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MacroeconomÌa II
o
Grado de EconomÌa)
Lista de ejercicios
øExisten limites al crecimiento econÛmico?
1. IntroducciÛn
Antes de presentar la lista de ejercicios parece necesario hacer un repaso metodolÛgico. Una de las cuestiones que se analizan en esta lista de ejercicios, es a caracterizar la din·mica del modelo de Solow con recursos naturales: tierra, energÌa, petrÛleo, etc. Para ello seguiremos el mismo procedimiento empleado en el modelo est·ndar sin recursos naturales. Es decir, buscaremos una normalizaciÛn, de tal forma que las variables normalizadas converjan a un estado estacionario cuando la economÌa crece. En el modelo est·ndar sin progreso tÈcnico normaliz·bamos por la poblaciÛn o n˙mero de trabajadores L, porque la renta agregada crecÌan a la tasa de crecimiento de la poblaciÛn en el largo plazo, i.e., la renta per c·pita tenÌa un estado estacionario. En el modelo con progreso tÈcnico, normaliz·bamos por las unidades eÖcientes de trabajo, AL: En el modelo con recursos naturales, adem·s de la poblaciÛn y el progreso tÈcnico, tenemos efectos escala por la congestiÛn que el crecimiento de la poblaciÛn genera en el uso de los recursos naturales. La forma de buscar la normalizaciÛn es tomar la tasa de crecimiento de la renta agregada y ver por el crecimiento de que variables viene determinada. Eso nos permite crear una variable con estado estacionario. Por ejemplo, tomemos la tasa de crecimiento de la renta per c·pita en el estado estacionario del modelo de Solow con petrÛleo:
g = (1 ) (se + n) 1
donde se era la tasa de extracciÛn (decrecimiento) del petrÛleo. Por lo tanto, la tasa de crecimiento de la renta agregada serÌa: G = g + n; i.e., con un poco de ·lgebra obtenemos
G =
( + n) (1 ) se 1
Por lo tanto, dado que la tasa de crecimiento es la variaciÛn del logaritmo neperiano, sabemos que
ln Y =
(ln A + ln L) +
ln R;
y tomando exponencial obtenemos que
Y = (AL) 1 ^ R
1 1 :
Es decir la variables
x =
Y
(AL) 1 ^ R
1 1
y
d =
K
(AL) 1 ^ R
1 1 ^ ;
convergen a un estado estacionario. Por lo tanto, tenemos que escribir la ecuaciÛn fundamental de Solow y la funciÛn de producciÛn en tÈrminos de esta variable d, y luego hacer el an·lisis como siempre. Partiendo de la ecuaciÛn de Solow
Kt+1 = sYt + (1 ) Kt;
normalizamos de la siguiente manera: 2 4 Kt+ (AtLt) 1 ^ R
1 1 t
4 (At+1Lt+1)^
1 R
1 1 t+ (At+1Lt+1) 1 ^ R
1 1 t+
(^5) = sYt^ + (1^ ^ )^ Kt (AtLt) 1 ^ R
1 1 t
Esto implica que dt+1 = sxt + (1 ) dt; (1.2)
donde = [(1 + n) (1 + )] 1 ^ (1 se)
1 1 (^) :
Observemos que
x =
K (AL) E^1 ^
(AL) 1 ^ R
1 1
= s^1 e ^ K (AL) R^1 ^ (AL) 1 ^ R
1 1
=
s^1 e K (AL) 1 ^ R
(1 ) 1 = s^1 e d ;
y, por lo tanto, tenemos que la ecuaciÛn (1.2) se puede escribir como:
dt+1 = sdt + (1 ) dt
Esta ecuaciÛn ya la podemos analizar: calcular el estado estacionario, y su din·mica. Este es el procedimiento que seguiremos por ejemplo en el ejercicio 4. Ahora bien, para encontrar la tasa de crecimiento de la renta per capital, como (1.1), hemos impuesto que las tasas de crecimiento estacionarias de K e Y son iguales.
(c) Si el capital y la energÌa son factores productivos complementarios, øquÈ le ocurrirÌa a la participaciones de las rentas de los factores productivos en el output agregado si aumenta B?
- Considere el modelo de Solow con tierra, representado por la siguiente funciÛn de producciÛn: Y = K (AL) X^1 ^ ^ ; y donde el n˙mero de trabajadores y las unidades eÖcientes de trabajo crecen a las tasas n y ; respectivamente. Se pide:
(a) Mostrar que la funciÛn de producciÛn por trabajador y la ratio capital-output son, respectivamente: y = k A x^1 ^ ^ ; y z = k^1 ^ A ^ x +^ ^1 ; donde k y x son el capital por trabajador y la tierra por trabajador, respectivamente. (b) Mostrar que la ley de evoluciÛn de la variable z est· dada por la siguiente ecuaciÛn din·mica:
zt+1 =
(1 ) s 1 + n
1 + (1 ) n
(1 ) (n + ) 1 + n
zt:
(c) Mostrar que el valor de estado estacionario de z es:
z^ = s (1 ) (1 + n)
h (1 ) n + (1 ^ 1+)(nn+)
i :
(d) Caracterizar la din·mica cuando el valor inicial de z es distinto del valor de estado estacionario z. (e) Mostrar que la tasa de crecimiento de la producciÛn por trabajador en estado estacionario es igual a:
g = 1
(1 ) n 1
Observe que se obtiene a la misma tasa de crecimiento obtenida en clase sin suponer que el capital y la renta por trabajador crecen a la misma tasa. Esto ˙ltimo es un resultado obtenido de nuestro an·lisis. DemuÈstrelo.
- Sea la economÌa del ejercicio 3. Mediante la desforestaciÛn, el gobierno ha aumentado la cantidad de tierra cultivable y urbanizable X. Analice los efectos de esta intervenciÛn sobre la tasa de crecimiento de la renta por trabajador.
- Calcule tasa se ahorro de la regla de oro en el modelo de Solow con tierra y energÌa. Compare los resultados con la regla de oro obtenida en el modelo de Solow sin estos dos factores productivos.
- Considere el modelo de Solow con petrÛleo presentado en las clases teÛricas. Todos los mercados en esta economÌa operan en competencia perfecta. Se pide:
(a) Obtenga las tasas de rendimiento del capital, r; del trabajo, w y del petrÛleo p; como funciones del capital, K; del trabajo, L; del progreso tÈcnico, A; y del petrÛleo R: (b) Obtenga las participaciones del capital, el trabajo y el petrÛleo en el output agregado. øCÛmo evolucionan estas participaciones en un contexto de aumento continuado de la producciÛn agregada? (c) Centr·ndose solo en el estado estacionario, derive la tasa de crecimiento de la renta por trabajador obtenida en las clases teÛricas sin imponer que capital y output crecen a la misma tasa. (Debe seguir el procedimiento usado en el ejercicio 3 ). øCu·l serÌa el crecimiento de la renta agregada? (d) Obtenga la tasas de crecimiento de estado estacionario de r; w y p: øCÛmo evoluciona p comparado con w?
- En el modelo de Solow con petrÛleo del ejercicio 6, analice los efectos sobre el nivel y la tasa de crecimiento de la renta por trabajador, tanto a corto como a largo plazo, de los siguientes shocks:
(a) El descubrimiento de nuevos yacimientos de petrÛleo. (b) Un acuerdo de la OPEP (OrganizaciÛn de los PaÌses Exportadores de PetrÛleo) para limitar la producciÛn de barriles de petrÛleo al dÌa.
- Ampliemos el modelo de Solow con tierra y energÌa considerado en las clases teÛricas para introducir capital humano H. Es decir, la funciÛn de producciÛn ahora serÌa la siguiente:
Y = K H^ (AL) E X^1 ^ ^ ^ ;
donde A y L crecen a las tasas n y ; respectivamente; la tasa de extracciÛn de petrÛleo R es se; y el capital fÌsico y humano evolucionan de la siguiente forma:
Kt+1 = skYt + (1 ) Kt;
y Ht+1 = shYt + (1 ) Ht:
Siguiendo el mismo procedimiento usado en el ejercicio 3, obtenga la ley de evoluciÛn de las ratios z = K=Y y q = H=Y: Adem·s, calcule la tasa de crecimiento de la renta por trabajador.
