Matemática 2.1, Apuntes de Matemáticas

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Matemática 2.

Visión

Ser una de las 10 mejores universidades privadas del Perú al año 2020,

reconocidos por nuestra excelencia académica y vocación de

servicio, líderes en formación integral, con perspectiva global;

promoviendo la competitividad del país.

Misión

Somos una universidad privada, innovadora y comprometida con el

desarrollo del Perú, que se dedica a formar personas competentes,

íntegras y emprendedoras, con visión internacional; para que se

conviertan en ciudadanos responsables e impulsen el desarrollo de

sus comunidades, impartiendo experiencias de aprendizaje

vivificantes e inspiradoras; y generando una alta valoración mutua

entre todos los grupos de interés.

Universidad Continental

Material publicado con fines de estudio

Código: ASUC

2019

Índice

S3:Definición de funciones, aplicaciones de funciones en problemas contextualizados

- Matemática 2.

• Presentación
• UNIDAD I: FUNCIONES
• SEMANA
  • S1: Introducción a la Asignatura, presentación del Silabo y evaluación Diagnóstica
  • S2:Definición de funciones, dominio, rango y valor numérico de una función.
• SEMANA
  • S1: Gráfica de función lineal constante, valor absoluto y función raíz cuadrada
  • S2: Función cuadrática: gráfica y Aplicaciones máximos y mínimos.
  • S3: APLICACIÓN DE LA PRACTICA CALIFICA N° 1............................................................
• SEMANA
  • S1: Gráfica de función definida por partes y sus aplicaciones
  • S2: Transformación de funciones.
  • S3: Definición de función inversa.......................................................................................
• SEMANA
  • S1: Función Inversa: Aplicaciones
  • S2: APLICACIÓN DE LA PRACTICA CALIFICA N° 2............................................................
  • S3: APLICACIÓN DE LA PRIMERA EVALUACIÓN DE CONSOLIDADO
• UNIDAD II: RECTAS
• SEMANA
  • S1: Sistemas de coordenadas rectangulares, distancia entre dos puntos
  • S2: Punto de división
  • S3: Inclinación y pendiente de una recta
• SEMANA
  • S1: cuación de la recta
  • S2: Ecuación de la recta: Problemas
  • S3: Rectas paralelas y rectas perpendiculares
• SEMANA
  • S1: APLICACIÓN DE LA PRACTICA CALIFICA N° 3............................................................
  • S2: APLICACIÓN DE LA SEGUNDA EVALUACIÓN DE CONSOLIDADO
  • S3: Ejercicios de repaso......................................................................................................
• SEMANA
  • S1: APLICACIÓN DE LA EVALUACIÓN PARCIAL (PRIEBA DE DESARROLLO)
  • S2: Resolución de la evaluación parcial
• UNIDAD III: EXPONENCIALES Y LOGARITMOS
  • S3: Función exponencial: Definición y gráfica
• SEMANA
  • S1: Función logarítmica: Definición y grafica
    • capitalización e interés compuesto de manera continua S2: Modelado de funciones exponenciales y logaritmos: Interés compuesto con
    • capitalización e interés compuesto de manera continua S3: Modelado de funciones exponenciales y logaritmos: Interés compuesto con
• SEMANA
  • S1: Propiedades con logaritmos
  • S2: Ecuaciones con exponenciales y logaritmos y modelado.
    • Matemática 2.
  • S3: APLICACIÓN DE LA PRACTICA CALIFICA N° 4............................................................
• UNIDAD IV: LÍMITES Y DERIVADAS
• SEMANA
  • S1: Límites de una función: Definición.
  • S2: Limites Cálculo y propiedades
  • S3: Limites laterales y continuidad
• SEMANA
  • S1: Límites que involucran infinitos.
  • S2: Límites indeterminados
  • S3: APLICACIÓN DE LA PRACTICA CALIFICA N° 5............................................................
• SEMANA
  • S1: APLICACIÓN DE LA TERCERA EVALUACIÓN DE CONSOLIDADO
  • S2: Definición de la derivada de una función.
  • S3: Derivada de una función y sus reglas básicas...........................................................
• SEMANA
  • S1: Derivada de una función: producto y cociente
  • S2: Derivada de Funciones compuestas. Regla de la Cadena
  • S3 Aplicaciones de la derivada de una función.
• SEMANA
  • S1: APLICACIÓN DE LA PRACTICA CALIFICA N° 6............................................................
  • S2: APLICACIÓN DE LA CUARTA EVALUACIÓN DE CONSOLIDADO
  • S3: Ejercicios de repaso......................................................................................................
• SEMANA
  • S1: APLICACIÓN DE LA EVALUACIÓN FINAL (PRUEBA DE DESARROLLO)
  • S2: Resolución de la evaluación final
• Referencias bibliográficas.............................................................................................................

Matemática 2.

Matemática 2.

 −^ 

2

(x) 1 ;0 2

x x

g x x

x x

g g g g g

= −

• −

( ) 3 1 ;determine

a) ( )

( ) ( ) b)

Si f x x

f x h

f x h f x

h

SEMANA 1

SESIÓN – 1

Introducción a la Asignatura, presentación del Silabo y evaluación Diagnóstica.

SESIÓN – 2

Definición de funciones, dominio, rango y valor numérico de una función.

BLOQUE I

Evalúe cada una de las siguientes funciones:

2 2 G x ( ) = 2 − x ; G ( 8), − G u ( ), G u ( ) 2.

2 f x ( ) = x + 2 x + 1 ; (1), ( 1), ( f f − f x + h )

5. f x (^^ )^ =^5 −^ 2(^ x^ +^ 1)^ −^4 x

x

f x

x x

7. f x (^^ )^ =^8 −^ 2(3^ − x )

2

x f x x

x x

SESIÓN – 3

Definición de funciones, aplicaciones de funciones en problemas contextualizados.

Matemática 2.

BLOQUE I

Platear las siguientes funciones, redactar e interpretar las respectivas respuestas:

1. El precio por establecimiento de llamada en cierta tarifa telefónica es de 0,

euros. Si hablamos durante 5 minutos, la llamada nos cuesta 0,87 euros en total.

Halla la función que nos da el precio total de la llamada según los minutos que

estemos hablando.

2. En una ciudad tienen implantada la Ordenanza de Regulación del

Aparcamiento (O.R.A.). La norma indica que se debe pagar cierta cantidad por

cada minuto y que no hay un mínimo. Juan pone S/. 1,20 y el parquímetro indica

que dispone de 30 minutos. Sara con S/. 1 tiene 25 minutos.

a) Halla la ecuación que relaciona el precio con el tiempo

b) ¿Cuánto hay que pagar por un aparcamiento de 50 minutos?

c) Si pago S/. 0,84 ¿de cuánto tiempo dispongo?

3. En un banco nos ofrecen un plazo fijo al 4% anual con una comisión de

mantenimiento de S/. 15 anuales, sea cual sea la inversión realizada.

a) Halla la ecuación que relaciona el interés producido con el capital

invertido.

b) ¿Cuánto producirán 3000€ en un año?

c) ¿Cuánto se ha invertido si se han recibido 185€?

4. Compramos un automóvil por 18 000 dólares. Sabiendo que se deprecia un 15%

cada año, determinar:

a) La expresión de su valor al cabo de “x” años.

b) El valor del coche cuando hayan transcurrido 10 años.

c) Los años necesarios para que el coche pierda el 80% de su valor.

5. Tenemos en un banco un capital de 120 000 soles por el que nos dan un interés

del 3% anual.

a) Escribe la función que exprese el capital acumulado en función del

tiempo que permanezca el dinero en el banco.

b) ¿Cuánto dinero tendremos al cabo de 3 años?

c) ¿Cuánto tardará el dinero en duplicarse?

6. Cuota por servicio. Por sus servicios, un investigador privado requiere una cuota

de retención de S/. 500 más S/. 60 por hora. Sea “x” el número de horas que un

investigador pasa trabajando en un caso.

a) Halle la función f que modela la cuota del investigador como una

función de x.

b) Encuentre f(12), ¿qué representa su respuesta?

c) Calcule el número de horas trabajadas por el investigador si la cuota

por sus servicios es de S/. 4 820.

Matemática 2.

2. En la siguiente gráfica determine lo siguiente:

a) Dominio de la función

b) Rango de la función

c) Estime: f(-3) ; f(-1) ; f(2); f(3)

3. En la siguiente gráfica determine lo siguiente:

a) Dominio de la función

b) Rango de la función

c) Estime f(-4) ; f(-2) ; f(0); f(7)

4. En la siguiente gráfica determine lo siguiente:

a) Dominio de la función

b) Rango de la función

c) Estime: f(-1) ; f(-2) ; f(-3); f(0); f(4)

Matemática 2.

Grafique las siguientes funciones, determinando su dominio y rango:

1. f x (^^ )^ = −^3 , (^ x^  −1)

x

f x

= , ( 3−^ ^ x 4)

3. f x (^^ )^ =^2 +^ x −^3 , ( 2−^ ^ x 7)

4. f x (^^ )^ = −^ x −^2 −^4 (^ x^ 8)

SESIÓN – 2

Función cuadrática: gráfica y Aplicaciones máximos y mínimos.

BLOQUE I

En cada uno de los siguientes gráficos de parábolas determine el dominio y rango:

Dadas las siguientes funciones cuadráticas: Determine:

a) El vértice

b) Intersecciones con los ejes

c) Máximo o mínimo

Esboce la parábola correspondiente señalando los elementos anteriores

^ f x^ =^ x^ +^ x − 4.

2

f x ( ) = ( x − 3) − 2 (0^ ^ x 8)

Matemática 2.

BLOQUE I

En el gráfico mostrado determine el dominio y rango:

Grafique cada uno de las siguientes funciones por partes determinando su dominio y

rango:

2 6 6 ( )

2 2

x x f x

x

− − − = 

 +^ +

x

x

3 2

( )

2 1

x

f x

x x

 + −

= 

 −^ −

x

x

2

x

f x x

x

 −^ +

−  

 

 

, 3 0

,0 4

, 4 8

x

x

x

Resuelve cada uno de los siguientes problemas de aplicación de funciones por partes,

redacte e interprete una respuesta:

6. Tarifas. Un teléfono celular cuesta 48 dólares al mes. El plan incluye 300 minutos gratis

y cada minuto adicional de uso cuesta 30 centavos de dólar. El costo mensual C es

una función de la cantidad de minutos empleados “x” y se expresa como:

C x

x

 +^ −

 



,0 300

, 300

x

x

a) Determine: C(100), C(200), C(600)

b) ¿Qué representan las respuestas del inciso a?

Matemática 2.

7. Compras por internet. Una librería por internet cobra $20 por envío para pedidos

menores a $150 pero el envío es gratis para pedidos de $150 o más. El costo C de un

pedido es una función del precio total “x” de los libros comprados, dada por:

x

C x

x

x

x

a) Determine: C(80), C(100), C(200), C(300)

b) ¿Qué representan las respuestas del inciso a?

8. Multas por exceso de velocidad. La velocidad máxima permitida en las autopistas

es 90Km/h y la mínima 45Km/h. La multa por violar estos límites es S/.35 por cada

km/h arriba del máximo o abajo del mínimo. La función 𝐹 que indica la multa en

función de la velocidad "𝑥" a la que conduce una persona se define como:

x

C x

x

 

 



,0 45

,45 90

, 90

x

x

x

a) Determine: 𝐹(30), 𝐹(130), 𝐹(84)

b) ¿Qué representan las respuestas del inciso a)?

SESIÓN – 2

Transformación de funciones.

A partir de las siguientes gráficas de “f” y “g”, encuentre una fórmula para la función

SEMANA 4

SESIÓN – 1

Función Inversa: Aplicaciones

Resuelve cada uno de los siguientes problemas de aplicación de funciones inversas:

1. Impuesto sobre la renta. En cierto país, el impuesto por ingresos menores o iguales

que 20000 euros es 10%. Para ingresos de más de 20000 euros, el impuesto es de

2000 euros más 20% de la cantidad sobre 20000 euros.

a) Encuentre una función " f ” que proporciona el Impuesto sobre la renta por un

ingreso x.

b) Exprese f como una función definida por partes.

c) Encuentre f

− 1

. ¿Qué representa f

− 1 ?

d) ¿Cuánto ingreso requeriría pagar un impuesto de 10000 euros?

2. Costo de una pizza. Marcello’s Pizza fijó como precio base de la pizza grande $

más $2 por cada ingrediente. Por tanto, si usted ordena una pizza grande con x

ingredientes, el precio lo dará la función: f(x) = 7 + 2x

a) Encuentre f

− 1

. ¿Qué representa f

− 1 ?

b) Determine f

− 1 ( 15 ) ¿Qué representa su respuesta?

3. Tasas de intercambio. El valor relativo de las monedas en circulación fluctúa a

diario. Cuando este problema se escribió, un dólar canadiense valía 0,

dólares de Estados Unidos.

a) Encuentre una función f que dé el valor del dólar de Estados Unidos f(x) de x

dólares canadienses.

b) Determina f

− 1 ¿Qué representa f

− 1 ?

c) ¿Cuánto dinero canadiense valdría $12250 dólares de Estados Unidos?

Matemática 2.

4. Ley de Torricelli. Un recipiente contiene 100 galones de agua, que salen de una

fuga en el fondo, lo que causa que el recipiente se vicie en 40 minutos. La ley de

Torricelli proporciona el volumen de agua que permanece en el recipiente

después de t minutos como:

2

t

V t

a) Encuentre V

− 1

. ¿Qué representa V

− 1 ?

b) Determine V

15 ). ¿Qué representa su respuesta?

5. Función de demanda. La cantidad vendida de un artículo se llama demanda del

artículo. La demanda D para cierto artículo es una función del precio dad por:

D ( p )= − 3 p + 150

a) Determine D-^1 ¿Qué representa D-^1?

b) Determine D-^1 (30) ¿Qué representa su respuesta?

SESIÓN – 2

APLICACIÓN DE LA PRACTICA CALIFICA N° 2.

SESIÓN – 3

APLICACIÓN DE LA PRIMERA EVALUACIÓN DE CONSOLIDADO (PRIEBA DE DESARROLLO)

Matemática 2.

SEMANA 5

SESIÓN – 1

Sistemas de coordenadas rectangulares, distancia entre dos puntos

Resuelve cada uno de los siguientes ejercicios:

1. Determinar un punto que equidiste de: A (1,7); B (8,6) y C (7,-1) 2. Determinar el perímetro del triángulo definido por los vértices: A (1,7); B (8,6) y

C (7,-1)

3. Determine el cuarto vértice de un paralelogramo ABCD que tiene por

coordenadas son: A ( 4 ,- 1 ); B (4,6) y C (-3,4)

4. Demostrar que:

a) A (0,1); B (3,5); C (7,2) y D (4,-2) son vértices de un cuadrado.

b) A (1,1); B (3,5); C (11,6) y D (9,2) son los vértices de un paralelogramo.

5. Uno de los extremos de un segmento rectilíneo de longitud igual a 13 es el punto

A (-1, - 5 ); si la abscisa del otro extremo es 2, hallar su ordenada (dos soluciones).

6. Dos de los vértices de un triángulo equilátero son los puntos A (3,1) y B (- 1 ,-4),

Determine las coordenadas del tercer vértice

7. En un triángulo equilátero se sabe que dos de sus vértices tienen por coordenadas

a: (-4, 6) y (4; 6), determine el área de dicho triángulo.

8. Determine el área de un cuadrado ABCD si se sabe que: A(4;-2) y C(6;2)

SESIÓN – 2

Punto de división

Resuelve cada uno de los siguientes ejercicios:

1. Los extremos de un segmento son los puntos A(- 2 ; - 5 ) y B( 7 ; 7 ). Determina un punto

C que divida al segmento AB en la razón de 4 a 5.

2. Los extremos de un segmento son los puntos P 1 ( 7 ; 4 ) y P 2 (- 1 ; - 4 ). Halla la razón

P 1 P : P P 2 , si el punto P(1;-2) divide al segmento.

3. Sobre una recta se ubican los puntos A(-4;-1), B, C y D(8,5), tal que AB= 2 3

BC CD

calcula las coordenadas de los puntos B y C

4. Determina las coordenadas del baricentro del triángulo ABC de vértices A( 5 ; 3 ), B(-

4 ; 1 ) y C( 2 ; 2 ).

5. Los vértices del triángulo ABC son los puntos A ( 1 ; 0 ), B ( 5 ; 4 ) y C (- 3 ; 5 ). Halla la

distancia del baricentro al vértice A.

Matemática 2.

6. Las coordenadas de los extremos del segmento AB son: A( 2 ; - 1 ) y B( 8 ; - 4 ). Halla las

coordenadas del punto C que divide al segmento AB en dos partes tales que AC

es la mitad de CB.

7. Si el segmento AB de extremos A ( 1 ; 3 ), B( 7 ; 5 ), se divide en cuatro partes

iguales, ¿cuáles son las coordenadas de los puntos de división?

8. Los puntos A (2; 5), B (4, 2) y C (a; b) son los vértices de un triángulo. Halla las

coordenadas del vértice C, si el baricentro del triángulo ABC es el punto G (2;3)

SESIÓN – 3

Inclinación y pendiente de una recta

Determine la pendiente de una recta si se conocen dos puntos en dicha recta:

1. A ( 2,3) − Y B (6, −2)

2. A ( 3, − −6) Y B (2,6)

1 , 2 2

A

   −^ −   

Y

1 1 , 3 4

B

   −   

Determine la pendiente de una recta si se conoce el ángulo de inclinación de dicha

recta:

4.^  =^30 

Resuelve cada uno de los siguientes ejercicios:

6. Se tiene un rectángulo ABCD cuyos vértices son A(4,1), B(9,1) y C(9,5) determine

la pendiente de la recta que tiene la diagonal BD

7. Los vértices de un triángulo son los puntos A(2,-2), B(-1,4) y C(4,5). Calcula el

producto de las pendientes de los tres lados

8. Halla la pendiente y la intersección con los ejes de la recta definida por la

ecuación: L = 5 X + 2 Y − 8 = 0