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14^ Intelectum 5.°
CONCEPTO
Son los resultados de ciertas multiplicaciones indicadas que se obtienen en forma directa.
PRINCIPALES PRODUCTOS NOTABLES
1. Binomio al cuadrado (tcp: trinomio cuadrado perfecto)
(x! y) 2 = x^2! 2xy + y 2
Ejemplo: [(2a + 3) - (6a + 5)]^2 = (-4a - 2)^2 = [2(2a + 1)]^2 = 4(2a + 1)^2 = 4[(2a)^2 + 2(2a) + 12 ] = 4(4a^2 + 4a + 1)
COROLARIO: Identidades de Legendre
(x + y) 2 + (x - y)^2 = 2(x^2 + y^2 ) (x + y) 2 - (x - y)^2 = 4xy
(x + y) 4 - (x - y)^4 = 8xy (x 2 + y^2 )
Ejemplo: Siendo: a! - 1 a (^1) a 1 1 a (^1) a 1 1 8 a (^1) a 1 1 a (^1) a^11
4 4 2 2
^ (^) c ^ (^) c ^ + + (^) + c (^) ^ h (^) m h (^) m h ^ (^) c h m^ ; E ; E ; h^ mE
8 a a
= (^) ; ^ + h + (^) ^ + h 2 E
2. Diferencia de cuadrados En forma general lo podemos representar como:
(ax m^ + by n^ )(ax m^ - by n^ ) = (axm^ )^2 - (byn^ )^2 = a^2 x 2m^ - b^2 y 2n
Ejemplos:
- (2x 2 + 3y 3 )(2x 2 - 3y 3 ) = (2x^2 )
2
2 = 4x 4 - 9y 6
- (2a + b + c)(b - c) = ((a + b) + (a + c))((a + b) - (a + c)) = (a + b)^2 - (a + c)^2 artificio 3. Identidad de Stevin (multiplicación de binomios con un término común).
(x + a)(x + b) = x^2 + (a + b)x + ab (ax + b)(cx + d) = acx 2 + (ad + bc)x + bd
Ejemplo:
- (^) b^1 5 b^1 7 b^1 5 7 b^1
2 c + mc - m = c m + 6 + -^^ h^ @c m
Ejemplo:
- (2m - 1)(3m - 7) = (2)(3)m^2 + [2(- 7) + (-1)3)] m
- (-1)(-7) = 6m^2 - 17m + 7
(x + a)(x + b)(x + c) = x^3 + (a + b + c)x^2 + (ab + ac + bc)x + abc
Ejemplo: (x + 2)(x - 3)(x + 4) = x 3 + (2 - 3 + 4) x^2 + [2(-3) + 2(4) + (-3)(4)] x + 2(-3)(4) = x 3 + 3x 2 - 10x - 24
PRODUCTOS NOTABLES
Atención En algunos casos conviene hacer el proceso inverso de este producto notable (así como en otros): a a
(^2) - 12 = (^) ca + (^) a (^1) mc a - a (^1) m
A este proceso de solución se le denomina factorización.
Observación Siendo: n! Z; se cumple: (x - y)2n^ = (y - x)2n
Como podrás apreciar, la identidad de Stevin funciona también cuando algunas de sus constantes son negativas (a, b, c < 0).
Nota
ÁLGEBRA - TEORÍA UNIDAD 1 15
X
Atención Es necesario que recuerdes lo siguiente: (x + y)^3 + (x - y)^3 = 2x(x^2 + 3y^2 ) (x + y)^3 - (x - y)^3 = 2y(3x^2 + y^2 )
4. Binomio al cubo
(x! y) 3 = x^3! 3x 2 y + 3xy 2! y 3
Ejemplo:
( 3 3 3 2 ) 3 ( 3 3 ) 3 3 ( 3 3 ) (2 3 2 ) 3 ( 3 3 )( 3 2 ) 2 3 2 1 3 ( 9 2 ) 3 ( 3 ) ( 4 )
(^3 3 3 3 )
- = - + - `^ j = - + = 1 - 3 3 18 + 33 12
COROLARIO: Identidades de Cauchy (forma abreviada del desarrollo de un binomio al cubo)
(x! y) 3 = x^3! y 3! 3xy(x! y)
Ejemplo:
q ( ) ( ) q
q q
q q
q q
3
(^3 ) 3
3 3
3 3
c m e o e oc m q^ q q^ q
= + + (^) c + 3 m
5. Binomio por trinomio: suma o diferencia de cubos
Expresión general: (x m^! y n^ )(x 2m^ " x m^ y n^ + y2n^ ) = x3m^! y 3n
Ejemplo:
( (^3 7) - 3)( (^3 49) + 3 3 7 + 9) (^) = ( (^3 7) - 3) (^^3 7 ) (^2) + ( 3 7 )( ) (^3) + ( ) 3 2 h= ( 3 7 ) (^3) - (3) (^3) = 7 - 27 = - 20
6. Trinomio al cuadrado
(x + y + z) 2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy + xz + yz)
Ejemplo: (p - 3q - 5r) 2 = p 2 + (-3q) 2 + (-5r) 2 + 2[p(-3q) + p(-5r) + (-3q)(-5r)] = p 2 + 9q 2 + 25r 2 + 2(-3pq - 5pr + 15qr)
7. Identidades de Lagrange
Con dos variables
(a^2 + b^2 )(x 2 +y^2 ) = (ax + by)^2 + (ay - bx)^2
Con tres variables
(a^2 + b^2 + c^2 )(x 2 + y^2 + z^2 ) = (ax + by + cz) 2 + (ay - bx)^2 + (az - cx) 2 + (bz - cy) 2
8. Identidad trinómica de Argand
(x 2m^ + xm^ y n^ + y2n^ )(x 2m^ - xm^ y n^ + y2n^ ) = x 4m^ + x2m^ y 2n^ + y4n
9. Identidades de Gauss (identidades auxiliares)
A) x 3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (x + y + z)(x 2 + y^2 + z^2 - xy - xz - yz)
Ejemplo:
- Si: a + b + c = 2; abc = 1; a 3 + b^3 + c^3 = 5. Determina: a 2 + b^2 + c^2 y ab + ac + bc Resolución: Consideremos el trinomio al cuadrado y la identidad de Gauss: (a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + ac + bc) x + 2y = 4 x - y = 1 Donde: x = 2 y = 1
z x y a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac - bc) 5 1 2 x y Reponiendo las expresiones: x = a^2 + b^2 + c^2 = 2 y = ab + ac + bc = 1
(4q^2 + 2rq + r^2 )(4q^2 - 2rq + r^2 ) = [(2q)^2 + (2q)(r) + r^2 ][(2q)^2 - (2q)(r) + r^2 ] = (2q)^4 + (2q)^2 (r)^2 + r^4 = 16q^4 + 4q^2 r^2 + r^4
Veamos un ejemplo para la identidad trinómica de Argand
Nota
