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1 Polinomios.
En las clases anteriores se ha encontrado práctico usar letras como x o y para representar números; cada símbolo se llama variable. Una expresión algebraica es el resultado de llevar a cabo un número finito de sumas, restas, multiplicaciones, divisiones o raíces en un grupo de variables y números reales. Los siguientes son ejemplos de expresiones algebraicas:
x^3 − 2 x^2 +
x − π,
4 xy − x x + y
y 2
7 y − 3 x^5 y−^2 + z
A veces una expresión algebraica representa un númeror real sólo para ciertos valores de una variable. Al considerar la expresión
x, encontramos que debemos tener x ≥ 0 para que
x represente un número real. Cuando trabajamos con expresiones algebraicas, suponemos que las variables están restringidas para que la expresión represente un número real. El conjunto de valores permisibles para la variable se llama dominio de la variable. Por lo tanto el dominio de la variable en
x es el conjunto de todos los números reales no negativos {x/x ≥ 0 }, y para 3/(x + 1 ) el dominio es el conjunto de todos los números reales ex- cepto x = −1; es decir, {x/x 6 = 1 }. Si se sustituyen números especificos por las variables en una expresión algebraica, el número real que resulta se llama valor de la expresión. Por ejemplo, el valor de x^2 + 2 y cuando x = 1 y y = 2 es ( 1 )^2 + 2 ( 2 ) = 5
Ciertas expresiones algebraicas tienen nombres especiales. Un monomio en una variable es cualquier expresión algebraica de la forma axn
donde a es un número real, x es una variable y n es un entero no negativo. El número a se llama coeficiente del monomio y n se denomina el grado. Por ejemplo, 17x^5 es un monomio de grado 5 con coeficiente 17 y la constante −5 es un monomio de grado 0. La suma de dos monomios recibe el nombre de binomio. La suma de tres monomios se llama trinomio, por ejemplo,
3 x − 2 y x^4 + 6 x
son binomios, en tanto que 4 x^2 − 2 x − 1 y 8 x^4 + x^2 − 4 x
son trinomios. Un polinomio es cualquier suma finita de monomios. Más formalmente se tiene la siguiente definición
Definición 1 Polinomio Un polinomio de grado n en la variable x es cualquier expresión algebraica de la forma
anxn^ + an− 1 xn−^1 + ... + a 2 x^2 + a 1 x + a 0 con an 6 = 0 (1)
donde n es un entero no negativo y ai, i = 0 , 1 , 2 , ..., n son números reales.
La expresión (1) se llama forma estándar de un polinomio; es decir, el polinomio se escribe en las po- tencias decrecientes de x. Claro, no es necesario que todas las potencias estén presentes en un polinomio;
algunos de los coeficientes ai, i = 0 , 2 , ..., n − 1 podrían ser 0. Debido a que un polinomio en x representa un número real para cualquier número real x, el dominio de un polinomio es el conjunto de todos los números reales R. Los monomios aixi^ en el polinomio se llaman términos del polinomio, y el coeficiente an de la potencia más alta de x se llama coeficiente principal. Por ejemplo, 6x^5 − 7 x^3 + 3 x^2 − 1 es un polinomio de grado 5 con coeficiente principal 6. Los términos de este polinomio son 6x^5 , − 7 x^3 , 3 x^2 , y −1. El número a 0 se llama término constante del polinomio. Puede ser 0, como en el polinomio 6x^2 − x. Si todos los coeficientes de un polinomio son cero, entonces el polinomio se llama polinomio cero y se representa con 0. Los polinomios pueden clasificarse según sus grados, aunque al polinomio cero no se le ha asignado ningún grado. Se usan nombres expeciales para describir los polinomios de menor grado, según se pre- senta en la tabla (1). En cada término en un polinomio, el exponente de la variable debe ser un entero no
Polinomio Grado Forma estándar Ejemplo
Constante 0 a 0 (con a 0 6 = 0) 5
Lineal 1 a 1 x + a 0 (con a 1 6 = 0) 3 x − 4
Cuadrático 2 a 2 x^2 + a 1 x + a 0 (con a 2 6 = 0) −^12 x^2 + x − 2
Cúbico 3 a 3 x^3 + a 2 x^2 + a 1 x + a 0 (con a 3 6 = 0) x^3 − 6 x +
n-ésimo grado n anxn^ + an− 1 xn−^1 + ... + a 1 x + a 0 (con an 6 = 0) xn^ − 1
Table 1: Polinomios
negativo. Por ejemplo, x−^1 + x − 1 y x^2 − 2 x^1 /^2 + 6
no son polinomios. Sin embargo,
1 3
x^2 + 4 y 0. 5 x^3 +
6 x^2 − πx + 9
son polinomios, pues los coeficientes pueden ser cualesquiera números reales.
Ejemplo 1 Reconocimiento de un polinomio Determine cuáles de las expresiones algebraicas siguientes son polinomios. Si la expresión es un poli- nomio, indique su grado y su coeficiente principal.
- x^2 +
x − 1
2 − x + 3 x^2 − 17 x^8
- 7 x^5 − x^2 + 12 x + x−^2
- x^4 − x^2
Solución Como la variable en cada término debe ser elevada a un potencia entera no negativa, 1) y 3) no son poli- nomios. Los polinomios en 2) y en 4) son de grado 8 y grado 4 respectivamente. Al escribir 2) en la forma
1.1.2 Resta de polinomios
La resta de polinomios se lleva a cabo de una manera similar a la suma.
Ejemplo 3 Diferencia de dos polinomios. Reste 2 x^3 − 3 x − 4 de x^3 + 5 x^2 − 10 x + 6
Solución En este ejemplo al polinomio x^3 + 5 x^2 − 10 x + 6 le vamos a restar el polinomio 2x^3 − 3 x − 4 entonces utilizando el formato vertical se tiene:
x^3 + 5 x^2 − 10 x + 6 −( 2 x^3 − 3 x − 4 )
x^3 + 5 x^2 − 10 x + 6 − 2 x^3 + 3 x + 4 −x^3 + 5 x^2 − 7 x + 10
Para llevar a cabo esta resta usando un formato horizontal, procedemos así:
(x^3 + 5 x^2 − 10 x + 6 ) − ( 2 x^3 − 3 x − 4 ) = (x^3 + 5 x^2 − 10 x + 6 ) + (− 2 x^3 + 3 x + 4 ) utilizando la propiedad distributiva
= x^3 + 5 x^2 − 10 x + 6 − 2 x^3 + 3 x + 4 quitando parentesis = (x^3 − 2 x^3 ) + 5 x^2 + (− 10 x + 3 x) + ( 6 + 4 ) agrupando términos = x^3 + 5 x^2 − 7 x + 10
1.1.3 Producto de polinomios
Para hallar el producto de dos polinomios usamos las propiedades distributivas y las leyes de los expo- nentes, como se muestra en el ejemplo que sigue.
Ejemplo 4 Producto de dos polinomios Multiplique x^3 + 3 x − 1 y 2 x^2 − 4 x + 5.
Solución Se utiliza varias veces la ley distributiva.
(x^3 + 3 x − 1 )( 2 x^2 − 4 x + 5 ) = (x^3 + 3 x − 1 )( 2 x^2 ) + (x^3 + 3 x − 1 )(− 4 x) + (x^3 + 3 x − 1 )( 5 ) = ( 2 x^5 + 6 x^3 − 2 x^2 ) + (− 4 x^4 − 12 x^2 + 4 x) + ( 5 x^3 + 15 x − 5 ) = 2 x^5 − 4 x^4 + ( 6 x^3 + 5 x^3 ) + (− 2 x^2 − 12 x^2 ) + ( 4 x + 15 x) − 5 (2) = 2 x^5 − 4 x^4 + 11 x^3 − 14 x^2 + 19 x − 5
En igualdad (2) se ha agrupado términos semejantes para realizar las sumas. En este ejemplo observe que se debe multiplicar cada término del primer polinomio por cada término del segundo polinomio.
Al igual que en los ejemplos anteriores se puede usar un formato vertical (con tal que conservemos los términos semejantes alineados), de esta manera:
x^3 + 3 x − 1 2 x^2 − 4 x + 5 5 x^3 + 15 x − 5 − 4 x^4 − 12 x^2 + 4 x 2 x^5 + 6 x^3 − 2 x^2 2 x^5 − 4 x^4 + 11 x^3 − 14 x^2 + 19 x − 5
1.2 Polinomios en dos variables
Un polinomio en dos variables x e y es una suma de monomios (o términos) de la forma axnym, donde a es un número real, x e y son variables, y n y m son enteros no negativos. Por ejemplo
5 x − 2 y, x^2 + xy − y^2 y 8 x^3 + xy^2 − x +
Asimismo, un polinomio en tres variables x, y y z es la suma de monomios de la forma axnymzk, donde m, n y k son enteros no negativos. Por ejemplo, xy^2 z^3 − 2 xy + z − 1 es un polinomio en tres variables. Los polinomios de cuatro o más variables se definen de manera semejante, por ejemplo xy + 5 y − 3 yz^3 + 6 xy^2 z^3 w^4 es un polinomio de 4 variables. Sumamos, restamos y multiplicamos polinomios de varias variables usando las propiedades de los números reales, como hicimos con los polinomios en una variable.
Ejemplo 5 Suma de dos polinomios en x e y Obtenga la suma de xy^3 + x^3 y − 3 y x^3 − y^3 + 3 xy^3 − x^3 y
Solución
(xy^3 + x^3 y − 3 ) + (x^3 − y^3 + 3 xy^3 − x^3 y) = x^3 − y^3 + 4 xy^3 + 0 x^3 y − 3 = x^3 − y^3 + 4 xy^3 − 3
Ejemplo 6 Producto de dos polinomios en x e y Multiplique x + y y x^2 − xy + y^2
Solución Al igual que en los ejemplos anteriores se aplica la ley distributiva varias veces y luego se combinan los términos semejantes:
(x + y)(x^2 − xy + y^2 ) = x(x^2 − xy + y^2 ) + y(x^2 − xy + y^2 ) = x^3 − x^2 y + xy^2 + x^2 y − xy^2 + y^3 = x^3 − y^3
La división entre un monomio usa las propiedades de las fracciones y las leyes de los exponentes, como se muestra en el siguiente ejemplo 12.
- Usamos la fórmula del producto 2, con x =
c y y = √^1 c
( √ c +
c
c)^2 + 2 ·
c ·
c
c
= c + 2 ·
c √ c
c
= c + 2 +
c
- Se utiliza la formula del producto (3), con x = 2 a y y = 5 b
( 2 a − 5 b)^3 = ( 2 a)^3 − 3 ( 2 a^2 )( 5 b) + 3 ( 2 a)( 5 b)^2 − ( 5 b)^3 = 8 a^3 − 60 a^2 b + 150 ab^2 − 125 b^3
Ejemplo 9 Obtenga el producto ( 2 x + y)( 2 x − y)( 4 x^2 + y^2 )
Solución
( 2 x + y)( 2 x − y)( 4 x^2 + y^2 ) = [( 2 x + y)( 2 x − y)]( 4 x^2 + y^2 ) = [( 2 x)^2 − (y)^2 ]( 4 x^2 + y^2 ) = ( 4 x^2 − y^2 )( 4 x^2 + y^2 ) = [( 4 x^2 )^2 − (y^2 )^2 ] = 16 x^4 − y^4
1.4 Factorización de polinomios
Anteriormente multiplicamos polinomios. Ahora, invertiremos el procedimiento y se tratara de escribir un polinomio como producto de otros polinomios. Este proceso se llama factorización, y cada polinomio en el producto se llama factor del polinomio original, por ejemplo 3x^2 y x^2 + 2 son factores de 3x^4 + 6 x^2 porque 3 x^4 + 6 x^2 = 3 x^2 (x^2 + 2 ).
Generalmente buscaremos factores polinomiales de grado 1 o mayores. Al factorizar, a veces podemos sustituir una expresión complicada por un producto de factores lineales. Un ejemplo es:
3 x^3 + 6 x^2 − 29 x − 6 = ( 5 x + 1 )(x − 2 )(x + 3 )
Por tanto, la factorización resulta muy útil para simplificar expresiones, es particularmente uítil para re- solver ecuaciones. En general el primer paso en la factorización de cualquier expresión algebraica es determinar si los términos tienen un factor común.
Ejemplo 10 Factorice 6 x^4 y^4 − 4 x^2 y^2 + 10
2 xy^3 − 2 xy^2
Solución Note que 2xy^2 es un factor común de los términos, tenemos que
6 x^4 y^4 − 4 x^2 y^2 + 10
2 xy^3 − 2 xy^2 = 2 xy^2 ( 3 x^3 y^2 ) − 2 xy^2 ( 2 x) + 2 xy^2 ( 5
2 y) − 2 xy^2 ( 1 ) = 2 xy^2 ( 3 x^3 y^2 − 2 x + 5
2 y − 1 )
Cuando los términos de una expresión no tienen factor común, aún podrían factorizarce agrupando los términos de manera apropiada.
Ejemplo 11 Agrupación Factorice x^2 + 2 xy − x − 2 y
Solución Al agrupar los dos primeros términos y los dos últimos queda
x^2 + 2 xy − x − 2 y = (x^2 + 2 xy) + (−x − 2 y) = x(x + 2 y) + (− 1 )(x + 2 y)
Observamos el factor común x + 2 y y completamos como
x^2 + 2 xy − x − 2 y = (x − 1 )(x + 2 y)
1.4.1 Factorización polinomios cuadráticos
A veces es posible factorizar los polinomios cuadráticos ax^2 + bx + c, donde a, b y c son enteros, como
(Ax + B)(CX + D)
donde A, B, C y D son también enteros. Inicialmente, para simplificar nuestra exposición suponemos que el polinomio cuadrático tiene como co- eficiente principal a = 1. Si x^2 + bx + c tiene una factorización usando coeficientes enteros, entonces será de la forma (x + B)(x + D)
donde B y D son enteros. Al hallar el producto y al comparar los coeficientes,
(x + B)(x + D) = x^2 + (B + D)x + BD = x^2 + bx + c
donde b = B + D y c = BD. Así, para factorizar x^2 + bx + c con coeficientes enteros hacemos una lista de todas las factorizaciones posibles de c como producto de dos enteros B y D. Luego comprobamos cuál de las sumas B + D es igual a b.
Ejemplo 12 Factorice x^2 − 9 x + 18.
Ejemplo 15 Factorice 2 t^4 + 11 t^2 + 12
Solución Si x = t^2 , podemos considerar esta expresión como un polinomio cuadrático en la variable x,
2 x^2 + 11 x + 12
Entonces, factorizamos este polinomio cuadrático. Los factores tendrán la forma
(x + )( 2 x + ) (3)
donde los espacios en blanco deben llenarse con un par de enteros cuyo producto sea 12. Los posibles pares son 1 y 12, −1 y − 12 2 y 6, −2 y − 6 3 y 4, −3 y − 4
comprobamos cada par con (3) para ver qué combinación, si la hay, resulta en un coeficiente de 11 para el término medio. Encontramos que
2 x^2 + 11 x + 12 = (x + 4 )( 2 x + 3 )
La sustitución de t^2 por x nos da la factorización deseada
2 t^4 + 11 t^2 + 12 = (t^2 + 4 )( 2 t^2 + 3 )
En el ejemplo anterior se debe comprobar que t^2 + 4 ni 2t^2 + 3 se pueden factorizar usando coeficientes enteros; ni con números reales, en todo caso.
Formulas de Factorización Si invertimos las formulas de productos notables, obtenemos las fórmulas de factorización importantes mostradas en la tabla (3). Los símbolos x e y pueden sustituirse por otra variables un número o una expresión mas complicada.
(6) Cuadrado perfecto: x^2 + 2 xy + y^2 = (x + y)^2
(7) Diferencia de dos cuadrados: x^2 − y^2 = (x + y)(x − y)
(8) Diferencia de dos cubos: x^3 − y^3 = (x − y)(x^2 + xy + y^2 )
(9) Suma de dos cubos: x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 − xy + y^2 )
Table 3: Formulas de factorización
Ejemplo 16 Cuadrado perfecto. Factorice y^2 − 6 y + 9
Solución En este caso, el símbolo y desempeña el papel de x y y = −3(utilizando la notación de la tabla (3)), y por la fórmula (6), vemos que
y^2 − 6 y + 9 = y^2 + 2 (− 3 )y + (− 3 )^2 = (y − 3 )^2.
Ejemplo 17 Diferencia de cuadrados Factorice 16 x^4 y^2 − 25
Solución Si reescribimos la expresión así: 16 x^4 y^2 − 25 = ( 4 x^2 y)^2 − 52
reconocemos la diferencia de dos cuadrados. Por tanto, por la fórmula (7), el símbolo x se sustituye con la expresión 4x^2 y e y = 5, tenemos que
16 x^4 y^2 − 25 = ( 4 x^2 y)^2 − ( 5 )^2 = ( 4 x^2 y − 5 )( 4 x^2 y + 5 )
Ejemplo 18 Suma de dos cubos Factorice 8 a^3 + 27 b^6.
Solución Como podemos escribir la expresión dada como la suma de dos cubos,
8 a^3 + 27 b^6 = ( 2 a)^3 + ( 3 b^2 )^3
factorizamos usando la fórmula (9). Susituimos x por 2a e y por 3b^2 , se desprende de la formula (9) que
8 a^3 + 27 b^6 = ( 2 a)^3 + ( 3 b^2 )^3 = ( 2 a + 3 b^2 )[( 2 a)^2 − ( 2 a)( 3 b^2 ) + ( 3 b^2 )^2 ] = ( 2 a + 3 b^2 )( 4 a^2 − 6 ab^2 + 9 b^4 )
Observe que las fórmulas (7) a (9) indican que la diferencia de dos cuadrados y la suma y diferencia de dos cubos siempre se pueden factorizar, en tanto no limitemos los coeficientes a enteros. Por ejemplo, usando la formula (7) para factorizar x^2 − 5, identificamos que y =
5, por lo que
x^2 − 5 = x^2 − (
5 )^2
= (x −
5 )(x +
Ahora consideramos un ejemplo en el que una primera factorización produce expresiones que pueden factorizarse otra vez. En general, necesitamos que una expresión sea factorizada totalmente, es decir, hasta que ninguno de los factores se puedan factorizar en polinomios de grado 1 o mayor con coeficientes enteros.
