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Universidade de Vigo:3033 - Econom´ıa
303311407- Macroeconom´ıa IV
Profesor: J.M. Da Rocha Alvarez´
segundo semestre 2009/
Tema 1: Crecimiento
´Indice
- Introducci´on 1
- De Malthus a Solow 2
- El Modelo de Crecimiento Neocl´asico de Solow 5 3.1. Las paradojas del modelo neocl´asico de crecimiento de Solow................ 10 3.2. El residuo de Solow........................................ 11 3.3. Crecimiento ex´ogeno....................................... 12
- Crecimiento end´ogeno de la productividad y educaci´on 14 4.1. ((Learning or doing))....................................... 15 4.2. ((Learning by doing))....................................... 18
- Ap´endice: Ecuaciones de convergencia en tiempo discreto 22
1. Introducci´on
¿Cu´ales son las causas de la riqueza de las naciones? ¿Por qu´e crecen los pa´ıses a lo largo del tiempo? ¿Qu´e factores, acciones o instituciones influyen en sentido positivo al crecimiento econ´omico? Desde Adam Smith se han intentado presentar explicaciones a estos interrogantes. En estre cap´ıtulo describiremos diferentes teor´ıas, y su concreci´on en modelos econ´omicos, que intentan responder a la pregunta de porqu´e crecen los pa´ıses y cuales son las fuentes que determinan el crecimiento del PIB per c´apita. En primer lugar presentaremos la teor´ıa malthusiana, donde el la fuente de crecimiento de los pa´ıses ven´ıa dado por el crecimiento de la poblaci´on que era precisamente la causa de su ruina. A continuaci´on nos preguntaremos por qu´e fallaban las predicciones de este modelo y nos preguntaremos qu´e elemento puede faltar. A continuaci´on presentaremos una teor´ıa donde la fuente de la riqueza de un pa´ıs es el crecimiento del otro factor productivo: el stock de capital. Presentaremos someramente el modelo de crecimiento de Harrod-Domar, y la alternativa presentada por Solow que centrar´a gran parte de nuestro estudio: el modelo de crecimiento neocl´asico. En los ´ultimos diez a˜nos el crecimiento ha pasado a ocupar un lugar importante entre los intereses de los macroeconomistas, desplazando en alguna medida su anterior preocupaci´on por los ciclos econ´omicos. En buena parte, este cambio de orientaci´on es debido a dos factores. El primero es el hecho de que, en t´erminos de bienestar a medio y largo plazo, importa bastante m´as la tendencia que el ciclo -al menos mientras la volatilidad de la renta sea reducida, como de hecho lo ha sido durante las ´ultimas d´ecadas-. El segundo es la creciente insatisfacci´on con los modelos neocl´asicos tradicionales que recog´ıan el consenso precedente sobre los determinantes del crecimiento, fundamentalmente por su aparente incapacidad para explicar rasgos tan destacados de los datos como el aumento de la desigualdad internacional o la ausencia de flujos de capital hacia los pa´ıses m´as pobres. La insatisfacci´on con la teor´ıa recibida motiv´o la b´usqueda de alternativas al modelo neocl´asico tradi- cional, dando lugar en a˜nos recientes a la literatura de crecimiento end´ogeno. A nivel te´orico, diversos
autores han desarrollado una serie de modelos que, al modificar algunos de los supuestos tradicionales sobre las propiedades de la tecnolog´ıa o los determinantes del progreso t´ecnico, generan predicciones muy diferentes de las de los modelos neocl´asicos sobre la evoluci´on de la distribuci´on internacional o interre- gional de la renta. A nivel emp´ırico, surge tambi´en una rica literatura en la que se intenta contrastar la validez de los diferentes modelos te´oricos propuestos, as´ı como cuantificar el impacto de diversos factores de inter´es sobre el crecimiento y las disparidades de renta entre pa´ıses y regiones.
2. De Malthus a Solow
El modelo malthusiano de crecimiento. Uno de los primeros modelos de crecimiento, cuyas conclusiones todav´ıa est´an hoy presentes en los estudios sobre el sostenimiento del crecimiento de la econom´ıa, es el trabajo de Thomas Malthus (1798) ((Essay on the Principle of Population)) donde pone de manifiesto las limitaciones a las que se enfrenta las sociedades: los recursos de la naturaleza limitan el crecimiento de la poblaci´on. Ello se debe a que los recursos naturales crecen a una tasa menor que aquella a la que crece la poblaci´on. Esto reduce los est´andares de vida de la poblaci´on, los recursos per c´apita, incrementando la tasa de mortalidad y reduciendo la tasa de crecimiento de la poblaci´on hasta alcanzar el techo que es posible sostener con los recursos disponibles. Este es el tipo de argumentos que a´un subsisten en numeroso estudios que ponen su ´enfasis en c´omo los rendimientos decrecientes, debidos a la contaminaci´on o al agotamiento de los recursos naturales, impiden el crecimiento sostenido de la sociedad. El ejemplo 1 ilustra como, efectivamente, los rendimientos decrecientes pueden limitar el crecimiento de la poblaci´on.^1 La teor´ıa malthusiana no explica la existencia de pa´ıses densamente poblados que a su vez son ex- tremadamente ricos (por ejemplo, Jap´on, EE.UU., Reino Unido, etc.). Esto se debe a que Malthus pensaba que la fuente del crecimiento econ´omico era fundamentalmente la poblaci´on, cuya aportaci´on -y esto era crucial- exhib´ıa rendimientos marginales decrecientes, por lo que la productividad marginal del trabajo era siempre decreciente. Por tanto, Malthus no era consciente de la potencialidad que tienen tanto la acumulaci´on de recursos f´ısicos (el capital) como el progreso t´ecnico. Estas son las dos fuerzas que per- miten incrementar la poblaci´on y los est´andares de vida al mismo tiempo. S´olo aquellos pa´ıses donde el capital es muy peque˜no, los pa´ıses subdesarrollados, parecen comportarse de acuerdo con los patrones malthusianos.
Ejemplo 1. Suponga una econom´ıa donde la producci´on agregada depende exclusivamente del input trabajo, Yt = F (Lt), de forma creciente, F ′(.) > 0. La existencia de factores fijos, los recursos naturales, generan rendimientos marginales decrecientes, es decir, F ′′(.) < 0. La econom´ıa crece o decrece porque se modifica la cantidad del factor trabajo (es decir, la cantidad de trabajo, y por ende el volumen de poblaci´on, es la fuente de crecimiento econ´omico). Para explicarlo precisamos una teor´ıa de la poblaci´on. As´ı, la tasa de crecimiento de la poblaci´on ser´a la diferencia entre la tasa de nacimientos, at, y la mortalidad, mt. Supondremos que las condiciones de vida de la poblaci´on, dependen de la cantidad de recursos per c´apita de la econom´ıa. Formalmente, supondremos que la mortalidad es una funci´on decreciente de los est´andares de vida, m′(ct) < 0 , donde el est´andar de vida est´a medido por el consumo per c´apita ct = Yt/Lt. Por el contrario, la poblaci´on dominada por unos ((deseos irrefrenables,)) se reproduce independiente de las condiciones de vida a una tasa constante , at = a. Bajo estos supuestos, la econom´ıa crece de acuerdo con la siguiente ley Lt+1 = [1 + a − m(ct)]Lt
En esta econom´ıa no es dif´ıcil mostrar que existe un techo al crecimiento de la econom´ıa, donde existe un est´andar de vida (consumo per c´apita) estacionario que previene de la inanici´on y que permite mantener la poblaci´on a un tama˜no dado. El gr´afico muestra una simulaci´on en la que a largo plazo los est´andares de vida se reducen hasta que la mortalidad iguala a los nacimientos y estabiliza la poblaci´on (y, por tanto, la producci´on) en los niveles m´aximos sostenibles.
Problema 1. Sup´on que Yt = Lαt , mt = 1/ 2 ct. Obtenga la poblaci´on y la producci´on m´axima sostenible. Suponga ahora que la productividad crece a lo largo del tiempo. Formalmente, suponga que Yt = θtLαt. ¿A qu´e tasa ha de crecer la productividad para que no exista un techo al crecimiento de la poblaci´on? (^1) Para una formalizaci´on del modelo de Malthus ver Merton H. Miller y Charles W. Upton (1986, cap.1) Macroeconomics. A Neoclassical Introduction, Chicago University Press, o Javier D´ıaz-Gim´enez (1999, cap.13) Macroeconom´ıa, Antoni Bosch.
Harrod y Domar. ¿Es posible de sostener simult´aneamente tasas de crecimiento positivas de poblaci´on y renta per c´apita? La Gran Depresi´on parec´ıa que era la confirmaci´on de las teor´ıas de Marx para el cual el capitalismo era un sistema inherentemente inestable que estaba abocado al colapso. De ah´ı el inter´es de algunos intentos de explicar la posibilidad o no de que las econom´ıas que creciesen inevitablemente se estancasen. Es decir, ¿en que medida era posible mantener sendas de crecimiento equilibradas que permitan el pleno empleo de todos los factores de la econom´ıa? Harrod (1939) y posteriormente Domar (1947), introdujeron en el an´alisis keynesiano elementos de crecimiento manteniendo la posibilidad de que la demanda agregada no garantizase el pleno empleo de los factores. Esto les permiti´o argumentar que el sistema capitalista es inherentemente inestable, ya que a largo plazo, o bien se generar´ıan sendas con desempleo o bien la econom´ıa tender´ıa a acumular capital ocioso. De ah´ı su preocupaci´on por la generaci´on de una demanda agregada continua que ocasionara un crecimiento continuado que permitiera cerrar el exceso de capacidad -encaminado a provocar la total utilizaci´on de los recursos. Su argumento para mostrar la dificultad de mantener el pleno empleo de los factores es sencillo. Considere una econom´ıa donde el input trabajo crece a la tasa constante n. Para mantener el pleno empleo del factor trabajo es preciso que la econom´ıa crezca a esta tasa Yt − Yt− 1 Yt− 1
= n
que Harrod denomina ((tasa natural de desarrollo)). Ahora bien, para determinar el pleno empleo del capital es preciso que el ahorro de la econom´ıa coincida con la inversi´on, cuyo nivel depender´a de las variaciones (esperadas) de la demanda agregada de la econom´ıa:
sYt = v(Y (^) te − Yt− 1 )
El par´ametro v es el acelerador, y nos indica la tasa a la que los empresarios est´an dispuestos a incrementar el stock de capital ante variaciones en la demanda agregada. As´ı pues para mantener el pleno empleo del stock de capital es preciso que la econom´ıa crezca a la tasa
s v
Yt − Yt− 1 Yt− 1
que Harrod denomina ((tasa garantizada)), y se define como aquella tasa que permite la realizaci´on de las expectativas de los inversores. Por tanto, una senda de crecimiento equilibrada precisa que
s v
≡ n
de tal modo que tanto el stock de capital como el trabajo registren crecimiento a niveles de pleno empleo. Dado que las posibilidades de que los tres par´ametros coincidan es muy improbable, la senda equilibrada de la econom´ıa ((ser´a –en palabras de Harrod– estrecha como el filo de una navaja)). En general, la econom´ıa se encontrar´a en situaciones en las que la renta crece a tasas que generar´an desempleo o infrautilizaci´on del stock de capital.
Ejemplo 2. Seg´un Robert Solow (1956), la clave de los resultados de Harrod-Domar se deriva de la utilizaci´on de una funci´on de producci´on Leontief
Y = F (K, L) = m´ın
v
K,
a
L
donde v y a son constantes positivas. Esta tecnolog´ıa donde los inputs se combinan en proporciones fijas nos indica que por cada unidad de capital han de utilizarse v/a unidades de trabajo. N´otese que, con esta tecnolog´ıa, tambi´en podemos derivar una funci´on de producci´on intensiva y = f (k) = m´ın
v k,^
1 a
que nos indica que existen tres regiones de pleno empleo de los inputs capital K¯ y trabajo L¯
y =
k/v si k < v/a entonces Ld^ < L¯ y Kd^ = K¯ k/v si k = v/a entonces Ld^ = L¯ y Kd^ = K¯ 1 /a si k > v/a entonces Ld^ = L¯ y Kd^ < K¯
cuando la intensidad de capital es muy baja, no existe capital suficiente para todos los trabajadores y, por tanto, se genera desempleo. Si, por el contrario, la intensidad de capital es muy elevada, entonces
existir´a capacidad productiva no utilizada. Tan s´olo cuando la intensidad de capital coincide justo con las proporciones en las que deben combinarse los factores existir´a pleno empleo. En el modelo de crecimiento de Harrod-Domar existe acumulaci´on de los dos factores: trabajo, a una tasa constante n (es decir, Lt+1 = Lt(1 + n)) y capital, Kt+1 = Kt + It, donde por simplicidad se supuso un consumo de capital fijo cero (es decir, una tasa de depreciaci´on nula, δ = 0). Suponiendo que el ahorro total es una tasa constante s del total de la renta, St = sYt, y que se dedica enteramente a la inversi´on, It = St, se puede obtener la din´amica de esta econom´ıa como:
(1 + n) kt+1 = s m´ın {kt/v, 1 /a} + kt
La funci´on de pol´ıtica es la siguiente
kt+1 =
{ (^) s v + 1+ sn kt^ si^ kt^ ≤^ v/a a +kt 1+n si^ kt^ > v/a
Ahora, dependiendo del valor de los par´ametros s, v y n obtendremos diferentes soluciones. i) Si sv ≡ n obtendremos un stock de capital per c´apita estacionario k∗^ = va. ii) Si s/v > n la acumulaci´on del factor capital es m´as r´apida que la acumulaci´on de reposici´on al input trabajo. En dicho caso el stock de capital per c´apita crece hasta llegar a un nivel de estado estacionario ˆk = (^) ans > k∗, donde la econom´ıa est´a creciendo con plena utilizaci´on del input trabajo y una infrautilizaci´on del input capital. Obs´ervese que la econom´ıa acumula capital que no ser´a utilizado y, a pesar de que el producto marginal del capital es cero, los agentes siguen ahorrando una proporci´on constante s de su renta (!!!) En cualquier modelo donde a los agentes se les d´e la oportunidad de maximizar su utilidad no encontraran ´optimo seguir acumulando capital cuando el producto marginal (el rendimiento del ahorro) es cero. Ello eliminar´ıa la posibilidad de que existan equilibrios con capacidad ociosa instalada. iii) Finalmente, el caso s/v < n era el que identificaba Harrod con la situaci´on de la Gran Depresi´on. En este sentido el crecimiento del input capital es inferior al preciso para dotar de maquinaria a los nuevos trabajadores que aparecen en la econom´ıa. De esta forma el capital, aunque crece en t´erminos nominales, en t´erminos per c´apita se va reduciendo indefinidamente aunque convergiendo a k∗^ = 0. En este contexto la econom´ıa se encuentra creciendo en plena utilizaci´on del input capital y en desempleo del input trabajo. Sin embargo, el equilibrio que predice que kt+1 < kt para todo t, contrasta con la evidencia disponible, ya que salvo en aquellas pa´ıses que identificamos como ((cat´astrofes)) -muchos de los cuales han sufrido episodios b´elicos-, el resto de los pa´ıses de la muestra Summer-Heston han experimentado una acumulaci´on positiva de capital per c´apita.
Dadas estas observaciones, se propusieron diversas alternativas para evitar la cuesti´on de la inestabil- idad. Reconociendo que los par´ametros de la tasa de ahorro, s, tasa de crecimiento de la poblaci´on n y del producto medio del capital v dif´ıcilmente verificaban la identidad s/v ≡ n, diversas l´ıneas surgieron con la intenci´on de endogeneizar alguno de estos par´ametros, de forma que permitiera ajustar la ecuaci´on que permitiese crecimiento con pleno empleo. A) Un primer intento es debido a Goodwin (1955) que construye un modelo de crecimiento con fluctuaciones en torno a la tendencia de largo plazo marcada por la tasa natural, s/v, donde se presenta el predominio a largo plazo de las fuerzas de la oferta. B) Dussenberry (1958) presenta un modelo dominado por la tasa garantizada, donde n se adapta a la tasa natural a partir de movimientos migratorios, modificaci´on del porcentaje de la poblaci´on activa, etc. C) Solow (1956) presenta su modelo neocl´asico de crecimiento, donde la modificaci´on del grado de intensidad relativa del capital de los procesos productivos v acaba cuando la tasa garantizada se iguala a la natural, lo cual consigue gracias a la sustituibilidad entre el factor trabajo y el capital. D) Finalmente, partien- do de los hechos estilizados de Kaldor (1963), estos modelos post-keynesianos de crecimiento niegan la conveniencia de utilizar la funci´on de producci´on neocl´asica y retoman una funci´on de ahorro marxista s con dos clases sociales. En sus conclusiones, las condiciones del lado de la demanda dominan el modelo. De todas estas alternativas, el modelo de crecimiento neocl´asico de Solow y su posterior refinamien- to ha sido la aportaci´on m´as relevante es especial por su capacidad de reproducir hechos observados emp´ıricamente, de ah´ı la extensi´on en su estudio que nos el resto del cap´ıtulo.
3. El Modelo de Crecimiento Neocl´asico de Solow
Tanto los trabajos de Robert Solow, ((A Contribution to the Theory of Economic Growth)) (1956) y ((Technical Change and the Aggregate Production Function))(1957), como el estudio de Denison, ((The
Las empresas disponen de una tecnolog´ıa que transforma capital y trabajo en el bien final, y que se puede representar por una funci´on de producci´on neocl´asica
Yt = F (Kt, Lt)
que verifica:
- La producci´on es creciente en ambos factores de producci´on, con productividades marginales de- crecientes. Formalmente:
∂F (·) ∂K
∂F (·)
∂L
∂^2 F (·)
∂K^2
∂^2 F (·)
∂L^2
- La producci´on presenta rendimientos constantes a escala. Formalmente, F es homog´enea de grado 1 F (λKt, λLt) = λF (Kt, Lt)
- F debe cumplir unas propiedades de regularidad (que garantizar´an la existencia de soluciones interiores para cualquier valor de los par´ametros del modelo) que se denominan ((condiciones de Inada)).
l´ım K→ 0
F
′ K (.) =^ ∞^ Kl´ım→∞ F^
′ K (.) = 0 l´ım L→ 0
F
′ L(.) =^ ∞^ Ll´→∞ım F^
′ L(.) = 0
- Existe una perfecta adaptaci´on de la estructura de capital de la econom´ıa a la relaci´on capi- tal/trabajo. Es decir, el capital es perfectamente maleable y es capaz de combinarse con el factor trabajo seg´un proporciones variadas.
La existencia de rendimientos constantes a escala implica que la producci´on agregada es independiente del n´umero y del tama˜no de las empresas que hay en la econom´ıa y, por lo tanto, podemos suponer que toda la producci´on la realiza una sola empresa ((representativa)). Por otra parte, se recoge una regularidad emp´ırica observada en las econom´ıas reales, y es que no existen beneficios extraordinarios sistem´aticos en las econom´ıas.^4 As´ı, el supuesto de existencia de rendimientos constantes a escala y competencia perfecta implican beneficios extraordinarios cero.^5 Una vez descrito el comportamiento de las econom´ıas dom´esticas y las empresas, cabe cu´ales son las fuentes de crecimiento de la econom´ıa. La econom´ıa crece porque los inputs trabajo y capital crecen a lo largo del tiempo. En primer lugar, no tenemos ninguna teor´ıa del crecimiento de la poblaci´on, la cual se considera equivalente a la fuerza de trabajo y se supone que crece a una tasa constante y ex´ogena, n. Formalmente: Lt+1 = (1 + n)Lt En segundo lugar, s´ı tenemos una teor´ıa sobre c´omo se incremente el input capital. Una parte de la inversi´on bruta de la econom´ıa, It, la formaci´on bruta del capital fijo, se destinar´a a incrementar la cantidad de capital con la que se producen los bienes en la econom´ıa, inversi´on nueva, y la otra debe
(^4) Esto no quiere decir que no existan algunas empresas en la econom´ıa que tengan beneficios extraordinarios y otras que tengan p´erdidas extraordinarias. Lo que indica es que a nivel agregado estos beneficios y estas p´erdidas se compensan, con lo que a lo largo del tiempo no existen beneficios extraordinarios o p´erdidas extraordinarias sistem´aticas a nivel agregado. (^5) En efecto, si aplicamos el teorema de Euler podemos escribir:
F (K, L) = dF^ (.) dK · K + dF^ (.) dL · L
la decisi´on ´optima de la empresa requiere que los productos marginales se igualan a los precios reales de los factores, as´ı tenemos:
Y = r p · K + w p · L
donde w, r y p son los precios del trabajo -el salario-, del capital-el tipo de inter´es nominal-, y el precio del bien de consumo. Por tanto
pY = rK + wL es decir, el valor del producto agregado de la econom´ıa coincide con la suma de las remuneraciones al factor capital y al factor trabajo, con lo que los beneficios π = pY − rK − wL = 0.
reponer la cantidad de bienes gastados en el proceso productivo, inversi´on de reposici´on. Si suponemos que la tasa de depreciaci´on es constante δ, la variaci´on del capital a lo largo del tiempo es igual a:
Kt+1 = It + (1 − δ)Kt
El modelo y su soluci´on En resumen, el Modelo neocl´asico de crecimiento de Solow se reduce -en niveles- a las siguientes ecuaciones:
Yt = Ct + It Ct = (1 − s)Yt It = St = sYt Yt = F (Kt, Lt) Lt+1 = (1 + n)Lt Kt+1 = It + (1 − δ)Kt
donde se verifican las condiciones 1) FL, FK > 0, FLL, FKK < 0; 2) F (λK, λL) = λF (K, L); y 3) las condiciones de Inada. Como se ha visto en el Cap´ıtulo 1, algunos de los hechos estilizados del crecimiento hacen referencia a variables por trabajador, por tanto, es interesante rescribir el modelo en forma intensiva, es decir, escribiendo las variables en unidades per c´apita. En primer lugar, la homogeneidad de la tecnolog´ıa nos permite escribir el producto por trabajador -la renta per c´apita- como
yt =
Yt Lt
= F
Kt Lt
= f (kt)
una funci´on de la intensidad media del capital en la econom´ıa, kt = K Ltt que nos indica que el producto por trabajador no depende de los niveles sino de la intensidad de los factores. ¿Qu´e relaci´on existe entre la renta per c´apita y la intensidad media de la econom´ıa? No es dif´ıcil probar que f (kt) es una funci´on creciente y c´oncava. El supuesto de productividad marginal positiva de los factores de producci´on implica que:
∂Yt ∂Kt = f ′(kt) > 0
∂Yt ∂Lt = f (kt) − ktf ′(kt) > 0 ⇒ f ′′(kt) < 0 (1)
Por tanto, la renta per c´apita crece a medida que aumenta la intensidad de capital de la econom´ıa, pero la existencia de rendimientos decrecientes en el capital limita su crecimiento. De un modo similar al que hicimos con el producto por trabajador y el capital per c´apita, podemos definir el resto de las variables econ´omicas en forma intensiva:
ct =
Ct Lt
; it =
It Lt
que nos permite rescribir el Modelo neocl´asico de crecimiento de Solow en forma intensiva como:
yt = f (kt) it = sf (kt) ct = (1 − s)yt (1 + n)kt+1 = it + (1 − δ)kt
con fk > 0, fkk < 0 limk→ 0 fk = ∞ y limk→∞fk = 0. De esta ´ultima ecuaci´on obs´ervese que cuando el capital se encuentra en el estado estacionario k∗ t , el nivel de inversi´on de estado estacionario ser´a i∗ t = k t∗ (n + δ). Esta inversi´on se denomina ((de reposici´on”porque en el estado estacionario el stock de capital se expande para a) reponer el capital depreciado de los trabajadores existentes δk∗ t ; y b) equipar a los
tanto el stock de capital como la producci´on y el consumo crecen a la tasa de crecimiento del trabajo. Por tanto, la econom´ıa crece a tasas que garantizan el pleno empleo de los factores de producci´on.^6 En resumen, las conclusiones que se puede extraer de este modelo son la importancia de la acumulaci´on de capital para el crecimiento, ya que en el modelo es la acumulaci´on del factor capital el que genera el crecimiento; y, adem´as, independientemente del punto de partida (k 0 ), las econom´ıas a largo plazo siguen una senda de crecimiento equilibrado en la cual todas las variables crecen a la misma tasa.
Problema 2. Muestra que cuanto mayor es la tasa de crecimiento de la poblaci´on y menor es la tasa de ahorro de la econom´ıa, menor es, en el estado estacionario, la renta per c´apita.
Problema 3. Supongamos que queremos considerar el caso en que solo ahorran los ((capitalistas)). Estos ´ultimos ahorran una fracci´on dada (sk) de los beneficios (rK). Este caso requiere de una teor´ıa sobre c´omo se distribuye la renta entre salarios y beneficios. (i) Calcular los beneficios per c´apita suponiendo competencia perfecta. (ii) Reformular el modelo de Solow considerando que en este caso I = skrK. (iii) Caracterizar el estado estacionario de esta econom´ıa.
3.1. Las paradojas del modelo neocl´asico de crecimiento de Solow
Existen dos paradojas en el modelo neocl´asico de crecimiento ambas referidas a la tasa de ahorro ex´ogena: En primer lugar, mayor tasa de ahorro no implica necesariamente mejores est´andares de vida; en segundo lugar, una econom´ıa con una tasa de ahorro elevada no va a implicar que crezca m´as a largo plazo
Tasa de ahorro y nivel de vida: la sobreacumulaci´on de capital Hemos visto que cuanto mayor sea la tasa de ahorro mayor es la renta per c´apita de equilibrio, pero ¿es mayor el consumo per c´apita? Un pa´ıs con mayor tasa de ahorro, y por tanto con mayor ratio de capital por trabajador, ¿tambi´en tendr´a un est´andar de vida m´as alto? La respuesta es no necesaria- mente. En ocasiones un pa´ıs puede incrementar su est´andar de vida ahorrando menos. Esta situaci´on de sobreacumulaci´on de capital se denomina ((ineficiencia din´amica”: si la tasa de ahorro ex´ogena se reduce, se obtiene una asignaci´on Pareto superior. Para ello, n´otese que el consumo en estado estacionario se escribe como: c(s) = y − i = f (k) − sf (k) = f (k) − (n + δ)k
donde c(s) y k son los niveles de consumo y capital de estado estacionario. ¿Cu´al es el m´aximo nivel de consumo? La regla de oro nos indica que el producto marginal debe igualarse a la inversi´on marginal de reposici´on,
m´ax k f (k) − (n + δ)k ⇒ f ′(koro) = n + δ
es decir, el m´aximo consumo per c´apita (el est´andar de vida) de equilibrio estacionario ser´a coro = (1 − s)f (koro). En la regi´on din´amicamente eficiente [0, koro] un aumento de la intensidad de capital permite incrementar el consumo per c´apita de la econom´ıa; mientras que cualquier tasa de ahorro que ocasione niveles de capital superiores al de la regla de oro, k > koro, regi´on din´amicamente ineficiente, ocasionar´a una sobreacumulaci´on de capital y por tanto una reducci´on permanente en la tasa de ahorro incrementa el consumo per c´apita en el presente per´ıodo y en todos los futuros. La raz´on de la ineficiencia es debida a que la tasa de ahorro, determinada ex´ogenamente, es demasiado elevada y los agentes que viven en esta econom´ıa no pueden modificar. Esta situaci´on de ineficiencia din´amica es el punto de partida del an´alisis de Cass y Koopmans que veremos en el siguiente cap´ıtulo: partiendo de la identidad que obtuvieron Harrod y Domar (^) vs ≡ n, y de la endogeneizaci´on del ratio output/capital, 1/v, que realiza Solow, el siguiente paso, por tanto, ser´ıa obtener una tasa de ahorro s que no ocasione situaciones de ineficiencia din´amica. Para ello hay que adentrarse en decisiones optimizadoras de los agentes entre consumo presente y consumo futuro.
(^6) Ello se debe a que Solow, respecto a la identidad de Harrod-Domar, endogeneiz´o la relaci´on capital producto, de tal modo que la intensidad de capital de la econom´ıa aumentara hasta aquel nivel a partir del cu´al se cumpla s k/f (k) − δ = n
que las tasas de crecimiento, neta de reposici´on, del stock de capital coincide con la tasa de crecimiento del trabajo.
Tasa de ahorro y crecimiento a largo plazo Pensemos en dos econom´ıas similares excepto en que una de ellas tiene una tasa de ahorro mayor. ¿Cu´al de las econom´ıas experimentar´a un crecimiento m´as r´apido en el largo plazo? Las dos crecer´an a la misma tasa. El modelo de Solow predice que la econom´ıa tiende a una senda de crecimiento equilibrado,
kt+ kt
yt+ yt
ct+ ct
donde la tasa de crecimiento de la renta, del consumo y de la intensidad de capital es independiente de la tasa de ahorro, s, de la tasa de depreciaci´on δ, y de la tasa de crecimiento de la fuerza de trabajo, n. Estos factores tan s´olo afectan al nivel de la senda de crecimiento, pero no a la pendiente a la que crece la econom´ıa. Por tanto, dos econom´ıas con distintas tasas de ahorro no experimentan distintas tasas de crecimiento. Es decir, a largo plazo, la tasa de crecimiento de un pa´ıs es independiente de la fracci´on de la renta nacional dedicada al ahorro, que tan s´olo afecta al nivel de renta de equilibrio a largo plazo.
3.2. El residuo de Solow
Algunas de las conclusiones del modelo que acabamos de ver entran en contradicci´on con los hechos estilizados del crecimiento que hemos analizado en el Capitulo 1. En particular, el primer hecho estilizado dec´ıa que la producci´on por trabajador crece a una tasa constante, mientras que el modelo predice que a largo plazo ´esta permanece constante. Esto sugiere que, adem´as de la acumulaci´on de factores productivos, hay algo m´as en las econom´ıas que est´a generando crecimiento. El propio Robert Solow (1957) se dio cuenta de ello y se plante´o calcular el porcentaje de la renta per c´apita que pod´ıa explicarse por la mera acumulaci´on f´ısica de factores. Para ello utiliz´o una funci´on de producci´on en tiempo continuo
Y (t) = F (K(t), A(t)L(t)) (4)
diferenciando con respecto al tiempo el logaritmo de (4) se tiene
Y^ ˙ (t) Y (t) = F 1 K^ ˙(t) Y (t)
- F 2 L^ ˙(t)A(t) Y (t)
- F 2 A^ ˙(t)L(t) Y (t) = F 1 K(t) Y (t)
K˙(t) K(t)
F 2 A(t)L(t) Y (t)
L˙(t) L(t)
F 2 A(t)L(t) Y (t)
A˙(t) A(t) donde los puntos sobre las variables significan diferencial con respecto al tiempo y F 1 , F 2 son las derivadas parciales de F con respecto al primer y segundo argumento. En el lado derecho de la expresi´on se tiene la suma de las tasas de crecimiento del progreso t´ecnico y de los factores de producci´on ponderadas por sus elasticidades producto. Las elasticidades producto no son observables. Sin embargo, si los factores son remunerados a sus productividades marginales, entonces se puede escribir
sl(t)
A˙(t) A(t)
Y˙ (t) Y (t)
− sk(t)
K˙(t) K(t)
− sl(t)
L˙(t) L(t)
donde sk(t) = rK(t)/Y (t) y sl(t) = wL(t)/Y (t) representan las participaciones de los factores en la renta total. Esta expresi´on est´a en tiempo continuo. Para poder utilizarla con datos observados se aproximan las tasas de crecimiento por las diferencias en el logaritmo neperiano de la variable.^7 Adem´as, si la funci´on de producci´on presenta rendimientos constantes a escala skt + slt = 1. En t´erminos per c´apita la expresi´on (5) se puede aproximar
∆ ln At =
∆ ln yt − skt ∆ ln kt 1 − skt Solow calcul´o para la econom´ıa americana (1909-1949) la tasa media de crecimiento del stock de capital por trabajador en el sector privado no agr´ıcola (gk), la tasa media del producto por trabajador (gy ) y la participaci´on factorial media del capital (sk)
gy = 1 , 8 % gk = 0 , 68 % sk^ = 0 , 33 (^7) ∆ ln xt se acostumbra a interpretar como la tasa de crecimiento de xt, puesto que:
ln xt − ln xt− 1 = ln
( (^) xt xt− 1
) = ln
( 1 + xt − xt− 1 xt− 1
) ' xt − xt− 1 xt− 1
Supongamos que el progreso tecnol´ogico no es incorporado y supondremos que el progreso t´ecnico reduce la cantidad de trabajo que se precisa para obtener, con un nivel dado de capital, el mismo nivel de producto (es decir, es Harrod neutral). Por tanto, podemos escribir la funci´on de producci´on como:
Yt = F (Kt, AtLt)
donde At, es un ´ındice de productividad, que crece a una tasa constante:
At+1 = (1 + γ)At.
Como en el caso anterior, podemos escribir el modelo en forma intensiva, pero ahora definiremos las variables en unidades eficientes de trabajo. As´ı, la renta por unidad eficiente de trabajo se escribe como
˜yt =
Yt L^ ˜t
= f (˜kt)
que es una funci´on de la intensidad de capital por unidad eficiente de trabajo ˜kt = K ˜Lt t El Modelo Neocl´asico
de Crecimiento de Solow con Progreso T´ecnico en forma intensiva se escribe como:
y˜t = ˜ct + ˜it ˜ıt = s˜y = sf (˜kt) c˜t = (1 − s)f (k˜t) (1 + n)(1 + γ)˜kt+1 = sf (k˜t) + (1 − δ)˜kt (6)
A lo largo de la senda de crecimiento equilibrada es preciso que ˜kt+1/˜kt sea constante, lo cual implica que ˜kt = ˜k∗^ ∀t tal que f (˜k∗) ˜k∗^
(1 + n)(1 + γ) − (1 − δ) s
donde adem´as ˜y∗^ = f (k˜∗), y ˜c∗^ = (1−s) ˜y∗. Por tanto, la senda de crecimiento equilibrada de la econom´ıa es:
yt = (1 + γ)t^ ˜y t∗ = (1 + γ)tf (˜k∗) ct = (1 − s)(1 + γ)tf (˜k∗) kt = (1 + γ)t˜k∗
Es decir, en el modelo de crecimiento neocl´asico con crecimiento ex´ogeno, las variables en niveles crecen a una tasa bruta de (1 + n)(1 + γ), y las variables per c´apita crecen a una tasa neta de γ. Esto permite reproducir las observaciones emp´ıricas donde los pa´ıses crecen, y la respuesta de este modelo a las causas del crecimiento econ´omico es que los pa´ıses crecen porque crece el progreso t´ecnico. En realidad, lo que estamos haciendo es cambiar de pregunta: si los pa´ıses crecen porque crece el progreso t´ecnico, ¿por qu´e crece el progreso t´ecnico? Dejamos aqu´ı abierta esta pregunta. Sin embargo, para contestarla obs´ervese la relevancia de la segunda paradoja del modelo de Solow, donde la tasa de ahorro no afecta a la tasa de crecimiento per c´apita de la econom´ıa, que aqu´ı tambi´en se mantiene. Seguramente existir´a alguna relaci´on entre la tasa de ahorro y el crecimiento del progreso t´ecnico y, por tanto, de la econom´ıa.
Problema 5. Considere un modelo neocl´asico de Solow con progreso t´ecnico ex´ogeno donde la funci´on de producci´on es Cobb Douglas. Escribe el modelo en forma intensiva y calcula el estado estacionario de la econom´ıa.
Problema 6. Suponga ahora que introducimos un gobierno en la econom´ıa, de tal modo que la renta se escribe como Yt = Ct + It + Gt, donde Gt es el gasto del gobierno. Para financiar la compra de bienes el gobierno establece un impuesto sobre la renta, es decir Gt = τy Yt, de tal modo que ahora el equilibrio en el mercado de bienes se escribe como: It = s(1 − τy )Yt. Escribe el modelo en forma intensiva y obt´en el estado estacionario. ¿Qu´e ocurre si en vez de financiar el gasto p´ublico con impuestos sobre la renta financiamos al gobierno con impuestos sobre el consumo? (de tal modo que Gt = τc(1 − s)Yt, y Ct = (1 − τc)(1 − s)Yt). En t´erminos de crecimiento, ¿qu´e es mejor?, ¿un impuesto sobre la renta o sobre el consumo?
4. Crecimiento end´ogeno de la productividad y educaci´on
En 1960 Filipinas y Corea del Sur ten´ıan aproximadamente los mismos est´andares de vida, 640$ per c´apita (en d´olares del 75), y eran muy similares en otros aspectos
Milagros Econ´omicos Filipinas Corea del Sur Poblaci´on -total 28 10^6 25 10^6 -en la capital 27 % 28 % Tasa de Actividad (aproximadamente) 50 % 50 % % Escolarizaci´on
- primaria 100 % 100 %
- sec undaria 25 % 25 %
- universitaria 13 % 5 % %PIB
- agr´ıcola 26 % 37 %
- industrial 28 % 20 % % Exportaciones
- b.primarios 96 % 86 %
- manufacturas 4 % 14 % Tasa media de crecimiento (1960-1988) 1,8 % 6,2 % Sin embargo, mientras que Filipinas creci´o a la tasa media del conjunto del mundo, en Corea la tasa media de crecimiento fue de un 6,2 %, que implica que en 11 a˜nos se duplican los est´andares de vida. As´ı, en 1988, Corea tiene el triple de la renta per c´apita que Filipinas, y alcanz´o los niveles de M´exico, Portugal y Yugoslavia, aunque todav´ıa es un tercio menor que la de USA. Transformaciones muy similares han ocurrido en Taiwan, Singapur y Hong Kong, que han ido acompa˜nadas de otros cambios: todas estas econom´ıas se han convertido en grandes exportadores de bienes manufacturados, los cuales son cada vez m´as sofisticados; se han urbanizado notablemente y adem´as han incrementado sus niveles medios de educaci´on. ¿Qu´e parte de las diferencias observadas entre las tasas de crecimiento de la renta per c´apita de los pa´ıses as´ı´aticos se deben a diferencias en las tasas de ahorro, s? Las econom´ıas as´ı´aticas tienen elevadas tasas de inversi´on,
Inversiones/P IB Corea 0 , 29 T aiwan 0 , 21 Hong Kong 0 , 24 Singapore 0 , 47 F ilipinas 0 , 18 F uente : Lucas(1993) Aunque en econom´ıas abiertas no existe una relaci´on directa entre tasas de inversi´on y las tasas de ahorro (debido a la salida o entrada de capitales), para trasladar las diferencias de las tasas de ahorro a las tasas de crecimiento de la renta es preciso multiplicarlas por el rendimiento del capital.^10 as´ı, si suponemos que r = 0, 1 la diferencia entre tasas de inversi´on de Corea y Filipinas tan s´olo permite explicar una diferencia de un 1,1 % puntos en la tasa de crecimiento
0 ,011 = 0, 1 ∗ (0, 29 − 0 ,18)
S´olo diferencias de una magnitud como la observada entre las tasas de inversi´on de Singapur y Filipinas generan diferencias de cas´ı tres puntos en la tasa de crecimiento. En el resto de los casos, los diferenciales
(^10) Para evaluar el impacto de cambios en la tasa de ahorro sobre cambios en la tasa de crecimiento de la renta n´otese que ∂ ∂s
( 1 y
dy dt
) = ∂ ∂s
( 1 y
∂y ∂k
dk dt
) = ∂y ∂k
pues^1 y
∂y ∂k
dk dt = s ∂y∂k , ya que dkdt = sy.
y, adem´as, dado que en el estado estacionario ha de cumplirse que^12
γy = δ(1 − u)
entonces tanto las tasas de crecimiento a largo plazo de la renta como de los stocks de capital f´ısico y humano crecen a una tasa constante. Por tanto, la renta de cada pa´ıs es proporcional a los niveles iniciales del stock de capital humano. Para abrir la econom´ıa es preciso realizar alg´una hip´otesis respecto a la m´ovilidad de los factores. Podemos suponer que el trabajo no es m´ovil, pero que el capital f´ısico es perfectamente m´ovil. As´ı, si indexamos cada pa´ıs por i=1,n. el stock de capital agregado en la econom´ıa es
K =
∑^ N
i=
ki
Si suponemos que el rendimiento del capital es igual en todos los pa´ıses y adem´as que αi = αj y la funci´on de producci´on posee la misma A entonces:
r =
∂yi ∂ki
∂yj ∂kj
ki uihi
kj uj hj
en todos los pa´ıses se produce con la misma intensidad de capital y, por tanto, el nivel de producci´on de cada pa´ıs es
yi = A
K
H
)α uihi
directamente proporcional a su fuerza de trabajo efectiva, donde H =
∑N
i=1 uihi.^ Si adem´as todos los pa´ıses tienen la misma tasa de ahorro, s, entonces la din´amica agregada del mundo viene dada por
K˙ = sAKα^ H^1 −α
pues I = sY = s
∑N
i=1 yi^ =^ sAK
α (^) H 1 −α, donde H = ∑N i=1 uihi. En estado estacionario la tasa de crecimiento del producto y del stock de capital agregados se igualan a la tasa de crecimiento del capital humano, H , de tal modo que KH es contante.
Problema 7. Demuestra la afirmaci´on anterior.
Por tanto, el nivel de renta de cada pa´ıs, tanto a largo plazo, como a lo largo de la senda de equilibrio, es proporcional al nivel inicial de capital humano. As´ı pues, la teor´ıa es consistente con el mantenimiento de cualquier nivel de desigualdad en la renta de un modo permanente. Ello es el motivo por el que los modelos de crecimiento end´ogeno predicen la convergencia en tasas (ya que las tasas de crecimiento se igualan) pero no en niveles.
Es dif´ıcil pensar en un modelo m´as sencillo que este que permita explicar la permanencia de la desigualdad entre los niveles de renta. La pieza central del mecanismo que mantiene la desigualdad es la ausencia de alg´una hip´otesis que recoja la existencia de alg´un tipo de difusi´on del conocimiento, ya que, en principio, la acumulaci´on de ideas en cada pa´ıs no tiene por qu´e ser independiente del nivel agregado de la evoluci´on del conocimiento. As´ı, por ejemplo, Parente y Prescott (1991) suponen que aquellos pa´ıses que est´an por debajo del nivel medio del ((conocimiento)) crecer´an m´as rapido As´ı, si suponemos que todos los pa´ıses destinan el mismo tiempo a trabajar, podemos escribir
γhi =
h˙i,t hi,t
= δ(1 − u)
hi,t/n hi,t
)θ = δ(1 − u)zi,t−θ
(^12) Para que la tasa de crecimiento del capital sea estacionario, es preciso que tanto el capital f´ısico como el humano crezcan a una tasa constante, ya que dγk dt = d dt ( k˙t kt ) = d dt
[ sAkα t −^1 (uht)^1 −α
] = 0
implica que k˙t kt = h˙t ht
donde zi,t = hi,t ∑ hi,t/n
mide la distancia del capital humano de cada pa´ıs respecto a la media. Por tanto,
cuanto m´as alejado est´e de la media mayor ser´a la tasa de crecimiento. El modelo predice que a largo plazo, el nivel medio del conocimiento, que crecer´a a una tasa constante, generar´a una convergencia de la distancia de los conocimientos, as´ı como de los ingresos^13 Existen muchas razones para pensar que, a nivel mundial, tanto la hip´otesis de la existencia de libre movilidad de capitales, como la movilidad de conocimientos no son buenas aproximaciones. Adem´as, existen diferencias entre pa´ıses respecto a los incentivos que los agentes poseen para acumular ambos tipos de capital, que implicar´an diferencias entre las tasas de ahorro y las diferencias de as´ıgnaci´on del tiempo. Por el contrario, para alg´unos conjuntos de pa´ıses (o regiones) donde la m´ovilidad (tanto de factores como de bienes) es alta observamos convergencia.
La introducci´on de capital humano en la econom´ıa modifica la tecnolog´ıa y elimina la existencia de rendimientos decrecientes del capital f´ısico, manteniendo los incentivos a acumular de un modo perma- nente. Es m´as, estos modelos muestran la posibilidad de que exista una relaci´on directa y positiva entre las tasas de inversi´on de la econom´ıa y las tasas de crecimiento de la renta per c´apita.
Ejemplo 3. Los modelos de crecimiento Ak y la relaci´on entre las tasas de crecimiento y las tasas de inversi´on [E.McGrattan (1998)] El modelo de ((learning or doing)) muestra la posibilidad de que la funci´on de producci´on no exhiba rendimientos decrecientes en el capital, y que, por el contrario, la producci´on por trabajador sea una funci´on l´ıneal de la intensidad de capital por trabajador. Ello es lo que se conoce como la tecnolog´ıa Ak. Ello se debe a que la funci´on de producci´on exhibe rendimientos constantes a escala sobre dos factores de producci´on acumulables. Veamos c´omo se deriva la funci´on de producci´on Ak. La condici´on de equilibrio entre ambos tipos de capital hace que los rendimientos de cada tipo de capital
∂yt ∂kt
αyt kt ∂yt ∂ht
(1 − α)yt ht
deban igualarse, de tal modo que
ht = 1 − α α
kt
y, por tanto, el producto por trabajador es directamente proporcional a la intensidad de capital por traba- jador
yt = kαt (uht)^1 −α^ = Akt, con A =
[
u(1 − α) α
] 1 −α
La principal propiedad de estos modelos que producen end´ogenamente tasas de crecimiento positivas de la renta es mostrar la existencia de una relaci´on directa entre las tasas de inversi´on, it/yt, y las tasas de crecimiento de la econom´ıa, γt. En efecto, dado que
. kt kt
it kt − δ
podemos establecer una relaci´on directa entre la tasa de crecimiento de la renta per c´apita y las tasas de inversi´on de la econom´ıa
γt =
. yt yt
= A
it yt − δ
Ellen McGrattan, en su trabajo ((A Defense of Ak Growth Models)), publicado en el Quarterly Review de la Federal Reserve Bank of Minneapolis, en Oto˜no de 1998, muestra (utilizando los datos de Summers y Heston) c´omo existe una fuerte correlaci´on positiva entre tasas de inversi´on, it/yt, y tasas de crecimiento
(^13) Si Z˙(t) Z(t) = δ(1 − u) entonces como en el largo plazo
dzi,t dt =
( h˙i,t hi,t − Z˙(t) Z(t)
) zi,t = δ(1 − u)zi,t
( z−i,tθ − 1
) = 0
implica que zi,t = 1.
escuela como en el trabajo, y poco sabemos respecto a la importancia que tiene cada una de estas form´as de acumulaci´on. alg´unos autores consideran que es la existencia de aprendizaje en el trabajo el factor que permite explicar per´ıodos de r´apido crecimiento como el observado en los pa´ıses del sudeste as´ı´atico. Para que ello ocurra es importante que los trabajadores cambien continuamente de tarea y, por tanto, la econom´ıa debe producir un elevado n´umero de nuevas variedades de bienes, que tan s´olo es posible si el pa´ıs mantiene un alto esfuerzo exportador. Por tanto, es preciso explorar qu´e poder explicativo poseen las diferencias que puedan surgir del hecho de que la acumulaci´on de capital humano, por medio de la experiencia, surja en la producci´on de bienes.^14 Podemos pensar que la realizaci´on de alg´unas actividades permite la adquisici´on de habilidades que incrementa la experiencia de los trabajadores y, por tanto, su capital humano. As´ı, en un mundo con m´ultiples bienes, la producci´on de alg´unos de ellos est´a asociada a la realizaci´on de tareas, que no son ni rutinarias ni tradicionales, y que permiten adquirir una gran cantidad de nuevas habilidades.^15 En este marco, la mezcla de bienes que la sociedad produzca afectar´a tanto a su tasa de crecimiento como a la tasa de acumulaci´on de capital humano. Adem´as, como la variaci´on entre sociedades de la mezcla de productos -al menos aquellos que se comercian- es enorme, debemos explorar en qu´e medida la diversidad puede explicar las diferencias observadas en las tasas de crecimiento.^16 En este contexto es en el que es posible analizar la relaci´on que existe entre el crecimiento y el comercio internacional. Una idea muy extendida -incluso entre economistas- es que el comercio internacional s´olo beneficia a aquellos pa´ıses que poseen ventajas comparativas en la producci´on de bienes de elevada productividad -sectores modernos-, mientras que, por el contrario, el comercio internacional condena a la pobreza a aquellos pa´ıses que ya son pobres, dado que la apertura de sus mercados les impide desarrollar una industria nacional ((madura)) que les permita competir. Este es el tipo de argumentos que recomiendan el establecimiento de pol´ıticas de sustituci´on de importaciones con el objeto de proteger el desarrollo de la industria nacional. El siguiente ejemplo nos muestra la posibilidad de que ciertos pa´ıses prefieran cerrar sus mercados hasta alcanzar un m´ınimo nivel de desarrollo.
Ejemplo 4. La bondad de las pol´ıticas de sustituci´on de importaciones. [Lucas 1988] Supongamos un mundo en el que se producen dos bienes, ci(t), cada uno de los cuales se produce con trabajo y capital humano ci(t) = hi(t)ui(t)N
donde ui es la fracci´on de la mano de obra utilizada en la producci´on del bien i (u 1 + u 2 = 1). Ambos bienes son consumidos de acuerdo con las preferencias
U (c 1 , c 2 ) =
[
α 1 c 1 (t)−ρ^ + α 2 c 2 (t)−ρ
] 1 /ρ
La acumulaci´on de capital humano se obtiene como una funci´on de la intensidad con la que se produce cada uno de los bienes, formalmente h˙i(t) = δihi(t)ui(t)
con δ 1 > δ 2 , es decir, el bien uno representa el bien que pertenece al sector moderno de la econom´ıa, ya que genera la tasa m´as alta de aprendizaje. En una econom´ıa cerrada (un equilibrio aut´arquico) la demanda de bienes se escribe como: ∂U (.)/∂c 2 ∂U (.)/∂c 1
p 2 p 1
es decir, si tomamos el bien 1 como numerario, de tal modo que el vector de precios es (1, q) podemos escribir,
q =
α 2 α 1
c 2 c 1
)−(1+ρ)
(^14) La mejor evidencia de la existencia de ((aprendizaje)) asociado a la producci´on son los trabajos de Allan D. Searle (1945) y Leonard A. Rapping (1965) sobre la producci´on del ((Liberty Ship)) en 14 astilleros norteamericanos durante la II Guerra Mundial. Desde diciembre de 1941 hasta diciembre de 1944, se produjeron 2458 barcos, todos ellos con el mismo dise˜no. A medida que se incrementa la producci´on se reduc´ıa el n´umero de horas de trabajo por barco utilizadas. Aproximadamente, estas se reduc´ıan entre un 12 y un 24 % cada vez que se duplicaba la producci´on agregada del astillero. El producto por trabajador, en este per´ıodo, se increment´o a una tasa media anual del 40 %. (^15) Por ejemplo, participar en la construcci´on del Gugenheim oblig´o a las empresas vascas a desarrollar (o adquirir del extranjero) una tecnolog´ıa lo suficientemente avanzada como para fabricar tanto las form´as, como los materiales que F. Gehry dise˜n´o. (^16) Especialmente si la acumulaci´on de factores f´ısicos y la acumulaci´on de capital humano a trav´es de los procesos educativos no parecen ser lo suficientemente diferentes entre los pa´ıses as´ı´aticos como para explicar las diferencias en sus tasas de crecimiento.
luego la mezcla de bienes de consumo de la econom´ıa es
c 2 c 1
α 2 α 1
)σ q−σ^ (8)
donde σ =
1 + ρ
, es la elasticidad de sustituci´on. Las empresas maximizan beneficios Π = c 1 +c 2 −ωN =
[u 1 h 1 + q(1 − u 1 )h 2 − ω] N cuya c.p.o. es:
q =
h 1 h 2
Por ´ultimo, del equilibrio en los mercados podemos expresar la mezcla de bienes producida como una funci´on del ratio del tiempo de trabajo sobre el capital humano relativo
c 2 c 1
1 − u 1 u 1
h 2 h 1
Sustituyendo podemos expresar el cociente de capital humano, que es igual al inverso del coste relativo de producci´on de bienes como una funci´on de la as´ıgnaci´on del tiempo de trabajo entre sectores.
1 − u 1 u 1
α 2 α 1
)σ ( h 2 h 1
)σ− 1
y determinar la din´amica del sistema diferenciando los precios relativos
q ˙t qt
h˙ 1 h 1
h˙ 2 h 2
= δ 1 u 1 − δ 2 (1 − u 1 ) = (δ 1 + δ 2 )
[
α 2 α 1
)σ q^1 −σ
]− 1
− δ 2
que conjuntamente con las condiciones iniciales permite determinar la din´amica de la econom´ıa. El estado
estacionario, cuando σ > 1 es aquel en el que
q˙t qt
= 0, y por tanto
u 1 =
δ 2 δ 1 + δ 2
los stocks de capital humano crecen a la tasa
h^ ˙ 1 h 1
h˙ 2 h 2
= δ 1 u 1
y el ratio de capital humano es
h 1 h 2
α 1 α 2
)σ/σ− 1 ( δ 1 δ 2
) 1 /σ− 1
N´otese que el coste, en t´erminos de bienestar, de acumular experiencia es la distorsi´on de la mezcla de bienes producida en la sociedad, ya que para obtener una mayor tasas de crecimiento es preciso desviar la producci´on de bienes respecto a aquella que es m´as deseada por la sociedad. ¿Qu´e ocurre cuando existe comercio internacional? Pensemos en t´erminos de peque˜nas econom´ıas abier- tas, que han de tomar los precios internacionales como dados. Denotemos estos como (1, p). El tipo de patr´on de especializaci´on ser´ıa aquel que obtuvi´eramos de la relaci´on entre precios internos e interna- cionales. Si un pa´ıs es tal que
q = h 1 h 2
< p
entonces se especializar´a en la producci´on del bien tipo dos, u 1 = 0. Por tanto,, en el per´ıodo siguiente tambi´en le seguir´a inter´esando especializarse en la producci´on del bien tipo dos (dado que h 1 (t) = h 1 (t+1), mientras que h 2 (t) < h 2 (t + 1). Por tanto existen dos tipos de pa´ıses: aquellos que se especialicen en la producci´on de los bienes ((tradicionales)), que producir´an el bien tipo dos, c 2 = h 2 , cuya renta, yT = pc 2 crecer´a a la tasa
δ 2 +
δ 1 − δ 2 σ
