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Á L G E B R A
CONCEPTOS FUNDAMENTALES CONCEPTOS FUNDAMENTALES
El álgebra es la parte de la matemática que estudia a la cantidad en su forma más general obteniendo ge- neralizaciones sobre el comportamiento operacional de los números. Estudia de esta manera, funciones numéricas; para lo cual se emplea números, letras y signos de operación.
Como el estudio de una función conduce finalmente al planteamiento de una ecuación o igualdad, se dice también que el álgebra es la ciencia que estudia las ecuaciones. Utiliza conceptos y leyes propias. Estos son analizados a continuación:
EXPRESIÓN ALGEBRAICA
Es el conjunto de números y letras unidos entre sí por los signos de operación de la suma, la resta, la multiplicación, la división, la potenciación y la radi- cación.(*)
Ejemplos: Son expresiones algebraicas las siguientes: i ) x
ii ) 4x
iii ) 4x 2 + 5y^2 + 7z 2
iv ) 3x________________^5 + 7 √ x^2 - 5xy^4
3x^2 y - 3xy 7
No son expresiones algebraicas: i ) 5 x ii ) loga x iii ) sen x
Es necesario aclarar que todas las expresiones que tienen números y letras son expresiones algebraicas; a excepción de las últimas tres, que reciben el nom- bre de funciones trascendentes y que son utilizadas muy a menudo en el cálculo superior. Para una mayor ilustración, indicaremos la definición de las siguientes funciones trascendentes:
Función exponencial.- Representada por una base nu- mérica y un exponente literal, como por ejemplo: 7 x^ (base = 7, exponente = x).
Función logarítmica.- Representada por el símbolo “log.” y que se toma en una cierta base a un determi- nado número. Ejemplo: log (^) b N y se lee logaritmo en base b del número N.
Función trigonométrica.- Representada por las fun- ciones seno, coseno, tangente y sus complementos aplicados sobre un número real. Ejemplo: sen x, que se lee: “seno de x”.
CLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIONES
ALGEBRAICAS
Según el tipo de número o variable de sus expo- nentes, radicales o denominadores las expresiones al- gebraicas pueden clasificarse en:
Enteras Racionales Expresiones { Fraccionarias
{
Algebraicas Irracionales
a) Expresión algebraica racional Es aquella que se caracteriza porque tiene expo- nentes enteros o no tiene letras en su cantidad su- bradical (es decir, al interior de la raíz).
(*) Las letras son empleadas tanto para repre- sentar valores conocidos o datos (en este caso; por convención, se usa las primeras letras del alfabeto) como valores desconoci- dos (se usa las últimas letras del alfabeto).
α
α (^) α Ejemplos: i) 4ax 2 + 5y^3 + 7z 4
ii) 4x -7^ + 2y -3^ + 11z -
iii) –– x^1 4 + –– x^1 8 + –– x^14 3 5 3 x^2 4z^2 2z^3 iv) –––– + –––– + –––– 3yz 7xy^2 9y^4
NOTA: Se entiende por cantidad subradical a la parte de una raíz que se encuentra en el interior del radical. De este modo: n__
√ A , se lee “raíz n de A”
Donde n = índice, A = cantidad subradical
a.1) Expresión algebraica racional entera
Es aquella que se caracteriza porque tiene expo- nentes enteros positivos o no tiene letras en su denominador. Ejemplos:
i) 2x^2 + 5y^7 + 12y^15
ii) ––^1 – + ––^1 – + ––^1 – z^4 3x 5y 4
iii) 4x 2 y^3 z^4 - 8w^4 t^5
a.2) Expresión algebraica racional fraccionaria
Es aquella que se caracteriza porque tiene expo- nentes negativos o tiene letras en su denominador. Ejemplos:
i) 4x -3^ + 7y -9^ + 12z -
ii) ––^1 – + ––^2 – + –––^7 – 3x 5y 4z^2
4x 2 + 3y^3 + 7z 4 iii) –––––––––––– 4x 5 + 5yz
iv) 4x 4 + 5y^3 + 8z 5 + 9t-
b) Expresión algebraica irracional
Es aquella que se caracteriza porque tiene expo- nentes fraccionarios o tiene letras en su cantidad subradical.
Ejemplos:
i) 5x 1/2^ + 7y1/3^ + 8z 1/
ii) 4x -1/3^ + 8y -1/5^ + 7z -1/
iii) √4x 2 + 5y^2 + 8 √z
iv) –––– + –––– + ––––__ __ __
√x √y √z
___
v) 4x^20 + 5y^8 +7x^14 + 9 √xyz
Resumen de las características de las expresiones algebraicas.
Racionales Enteras Exponente Exponente entero entero positivo Subradical Denominador sin letras sin letras
Fraccionarias Expresiones Exponente Algebraica
entero negativo Denominador con letras
Irracionales Exponente fracción Subradical con letras
TÉRMINO ALGEBRAICO
Es aquella expresión algebraica cuyas partes no es- tán separadas ni por el signo más ni por el signo menos. En otras palabras, un término algebraico es un monomio.
Ejemplos:
i) 4x 2
ii) +5y^3 z^4
iii) -3x^4 y^5 z^8
α
α (^) α Exponente Negativo
Toda cantidad diferente de cero, elevada a un expo- nente negativo, es igual a una fracción cuyo numera- dor es 1 y cuyo denominador es igual a la misma ex- presión pero con el signo del exponente cambiado a positivo. Así:
a-n^ = –– , donde: a^1 ≠ 0 an
Ejemplos:
i) x-3^ = ––^1 ii) a–– = a^22 b^4 x^3 b^4
iii) 2 -1^ = –– = 0,5^1 iv) –– = ––a-3^ b^5 2 b-5^ a^3
Potencia de un Producto.
Es igual a elevar cada factor a dicha potencia.
(a.b) n^ = a n. bn
Ejemplos:
i) (a. b) 5 = a 5. b^5 ___ (^2) ii) (√3x ) = 3x 2
iii) x^4 y^4 = (xy) 4
3x. 2x (3. 2)x 6 x iv) –––––– = ––––––– = –– 6 x^6 x^6 x
Potencia de un Cociente.
Se eleva tanto el numerador como el denominador a dicha potencia.
a n^ an (––b ) = ––bn
Ejemplos:
i) x^4 x^4 x^7 x^7 (––y ) = ––y^4 ii)^ –– =y^7 (––y)
iii)^3 3 33 27 8 n^8 n (––) = –– = –––^ iv) ––– =^ (––) = 4
n 5 53 125 2 n^2
Potencia Negativa de un Cociente. Se invierte el cociente y la potencia se transforma en positiva. Luego, puede procederse como en el caso anterior.
a -n (––b ) =^ (––bn) Ejemplos:
i)^2 -2^5 2 52 (–– 5 ) =^ (–– 2 ) = –– = ––– 22 4
ii) 1 -3^5 (––) =^ (––) = 5
iii) 1 -2^1 -3^1 -4^2 2 3 3 5 (–– 2 ) +^ (–– 3 ) +^ (–– 5 ) =^ (–– 1 ) +^ (–– 1 ) +^ (–– 1 ) = 4 + 27 + 625 = 656 Potencia de Potencia. Se escribe la misma base y el nuevo exponente es igual al producto de los exponentes.
(am)n^ = a m. n
Ejemplos:
i) (x 2 )^3 = x(2)(3)^ = x^6
ii) [(x 3 )^4 ]^5 = x(3)(4)(5)^ = x^60
iii) (x -3^ )-4^ = x^12
iv) (x -2^ )^5 = x-
Nota: Para el caso de tener muchos exponentes, se puede generalizar la regla como sigue:
{ [(am)n]r^ }s^ = a m. n. r. s
RAÍZ DE UNA POTENCIA
Se escribe la base y como nuevo exponente, la divi- sión del exponente de la potencia entre el índice del radical.
n__^ _p
√ap^ = a n
Á L G E B R A
Ejemplos: __ (^10) __ i)
5
√ x^10 = x 5 = x^2
___
______
___ 48 __ ____ __ 12
ii)
3 √
4 √x^48 = √x 4 = 3√x^12 = x 3 = x^4
iii) √ √ √ √ x^64 = √ √ √ x^32 = √ √x^16 = x 8 = x^4
Nota : Cuando se tiene muchos radicales, se puede gene-ralizar la regla como sigue:
_______ (^) __ (^) ___ 1 √ √ √ √ a =
mnsr
√ a = a mnsr
Exponente Fraccionario
Toda cantidad elevada a un exponente fraccionario es igual a la raíz de dicha cantidad, cuyo índice es el denominador de la fracción y el numerador per- manece como exponente. Por lo tanto:
p_ __ a n^ =
n
√ap
Ejemplos: _^3 __ i) a 5 =
5
√a^3
1 _ __
ii) 8 3 =
3
_ 2 __^2
iii) 64 3 = (
3 √ 64 ) = (4) 2 = 16
RAÍZ DE UN PRODUCTO
Es igual a extraer la raíz de cada factor, y luego efec- tuar el producto.
n √ab = n √a. n √b
Ejemplo:
i)
5
√x^10 y^25 =
5
√x^10.
5
√y^25 = x^2 y^5
__ __ __
ii)
7
√xy =
7
√x.
7
√y
Raíz de un Cociente. Se extrae la raíz tanto del numerador como del deno- minador, y luego se procede a dividir estas raíces resultantes.
a
n
n √a
–– = ––––__
√ b
n
√b
Ejemplos: _____ (^) ___ x^20 5
i)^5 ––– = ––––– = ––^ √x___^20 x^4
√ y^35 5
√x^20 y^7
_____ ___
4
ii)^4 ––– = –––––– = ––^ √____x^20
√ y^35 4
Introducción de un Factor en un Radical.
Se multiplica el exponente del factor por el índice del radical, de la siguiente forma.
ap
n
√b =
n
√apn^. b
Ejemplos:
i) x^2
5
√y =
5
√x(2)(5)^ y =
5
√x^10 y
___ _______ ____
i) x^2
3
√y^2 =
3
√x(5)(3)^ y^2 =
3
√x^15 y^2
LEYES DE LOS SIGNOS EN LAS
OPERACIONES ALGEBRAICAS
MULTIPLICACIÓN
El producto de dos términos de signos iguales es po- sitivo, y de signos diferentes es negativo.
a) [+]. [+] = [+]
b) [-]. [-] = [+]
c) [+]. [-] = [-]
d) [-]. [+] = [-]
DIVISIÓN
La división de dos términos de signos iguales es po- sitivo, y de signos diferentes es negativo:
3.- Hallar el valor de la expresión:
n 20 n+ E = –––––––––– √ 4 n+2^ + 22n+ Solución: Transformando el denominador:
4 n+2^ + 22n+2^ = 4n+2^ + 22(n+1) = 4n+2^ + (2^2 )n+ = 4n+2^ + 4n+ = 4n+1^ (4 1 +1) = 4n+1^. 5
reemplazando en la expresión, y transformando el numerador:
n (^) (4. 5)n+ E = ––––––––– √ 4 n+1^. 5
operando en el numerador:
n 4 n+1 (^). 5n+ E = ––––––––– √ 4 n+1^. 5^1
simplificando y descomponiendo la potencia:
n __
E = ––––––– =^5 n^. 5^1 n √ 5 n^ = 5n^ = 5
√ 41 Rpta.: 5
4.- Calcular el valor de:
E = –––––––––––––^21 6. 35^3. 80^3
Solución: Se sabe que: (a. b) n^ = a n^. bn descomponemos en factores primos, para aplicar esta ley:
(3. 7)^6 (7. 5)^3 (2 4. 5)^3 E = ––––––––––––––––––––– (3. 5)^4 (2. 7)^9 (2. 3. 5)^2
aplicando la ley anterior:
- 7^6. 73. 5^3. 2^12. 5^3 E = ––––––––––––––––––––––
- 5^4. 2^9. 7^9. 2^2. 3^3. 5^2
multiplicando potencias de bases iguales:
E = ––––––––––––––^36. 7^9. 5^6. 2^12
36. 7^9. 5^6. 2^11
simplificando:
E = ––– = 2^212 12-11^ = 2^1 = 2 211 Rpta.: 2
5.- Calcular el valor de: __
3 _____^ √^3
√^3 __
E = [^ √ 3 √^3 ]
Solución: Escribimos la raíz principal en la forma expo- nencial: -6–– __^ √^3 E =^ √^3 [
]
3 _
√ 3 3
luego, transformamos los exponentes:
(^3) –––1/2^3 -1/6 (–– - ––^1 1 ) 3 -1/ 2 3 3 1/3^3 E = [(3) ]^ = [(3) ]
- –^1
–^1 3 6 –^1 - –^1 1 – - –^1
6 6 6 6 6 0 = (^) [ 3 = (3) 3. 3^ = (3) 3 = 3^3 = 3^1 = 3 3 ]
Rpta.: 3
6.- Simplificar la expresión:
–^1 –^1 -
E =
{ }
m-1^ [m(m^3 ) 2 ] 5
Solución:
Efectuando operaciones:
(^1) – -2 (^) – (^1) – 1 - E = (m -1^ )-2^ [(m^1 )^5 ] {[(m^3 )^2 ] 5 }
- –^2 - –^3 2 - – - –^2
E = m^2. m 5. m 5 = m 5 5
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2 - –––2 + 3^2 - –^5
E = m 5 = m 5 = m2-1^ = m^1 = m
Rpta.: m
7.- Calcular:
E = n^ ––––––^2 __n+1––––____ __ √
n+ √ 4 √ 4 n
Solución:
Trabajando con el denominador:
n+ √ 4 √ 4 n^ =
n+
√4. 4n/
_____ ____
n+2 (^) n n+2 (^) n+ 1+ –– ––– = √ 4 2 = √ 4 2
n+2 (^) n+2––– ______ n+2___ = √(2) 2 2^ =
n+
√ 2 n+2^ = 2n+2^ = 2
reemplazando, descomponiendo y simplificando:
n –––––– n 2 n^. 2^1
___ _
E = –––––– =
n
√ 2 n^ = 2n^ = 2^1 = 2
√ 2
Rpta.: 2
8.- Calcular:
n (^10) n (^) + 15 n (^) + 6n E = –––––––––––– √ 5 -2^ + 2-n^ + 3-n
Solución:
En primer lugar transformemos el denominador:
n (^10) n (^) + 15 n (^) + 6n E = –––––––––––– –– + –– + ––^1 1 √ 5 n^2 n^3 n
Dando común denominador en el denominador de la raíz:
n (^10) n (^) + 15 n (^) + 6n E = –––––––––––––– 6 n^ + 15 n^ + 10 n √ (–––––––––––– 5 n^. 2n^. 3n )
Luego:
n (^10) n (^) + 15 n (^) + 6n –––––––––––––– –––––––––– 1 n^ (5. 2. 3)n –––––––––––––– = √
E = –––––––––
10 n^ + 15 n^ + 6n^1 √ [––––––––––––(5. 2. 3)n ]
Simplificando: ––– (^) – n E =
n
√(30) n^ = 30 n^ = 30 1 = 30
Rpta.: 30
9.- Calcular: _ 1 E = 2 n+1^. 5n+1^ - 2n^. 5n^ n [––––––– 23. 5––––––––– (^2) + 5n ]
Solución: Separemos los exponentes que aparecen suma- dos: _^1 E = 2 n^. 2^1. 5n^. 5^1 - 2n^. 5n^ n [––––––––––––––––––– 23. 5 (^2) + 5n ]
Hagamos que: 2 n^ = a; 5n^ = b:
_ 1 _ (^1) _ 1 E = 10ab - ab^ n^ 9ab^ n [––––––––] =^ [––––] = a^
n 8b + b 9b
1 _ _n reponiendo: E = (2 n)n^ = 2n^ = 2^1 = 2
Rpta.: 2
10.- Calcular:
(3n + 6) veces (2n + 3) veces 6447448 6447448 E =^ x. x. x. …. x^ x. x. x …. x^1 [––––––––––––––x. x. x. …. x ][ ––––––––––––x 6 ][ ––––xn+2^ ] 1442443 (4n - 2) veces
Solución:
Cada expresión se reduce:
E =x3n+6^ x2n+3^1 [––––x4n-2^ ][ ––––x^6 ][ ––––xn+2]
α
α (^) α
14.- Calcular el valor de:
––2a^ ––2b 4 a-b^ + 12. 4a-b R = ––––––––––––a-b____
√ 4 a+b
Solución: La expresión se puede escribir así:
––2a^ ––2b^ ––2a^ ––2b R = –––––––––––– = ––––– + ––––––––^4 a-b^ + 12. 4a-b^4 a-b^ 12. 4a-b a+b–– a+b–– a+b–– 4 a-b^4 a-b^4 a-b
Operando convenientemente:
- 2a––– - –^ a+b––– 12 R = 4 a-b^ a-b^ + –––––––––a+b 2b
- ––– - –––– 4 a-b^ a-b y, efectuando los exponentes: 2a-a-b–––– 12 R = 4 a-b^ + ––––––a+b-2b ––––– 4 a-b Simplificando:
–––a-b 12 R = 4 a-b^ + ––––––a-b = 4 + 3 = 7 ––– 4 a-b
Rpta.: 7
15.- Calcular el valor de: ––––––––––––––– 3 n 81 n E = _______^3 3 n+ 3 3 √ [√ 2163 ] Solución:
Por convenir, se realiza las siguientes equiva- lencias:
- 3^3 n = x n n n
- 81^3 = (3^4 )^3 + ( 3^3 )^4 = x^4
• 3^3
n+ = 3(^3
n. 3 (^1) ) = 3(^3
n. 3) = (3^3
n )^3 = x 3
Reemplazando los equivalentes en la expresión propuesta:
E = x^4 _____x √ [
3 √(6 3 )x3^ ]
Efectuando operaciones, de adentro hacia afuera:
x^4 x^4 x^4 E = x^ = (^) 3x 3
x = x 1 _____ (^) __ √ [
3 √(6 3 )x3^ ] √[^6 3 ]^ √[ 6x^3 ]
–––– (^) ––x^4 E = x^4
√ 6 x^4 = 6 x^4 = 6
Rpta.: 6
16.- Calcular el valor de:_______ ________ n-1 n- E = 4 –––––– +n-1^ + 1^5 –––––––n-1^ + 1 √ 4 1-n^ + 1 √ (^5) _______1-n^ + 1 ________ n-1 n-
- 6 –––––– +n-1^ + 1^ –––––––^7 n-1^ + 1 √ 6 1-n^ + 1 √ 7 1-n^ + 1 Solución: Desarrollando el caso general:
n-1 n- a–––––– =n-1^ + 1 (^) –––––––––an-1^ + 1 √a1-n^ + 1 √a-(n-1)^ + 1
n-1 (^) an-1 (^) + 1 n-1 an-1 (^) + 1 = –––––– = 1 ––––––– –––– + 1 (^) ––––––––1 + an- √ (^) _______a n-1^ √ (^) an- n-1 (^) an-1 (^) + 1 –––––– (^) n- 1 ___ = –––––– = a n-1^ = a an-1^ + 1 –––––––– √ a n-
Por lo tanto, por analogía:
n-1 (^4) n-1 (^) + 1 ––––––– = 4 √ 4 1-n^ + 5
n-1 (^5) n-1 (^) + 1 ––––––– = 5 √ 5 1-n^ + 5
n-1 (^6) n-1 (^) + 1 ––––––– = 6 √ 6 1-n^ + 5
n-1 (^7) n-1 (^) + 1 ––––––– = 7 √ 7 1-n^ + 5
α
α (^) α
Luego: E = 4 + 5 + 6 + 7 = 22
Rpta.: 22
17.- Simplificar: ––––––––––––––––––– n –––––––––– n x4n^2 + x3n^2 x3n^ + ––––––––– E = √ x2n^2 + xn^2 ––––––––––––––––– √ xn^ + 1 Solución: Resolviendo por partes: –––––––––– ––––––––––––– n n x4n^2 + x3n^2 x3n^2 (x n^2 + 1) ––––––––– = ––––––––––––– √ x2n^2 + xn^2 √ x4n^2 (x n^2 + 1)
=
n √x3n^2 -n^2 =
n √x2n^2 = x2n
Reemplazando: –––––––––– ––––––––––––– n (^) x4n (^2) + x3n 2 n x3n (^2) (x n (^2) + 1) E = ––––––––– = ––––––––––––– √ x2n^2 + xn^2 √ x4n^2 (x n^2 + 1) ____ (^) 2n__ =
n √x2n^ = x n Rpta.: x^2
18.- Simplificar:
n
_________________________________
n
________________________
n _____n_____ ________________________________ E = √xn^ √xn^2 √xn^3 √xn^4 …
n √ xnn
Extrayendo raíz a cada factor, sucesivamente: n^2 ––––––––––––––––––––––––––––––––– n _________n _____________________________________ E = x. √xn^2 √xn^3 √xn^4 …
n √ xnn
n^3 ___________n ___________________________________ E = x. x. √xn^3 √xn^4 …
n √ xnn n^4 _____________________ E = x. x. x. √xn^4 …
n √ xnn
por lo que, al final se obtendrá:
E = x. x. x. x … x = x 1442443 n “n” veces Rpta.: xn
19.- Calcular el valor de:
7 __ ––––––––––^7
__ 7
[ (^) √ √^77 ] E = ––––––––––––––––––––––––––––__ __ 7
__ __^ √^7
7
[( 7 ) ( 7 ) ]
Solución: __ Si definimos 7
√7 = x, luego:
_^1 __
• 7^7 -1^ = 7^7 =
7
√7 = x
–– -–^1
- -7 √7 = 7 7 = ––– = –––– = ––^1 1 __^1 7 1/2^7 √^7
x
Reemplazando: __ (
x √xx^ )^7 E = ––––––––––––x (^1) _ (^) _ 1 ( 7 x^ ) (7 -x^ ) x
= ––––– = –– = 7x^7 x^7 7 .7-1^70
Reponiendo el valor de x: __ E = ( 7 √ 7 )^7 = 7
Rpta.: 7
20.- Señalar el exponente de “x” después de simpli- ficar (hay “n” radicales):
4 –––––––––––––––––––––––––– 4 ___________ 4 __________________ E = √x^3 √x^3 √x^3
4 √ x^3 Solución: Suponiendo n = 1, se obtiene que: __ (^) __4- 4
√x^3 = x3/4^ = x 4
Suponiendo n = 2, se obtiene que:
4 √x^3
4 √ x^3 =
4 √x^3
4 √ x^3.^4. x^3 =
42 √x^12. x 3
(^15 4) –––^2 - 1 –– = x 16 = x^4 2
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Reemplazando (I), (II), (II) y (IV) en E: _^1 _^1 50 n^. 3 n^50 n^ n ––––––. 5n-1 (–––). 5n- 5n. 3 5 E = (^) [––––––––––––] = (^) [––––––––––] 5 -1^. 5-n^5 -1-n (^1) _ (^) _ 1 = 10 n^. 5n-1^ n^2 n^. 5n^. 5n-1^ n [
]
[
5 -1-n^5 -1-n ] _^1 _^1 = [ 2 n^. 5n+n-1+1+n^ ] n = [ 2 n^. 53n]
n
= [(2. 5^3 )n] n^ = 2. 5^3 = 250
Rpta.: 250
24.- Calcular el valor de:
__
__ __ __^ 3. √^33 -
3 √ 3
3 √3 ––^
3
__^ √^3 -
E = [^
3 √ 3 √ 3 ]
Solución: __ Haciendo x =
3
√3 , por lo tanto x 3 = 3
Reemplazando:
1 1 x^3. –
x √x^3 ]
Efectuando las operaciones necesarias:
_ 1 x^2 x 2 _ 3 x _. _ 3 1 E = [ xx^. (xx^ ) ] = (xx)x^2 [x x^ x^ ]
= x x 3
. x 3 = x^3. 3 = 3. 3 = 9
Rpta. : 9
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- Calcular: (^1) _ ______ 2 _________ ________ (^) ___ _______________
E = [^ √ √√√^2 √√√^2 √√^2 √^2 √^2 √^2 √^2 √^2 ] 2
__
a) 2 b) √ 2 c) ––––^1
__
d) ––^1 e) 4 2
- Hallar E = a. b en la relación:
ab^. ba^ = 2^2 1/
__
a) 1 b) ––––__ c) √ 2 d) 2 e) 4
- Simplificar:
__ __ __ __ __ __ 25 2
5
5
5
5
5
5
__^ √^5
E =
5
__
a) 3 125 b) 625 c) 25 d) 5 e)
5
- Calcular “n” en la igualdad:
_______________ 32 - (––)
√x^3 √x^3 √x^3 …… √x^3 = x
93 1444442444443 “n” radicales
a) 6 b) 3 c) 5 d) 4 e) 8
- Efectuar:
_____________________ ______________ ______
1 3 -
3 3 3
4 J = _^5 -6^5 5 - ( 3 6 ) (^) √(–– 5 ) (^) √(–– 5 ) (^) √(–– 3 ) (^) √(–– 3 ) __ __ __ __ __ (^5)
a) 5 √ 6 b) √^35 c) √^65 d) √^63 e) ––^3
√ 5
- Efectuar:
(^15) –––––––––––––––––––––– 6. 12 4. 5^9. 6^3
- 3 13. 5 4
a) 1 b) 3 c) 5 d) 2 e) 6
EJERCICIOS PROPUESTOS
ECUACIONES EXPONENCIALES
Son igualdades relativas cuyas incógnitas aparecen como exponentes. Se entiende por igualdad relativa a aquella que se verifica para algunos valores que se le asigne a sus incógnitas.
Ejemplos de ecuaciones exponenciales:
i ) 5 x^ = 125
ii ) 23 8 x = 512
iii ) [A 4 x ]
2 -x = A^16
45
SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN
EXPONENCIAL
Es el valor o valores que verifican la igualdad relativa.
Ejemplos:
i) 5 x^ = 125 ⇒ x = 3, dado que: 5^3 = 125
ii) 7 x+1^ = 343 ⇒ x = 2, dado que: 72+1^ = 7^3 = 343
Para obtener la solución se debe tener en cuenta:
Las bases de las potencias deben ser iguales.
Para que haya igualdad, los exponentes de las po- tencias, como consecuencia, deben ser iguales.
En resumen:
Si Am^ = An^ ∴ m = n
EJERCICIOS RESUELTOS
1.- Resolver: 9 x^8 x-1^2 (–– 4 ) ( 27 ––) = –– 3
Solución: Transformando las potencias:
x x- 3 2 2 3 2 [ (–– 2 ) ].^ [ (–– 3 ) ] = –– 3
Efectuando operaciones e invirtiendo la potencia:
3 x- 3 2x^3 -1^3 - (–– 2 ) (^) {[ (–– 2 ) ] (^) } =^ (–– 2 )
3 2x^3 -3+3^3 - (–– 2 ) (–– 2 ) =^ (–– 2 )
3 2x-3x+3^3 - (–– 2 ) =^ (–– 2 )
Igualando los exponentes: -x + 3 = - x = 4 Rpta.: 4
2.- Resolver:
3 x^ + 3x-1^ + 3x-2^ + 3x-3^ + 3x-4^ = 363
- Efectuar: (^1)
- (^) ( –– ) -1 - – 1 1 2 1 -3^1 -
2 E = (^) [(–– (^) ) ( ––) + (^) (–––) + (^) (––) ] 2 4 125 81
a) 1/2 b) 1/4 c) 2 d) 4 e) 3
- Calcular: 2 x ––––––––^ xxx - [xx
x ] xx^ 2xx E = xx {
√x } __
a) 1 b) x c) x^2 d) √x e) xx
- Calcular: (^) __________________ 4 ______________________ √x^3
4 √x^3
4 E = –––––––––––––––––_________________^ √^ x^3 …^ ∞ 5 ___________________ √x^3
5 √x^3
5 √x^3 …^ ∞ __ a) 1/x b) x c) x^2 d) x^3 e)
4
√x
- Hallar la suma de exponentes de las variables x, y, z después de simplificar:
xa^ y b E = zc
a (^) b ––
b (^) c ––
c (^) a –– √ √ yb^ √ √ z c √ √ x a
a) a b) b c) c d) 1 e) 0
α
α (^) α
Extrayendo raíz cúbica: 3 __^ __
√x^3 =
3
√y
__
x =
3
√y (b)
reemplazando (a) y (b) en la ecuación inicial: __ (
3 √y )
y = 3
o, también:
-^1 y (y 3 ) = 3
Elevando al cubo, se tendrá:
yy^ = 3^3 de donde: y = 3
reemplazando en (b): __ x =
3
__
Rpta.:
3
7.- Resolver:
[ 53 9 ]
33
x = 5^9 9
Solución: Efectuando operaciones:
(^9). 33 x = 5^9
9
o:
53
9+3x = 5 9
9
de donde:
3 9+
x = 9^9 = (3^2 )^9 = 3^18
igualando los exponentes:
9 + 3 x^ = 18
3 x^ = 9 = 3^2
luego: x = 2
Rpta.: 2
8.- Calcular el valor de “n”:
n- x––––––––– = xn^2 + xn^2 +5 5 √ xn^ + xn+
Solución: Descomponiendo las potencias:
n- ––––––––––– = xxn^2 + xn^2. x^5 √ xn^ + xn^. x^5
factorizando los numeradores y denominadores:
n- ––––––––––– = xxn^2 (1 + x^5 ) 5 √ xn^ (1 + x^5 )
n-1 (^) xn 2 –––– = x 5 √ xn n- 1 ____ √xn^2 -n^ = x^5
____n(n-1) x (n-1)^ = x^5
xn^ = x^5 luego: n = 5
Rpta.: 5
9.- Resolver la siguiente ecuación exponencial:
x = 27 9
x-
Solución:
Como 27 = 3^3 entonces:
33 x = (3^3 )^9 x- = 33. x-
igualando los exponentes:
3 x^ = 3. 9x-4^ = 3. (3^2 ) x- = 3^1. 32x-8^ = 32x-
3 x^ = 32x-
igualando los exponentes: x = 2x - 7 ∴ x = 7
Rpta.: 7
α
α (^) α
10.- Resolver la siguiente ecuación exponencial: __ [(ax)x]
x-x = a√1/ Solución: Efectuando operaciones:
––^1 (ax
2 )
x-x = a√^23 __ ax (^2). (^) x-x
= a√^2
igualando los exponentes:
x^2. x -x^ = √ 2 -
x2-x^ = 2-3/2^ = (^) ( 2 -1^ )3/2^ = 1 (––)
3/ 2
2 - –^1 1 2 x2-x^ = (^) (–– 2 )
por comparación: x = ––^1 2 Rpta.: ––^1 2
11.- Resolver: ––––––––––– n (^) xn (^) + a n (^1) –––––––––– = –– √ (b 2 a)n^ + xn^ b Solución: Elevando a la potencia “n” ambos miembros de la igualdad:
–––––––––– = ––xn^ + a^ n^1 (b 2 a)n^ + xn^ b
bn(x n^ + a n) = (b^2 a)n^ + xn bnxn^ + bnan^ = b2nan^ + xn
transponiendo términos: bnxn^ - xn^ = b2n^ an^ - bnan xn^ (b n^ -1) = bnan^ (b n^ -1) simplificando: xn^ = bnan xn^ = (ab) n ∴ x = ab
Rpta.: ab
12.- Resolver:
bx
n-x = xx
xx
n
donde : b = xx
x
Solución: Reemplazando “b” en la ecuación:
(xx x ) xn-x = xx xx n
Efectuando operaciones:
xx x. xn-x = xx xx n
xx x+n-x = xx xx n
xx n = xx xx n
igualando exponentes:
xn^ = xx
xn
igualando exponentes nuevamente:
n = xxn Elevando a la “n” potencia e intercambiando los exponentes:
nn^ = ( xx n ) n = (xn)
xn
de aquí se obtiene:
xn^ = n de donde: (^) __ x =
n
√n
__
Rpta:
n
√n
13.- Resolver:
- –x–^ – x– 18 18 = x -1^. 12 18 Solución: Transformando los exponentes negativos en po- sitivos: x ––––– = ––. 12^1 1 –^18 –
- x– 18 18
Á L G E B R A
de aquí:
-^1 –^ + x –^1 – - x –––––^3 –––––^3 + ––––––^2 -^2 –^ - x –^2 –^ + x 2 2 ( –– ) - x 2 m 9 = m 9 9
igualando exponentes:
–– + x^1 –– - x^1 3 3 2 ––––––– = ––––––– + ––––––––––––––– –– - x^2 –– + x^2 2 9 9 (–– + x 9 )(–– - x 9 )
Eliminado denominadores: 1 2 1 2 (–– + x 3 )(–– + x 9 ) =^ (–– - x 3 )(–– - x 9 )+ 2
Efectuando operaciones:
––– + –– + –– x + x^2 x^2 2 = ––– - –– - –– x + x^2 x^2 2 + 2 27 3 9 27 3 9
eliminando términos y transponiendo:
–– + –– + –– x + –– x = 2x^ x^2 3 3 9 9 eliminando denominadores: 3x + 3x + 2x + 2x = 18 10x = 18 x = 1, Rpta.: 1,
17.- Resolver la ecuación exponencial:
1 xx^ = –– 4 –––__
Solución: Trabajando con el segundo miembro: 1 _ _ 1 1 _ _ 1 4 1 _ _ 1 8 xx^ = 1 4 1 2 1 8 1 2 (–– 2 ) =^ [(–– 4 ) ] =^ (–– 4 ) =^ [( 16 –––) ]
––^1 xx^ = 1 16 (––– 16 )
como consecuencia: 1 x = ––– 16
Rpta.: –––^1 16
VALOR NUMÉRICO DE LAS
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Se denomina valor numérico de una expresión alge- braica al valor que toma dicha expresión cuando se le asigna determinados valores a sus letras.
EJERCICIOS RESUELTOS
1.- Hallar el valor numérico de: –––––––––––––––––––––––––––––– 1 1 -1^1 -1^1 - ( ––^2 ) ( –– z ) ( - –– y ) -^ ( –– x) 1 1 1 E = (^) (––) -^ (––) +^ (––) √ z^ y^ x
para: x = 4, y = 2, z = 3
Solución:
Reemplazando los valores asignados: –––––––––––––––––––––––––––––– 1 1 -1^1 -1^1 ( ––^2 ) ( –– 3 ) ( - –– 2 ) -^ ( –– 4 ) E = 1 1 1 √ (–– 3 )^ -^ (–– 2 )^ +^ (–– 4 )
Efectuando operaciones y transformaciones:
- –^1 – = 1 -3^1 -2^1 √ (–– 3 )^ -^ (–– 2 )^ +^ (–– 4 )
= √(3) 3 - (2)^2 + (4) 1/
––––––––– –––
Rpta.: 5
2.- Calcular el valor numérico de:
2 ab1-a^ + ba1-b E = [
ab1+a^ + ba1+b]
para: a b^ = 2 y ba^ = 0,
Á L G E B R A
Solución: Transformando previamente: 2 2 ab. b -a
- ba. a -b ab(ba) -a
- b a(ab) -b E = [
]
[
ab. b ] a
reemplazando los datos: 2 2 ––^1 ––^1 1 –– –– (ab) b
a
- (ba) a b 2 0,5^ + (0 5) 2 E = [
]
[
(ab) ba^ + (ba) ab^2 0,5^ + (0 5) 2 ]
2 2
-^1 – 22 + 1 2 1 (––)
4 + ––––__
2 E = [
]
[
]
[
-^1 – (^) ]
2 2 + –– √2 + –– √^2
E = ––– = 8^16
Rpta.: E = 8
3.- Hallar el valor numérico de:
E = x x x+xx+x x ; para: xx x = 2
Solución: Transformando la expresión:
E = x x x. xxx+x x = x x x (^). xxx^. xx x = (xx x)(xx
x)(x xx)
Reemplazando el dato:
E = (2)(2)
Rpta.: E = 16
4.- Hallar el valor numérico de:
- –^1 – ____________________________ 2
√x
3 √x^2 √x^3
3 E =^ √^ x^4
[
]
______________
___________________
1/2 ___
√x √x
3 √x
3
√x
para: x = 16
Solución: Transformando el numerador y denominador se- paradamente:
√x
3 √x^2 √x^3
3
√ x =
36
√ x^43 = x 43/
_____________
__________________
1/2 __ __
√x √x
3 √x
3
√x =
9
√x^31 = x 31/
reemplazando:
- –^1 –^ - –^1 –^ - –^1 – 43 9 9 9 –– (^43) ––- (^) –– (^31) –––––43 - 124 E = x^36 [
]
31 =^ [^ x^36 9 ]^ =^ [x^36 ] –– x 9
- –^1 –
81 9 81 1 1
- –––– (^) ( –– )( –– ) –– ––– = [x 36 ] = x 36 9 = x 4 =
4
√x
___
E =
4
Rpta.: E = 2
5.- Calcular el valor numérico de:
E = x xy
si se cumple las condiciones siguientes:
xayb^ = 2a^ (1)
xbya^ = 2b^ (2)
Solución:
Multiplicando (1). (2):
xa+b^. ya+b^ = 2a+b de aquí: xy = 2 (3)
Dividiendo (1) entre (2):
xa-b –––– = 2a-b ya-b
–– = 2x y
α
α (^) α
