Funciones y gráficas: tipos, dominio, operaciones y composición, Diapositivas de Matemáticas

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Matem´aticas

para administraci´on y econom´ıa

Ernest F. Haeussler, Jr.* Richard S. Paul

Unidad I

(Cap´ıtulos 3 y 5 del texto)

Funciones y Gr´aficas

1.1 Definici´on y notaci´on de funci´on.

1.2 Dominio y rango de una funci´on.

1.3 Tipos de funciones.

1.4 Operaciones con funciones.

1.5 Composici´on de funciones.

1.6 Gr´afica de una funci´on.

1.7 Funci´on lineal y funci´on cuadr´atica.

1.8 Funci´on exponencial y logar´ıtmica.

1.9 Aplicaciones a las ciencias econ´omico

administrativas.

¿D´onde se ocupan?

Las funciones matem´aticas pueden referirse a situaciones

cotidianas y generalmente se hace uso de las funciones reales,

a´un cuando el ser humano no se da cuenta.

Las funciones son de mucho valor y utilidad para resolver

problemas de la vida diaria en cualquier ´area donde haya que

relacionar variables.

Tales como:

El valor del consumo mensual de agua potable que depende

del n´umero de metros c´ubicos consumidos en el mes.

El costo de una llamada telef´onica que depende de su

duraci´on.

La estatura de un ni˜no que depende de su edad, etc.

Dominio de una funci´on

Definici´on

Se llama dominio de definici´on de una funci´on f , y se designa por

Dom f , al conjunto de valores de x para los cuales existe la

funci´on, es decir, para los cuales podemos calcular y = f (x).

En la funci´on que tiene por expresi´on algebraica y = 2x + 1

podemos dar a la variable x el valor que queramos y con ello

obtener un correspondiente valor de y.

Decimos que en este caso dicha funci´on est´a definida en todo

R (conjunto de los n´umeros reales).

Ejemplo de Dominio

En el ejemplo vemos coloreado

de azul el dominio.

En este caso tenemos que

Domf = (− 8 , 2) + (2, 7]

Tipos de Funciones

Funciones

Algebraicas

Polin´omicas

Racionales

Radicales

Trascendentales

Exponenciales

Logar´ıtmicas

Trigonom´etricas

Funciones Algebraicas

Funci´on lineal:

(^1) La funci´on lineal (funci´on polinomial de primer grado) es de la

forma y = f (x) = ax + b; a y b son n´umeros dados; el

dominio y el rango es el conjunto de todos los n´umeros reales.

La gr´afica de cualquier funci´on lineal es una l´ınea recta.

La constante a representa la pendiente de la recta y b, el

intercepto con el eje y (u ordenada en el origen).

Como ya mencionamos antes, el intercepto con el eje y, es b;

para hallar el intercepto con el eje x (o abscisa en el origen),

se iguala la ecuaci´on de la funci´on a 0 y se despeja el valor

respectivo para x.

Funciones lineales (Ejemplos)

Funciones Algebraicas

Funciones constantes

El criterio viene dado por un n´umero real

f (x) = k

La gr´afica es una recta horizontal paralela a al eje de las abscisas

Su dominio son todos los numeros reales R

Funciones Algebraicas

Funciones racionales

Una funci´on racional es aquella que puede expresarse como el

cociente de dos funciones polinomiales.

Esto es, una funci´on racional es de la forma P (x)/Q(x), donde el

dominio son todos los n´umeros reales excepto los valores de x que

anulan el denominador, Q(x) = 0.

f (x) =

x

2 − 34 x

x − 8

Dom f = R 6 = 8

Funciones trascendentes

La variable independiente figura como exponente, o como ´ındice de la ra´ız, o se

halla afectada del signo logaritmo o de cualquiera de los signos que emplea la

trigonometr´ıa.

Funci´on Exponencial

Sea a un n´umero real positivo. La funci´on que a cada n´umero real x le hace

corresponder la potencia a

x se llama funci´on exponencial de base a y exponente

x.

El dominio de una funci´on exponencial es todo R

Si x > 0 f (x) = a

x > 0 ; si x = 0 f (x) = a

0 = 1

Si x < 0 f (x) = a

x

1

a

−x >^0

La funci´on exponencial es positiva, es decir, la gr´afica de la funci´on se dibuja

siempre por encima del eje 0 x

Grafica de una funci´on exponencial

Funciones trascendentes

Funcion logar´ıtmica

Dados dos n´umeros positivos a y b, definimos el logaritmo en base b de a, y lo

denotamos como log b

a al n´umero al que hay que elevar la base b para obtener

a, es decir

log b

a = x si y solo si b

x = a

En el caso que la base sea el n´umero e se dice que es un logaritmo natural o

logaritmo neperiano, en honor del escoc´es John Napier (1550-1617)

log e

x = ln x

En el caso en que la base sea 10, se dice que son logaritmos decimales o vulgares.

Dado log b

a = x, se dice que a es el antilogaritmo de x en base b, es decir,

anti log b

x = a

Funciones trascendentes

Funci´on logar´ıtmica

Se llama funci´on logar´ıtmica a una funci´on de

la forma:

y = f (x) = log b

a

a > 0 a es diferente de 1

Es aquella funci´on que a cada n´umero

mayor que cero le hace corresponder su

logaritmo en la base a

El dominio de la funci´on logar´ıtmica es

R = (0, +∞)

y su gr´afica se dibuja siempre, por tanto,

a la derecha del eje Y