60. c) Los números primos comprendidos entre 80 y 100. d) Los tres primeros primos mayores que 100. a) 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 y 29 b) 53 y 59 c) 83, 89 y 97 d) 101, 103 y 107
- Descompón en factores primos. a) 48 b) 54 c) 90 d) 105 e) 120 f ) 135 g) 180 h) 200 a) 48 = 2^4 · 3 b) 54 = 2 · 3^3 c) 90 = 2 · 3^2 · 5 d) 105 = 3 · 5 · 7 e) 120 = 2 3 · 3 · 5 f ) 135 = 3^3 · 5 g) 180 = 2^2 · 3^2 · 5 h) 200 = 2^3 · 5^2
- Descompón en el máximo número de factores. a) 378 b) 1 144 c) 1 872 a) 378 = 2 · 3^3 · 7 b) 1 144 = 2 3 · 11 · 13 c) 1 872 = 2 4 · 3^2 · 13
Mínimo común múltiplo y máximo común divisor
- Calcula. a) Los diez primeros múltiplos de 10. b) Los diez primeros múltiplos de 15. c) Los primeros múltiplos de 10 y 15. d) El mínimo común múltiplo de 10 y 15. a) 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90 y 100 b) 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135 y 150 c) 30, 60, 90, … d) 30
- Calcula mentalmente. a) mín.c.m. (2, 3) b) mín.c.m. (6, 9) c) mín.c.m. (4, 10) d) mín.c.m. (6, 10) e) mín.c.m. (6, 12) f ) mín.c.m. (12, 18) a) mín.c.m. (2, 3) = 6 b) mín.c.m. (6, 9) = 18 c) mín.c.m. (4, 10) = 20 d) mín.c.m. (6, 10) = 30 e) mín.c.m. (6, 12) = 12 f ) mín.c.m. (12, 18) = 36
Matemáticas 2
- ¿Verdadero o falso? En una división: a) Si se multiplica el dividendo por 3, el cociente también se multiplica por 3. b) Si se multiplica el divisor por 5, el cociente también se multiplica por 5. c) Si se multiplican el dividendo y el divisor por 2, el cociente no varía y el resto tampo- co. d) Si se multiplican el dividendo y el divisor por 4, el cociente no varía, pero el resto también se multiplica por 4. a) Verdadero. b) Falso. Si se multiplica el divisor por 5, el cociente queda dividido por 5. c) Falso. Si se multiplican el dividendo y el divisor por 2, el cociente no varía y el resto queda multiplicado por 2. d) Verdadero.
- En un acuartelamiento hay 3 007 soldados. ¿Se pueden colocar en formación con un número exacto de filas y columnas? Justifica la respuesta. Solo se podrán colocar en formación si el número no es primo. Además, su descomposición marcará el número de filas y de columnas de la formación (excluimos una única fila de 3 007 soldados, por obvia). Resulta que: 3 007 = 31 · 97 Por tanto, esa será la formación deseada.
- Un grupo de 20 personas se pueden organizar en un número exacto de filas y co- lumnas. Por ejemplo, cuatro filas y cinco columnas.
Sin embargo, no se puede hacer lo mismo con un grupo de 13 personas, que solo se pueden poner en una única fila.
Busca todos los números comprendidos entre 150 y 170 que solo se puedan organizar en una única fila. El problema nos está pidiendo los números primos que hay entre 150 y 170. Estos son: 151 - 157 - 163 - 167
Matemáticas 2
Página 24
- En mi colegio hay dos clases de 2.º ESO: 2.º A, con 24 estudiantes, y 2.º B, con 30. Tenemos que hacer equipos con el mismo número de miembros, pero sin mezlcar de las dos clases. Describe todas las formas posibles de hacer los equipos. Si tenemos que formar equipos, tenemos que dividir el total entre distintos números, tenien- do que ser la división exacta (no vamos a cortar a ningún estudiante, ¿verdad?). Por tanto, hemos de estudiar los divisores. Como nos hablan de dos clases, y de que los equipos tengan el mismo número de miembros, tendremos que estudiar los divisores comunes. Divisores de 24: 1 - 2 - 3 - 4 - 6 - 12 - 24 Divisores de 30: 1 - 2 - 3 - 5 - 6 - 10 - 15 - 30 Por tanto, las condiciones del enunciado se cumplen para equipos de 1, 2, 3 o 6 miembros.
- Un almacenista debe colocar 2 480 botes en filas, columnas y capas, formando un bloque lo más compacto posible. ¿Cómo lo harías tú? Buscamos la forma de escribir 2 480 (2 480 = 2^4 · 5 · 31) como producto de tres números lo más próximos que sea posible (intento aproximar la figura a un cubo). Las dimensiones del bloque, en botes, pueden ser 8 × 10 × 31.
- Se dice que dos números son primos entre sí cuando su único divisor común es la unidad. Por ejemplo: 32 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 35 = 5 · 7 Son primos entre sí. Escribe otras tres parejas de números que sean primos entre sí. Por ejemplo, 8 y 35, 48 y 65, 48 y 49.
- Justifica las siguientes afirmaciones: a) Si a es múltiplo de b , y b es múltiplo de c , entonces a es múltiplo de c****. a = k · b b = h · c a^ =? ·^ c b) Si a es divisor de b , y b es divisor de c , entonces a es divisor de c****. b = a · m c = b · n c^ =? ·^ a a) a = k · b = k · h · c ; lo que equivale a decir que a es múltiplo de c. b) c = b · n = a · m · n ; lo que equivale a decir que a es divisor de c.
- Si m es múltiplo de n , calcula: a) mín.c.m. ( m , n ) b) máx.c.d. ( m , n ) Si m es múltiplo de n , será m = k · n. a) mín.c.m. ( m , n ) = mín.c.m. ( k · n , n ) = k · n = m b) máx.c.d. ( m , n ) = máx.c.d. ( k · n , n ) = n
