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Demostración de Identidades Vectoriales: Ejercicios y Aplicaciones, Apuntes de Cálculo diferencial y integral

Universidad Central del Ecuador (UCE)Cálculo diferencial y integral

Identidades Vectoriales - Demostración

Tipo: Apuntes

2020/2021

Subido el 11/01/2022

IZA87
IZA87 🇪🇨

5

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bg1
Demostración de identidades vectoriales
1.
A0
A
i
j
k
xyz
AxAyAz
Az
yAy
z
iAx
zAz
x
jAy
xAx
y
k
Luego:
A
x
i
y
j
z
k Az
yAy
z
iAx
zAz
x
jAy
xAx
y
k
x
Az
yAy
z
y
Ax
zAz
x
z
Ay
xAx
y
2Az
xy2Ay
xz2Ax
yz2Az
yx2Ay
zx2Ax
zy
Suponiendo que la función vectorial es bien portada, al menos de clase c2las derivadas
cruzadas son iguales, es decir:
2Az
xy2Az
yx
2Ay
xz2Ay
zx
2Ax
zy2Ax
yz
Por lo tanto:
A0
2.
f0
f
x
i
y
j
z
kff
x
if
y
jf
z
k
Luego:
f
x
if
y
jf
z
k
i
j
k
xyz
fff
xyz
2f
zy2f
yz
i2f
xz2f
zx
j2f
xy2f
zyx
Suponiendo que f es una función escalar bien portada al menos de clase C2.
3.
uvu
vv
u
x
i
y
j
z
kuvuv
x
iuv
y
juv
z
k
pf2

Vista previa parcial del texto

¡Descarga Demostración de Identidades Vectoriales: Ejercicios y Aplicaciones y más Apuntes en PDF de Cálculo diferencial y integral solo en Docsity!

Demostración de identidades vectoriales

A 0

A

i

j

k

x y z

Ax Ay Az

  Azy 

Ay z

i   Axz   Azx

j 

Ay

x ^

Ax y

k

Luego:

A  x

i  y

j  z

k   Azy 

Ay z

i   Axz   Azx

j 

Ay

x ^

Ax y

k

 x^  Azy 

Ay

z ^

y Ax

z ^

Az

x ^

z Ay

x ^

Ax y

(^2) Az

xy ^

^2 Ay

xz ^

^2 Ax

yz ^

^2 Az

yx ^

^2 Ay

zx ^

^2 Ax zy

Suponiendo que la función vectorial es bien portada, al menos de clase c^2 las derivadas

cruzadas son iguales, es decir:

^2 Az

xy ^

^2 Az yx ^2 Ay

xz ^

^2 Ay zx ^2 Ax

zy ^

^2 Ax yz

Por lo tanto:

A 0

 f  0

 f   x

i  y

j  z

kf  

f x

i 

f y

j 

f z

k

Luego:

f x

i 

f y

j 

f z

k 

i

j

k

x y z

f f f

x y z

^2 f

zy ^

^2 f yz

i 

^2 f

xz ^

^2 f zx

j 

^2 f

xy ^

^2 f zyx

Suponiendo que f es una función escalar bien portada al menos de clase C^2.

 uv  u

 v  v

 u

 x

i  y

j  z

kuv  

uv x

i 

uv y

j 

uv z

k

v  ux

i u  vx

i v  uy

j u  vy

j v  uz

k u  vz

k  u  vx

i   vy

j   vz

k  v  ux

i   uy

j 

4. u

 v  v

 u

Esta identidad es inmmediata ya que al ser

  x

i  y

j  z

k un operador lineal,

se distribuye en la suma:

 f

A 

A 

 f  f

A

 f

A   x

i  y

j  z

k  fAx, Ay,Az

fAx

x ^

fAy

y ^

fAz

z ^ ^ Ax^

f

x ^ f^

Ax

x ^ Ay^

f

y ^ f^

Ay

y ^ Az^

f

z ^ f^

Az

z 

Ordenando y agrupando términos

Ax

f

x ^ Ay^

f

y ^ Az^

f

z ^ f^

Ax

x ^ f^

Ay

y ^ f^

Az

z ^ 

A 

 f  f

A

A 

B  

A 

B 

B 

A 

A x

B 

B x

A

Se desarrolla el lado derecho de la igualdad.

A 

B Ax x

B Ay y

B Az z

B 1 

B 

A Bx x

A By y

A Bz z

A 2 

B 

A 

i

j

k

Bx By Bz

Az

y ^

Ay z Ax

z ^

Az x Ay

x ^

Ax y

By

Ay

x ^

Ax

y ^ Bz^

Ax

z ^

Az

x ^

i Bz  Ayz 

Ay

z ^ Bx^

Ay

x ^

Ax

y ^

j Bx  Azx   Azx