SOLUCIÓN EXAMEN ESCRITO Nº2
1. (3P) Determine la veracidad de los siguientes enunciados. Justifique su respuesta.
a) (1P) Si los vectores 𝑝=(1; 2; −1) 𝑦 𝑞 = (3; 𝑎; −3) son linealmente dependientes,
entonces 𝑎= 6.
b) (1P) Dados los puntos 𝐴(1;4;−1) 𝑦 𝐵(−2;4;3). Si 𝑢
𝐴𝐵
=(𝑎;0;𝑏) es un vector
unitario y tiene la misma dirección que el vector 𝐴𝐵
, entonces 𝑎+𝑏= 1.
c) (1P) Si el vector 𝑎 es unitario, el vector 𝑏
es no nulo y el ángulo que forman los
vectores 𝑎 y 𝑏
es de 60°, entonces el valor de 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑏
(4𝑎) es 2.
Solución
a) (1P) Si los vectores 𝑝 =(1; 2; −1) 𝑦 𝑞 = (3; 𝑎;−3) son linealmente dependientes,
entonces 𝑎= 6.
Como son LD: 𝑞 = 𝑘𝑝 ⇔ (3;𝑎;−3)=𝑘(1;2;−1)
Resolviendo: 𝑘 =3, 𝑎 =6.El enunciado es verdadero.
(0,5P)
(0,5P)
b) (1P) Dados los puntos 𝐴(1;4;−1) 𝑦 𝐵(−2;4;3). Si 𝑢
𝐴𝐵
=(𝑎;0;𝑏) es un vector
unitario y tiene la misma dirección que el vector 𝐴𝐵
, entonces 𝑎+𝑏= 1.
𝑢
𝐴𝐵
=𝐴𝐵
‖𝐴𝐵
‖=(−3
5;0;4
5)
⇒ 𝑎+ 𝑏 =− 3
5+4
5=1
5. El enunciado es falso.
(0,5P)
(0,5P)
c) (1P) Si el vector 𝑎 es unitario, el vector 𝑏
es no nulo y el ángulo que forman los
vectores 𝑎 y 𝑏
es de 60°, entonces el valor de 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑏
(4𝑎) es 2.
𝐶𝑜𝑚𝑝𝑏
(4𝑎)=(4𝑎)∙𝑏
‖𝑏
‖=4‖𝑎‖‖𝑏
‖cos (60°)
‖𝑏
‖
=4(1)1
2=2.El enunciado es verdadero
(0,5P)
(0,5P)
2. (4P) La base superior de un paralelepípedo oblicuo 𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐸𝐹𝐺𝐻
es el paralelogramo
𝐸𝐹𝐺𝐻 cuyos vértices conocidos son 𝐹(5;10; 7), 𝐺(3;12;9) y 𝐻(0; 4; 8). Además, de
la base inferior se conoce el vértice 𝐴(1;−1;−2) y el vector 𝐴𝐸
=(1; 3; 8).
a) (2,5P) Determine las coordenadas de los demás vértices y luego grafique el
paralelepípedo en un sistema coordenado tridimensional.
PROGRAMA DE ESTUDIOS GENERALES
ASIGNATURA: Álgebra Lineal
CICLO: 2024-2
TIEMPO: 90 minutos
