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CAPÍTULO III APRENDER (POR MEDIO DE) LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS* Roland Charnay Para un espíritu científico todo conocimiento es una respuesta a una pregunta. Si no ha habido pregunta no puede haber conocimiento científico. Nada viene solo, nada es dado. Todo es construido. BACHELARD, La formación del espíritu científico ¿LECCIONES DE LA HISTORIA? La historia de la matemática, en la complejidad de su evolu- ción y de sus revoluciones, ilustra bien esta cita de Bachelard. Las matemáticas se han construido como respuesta a preguntas que han sido traducidas en otros tantos problemas. Estas preguntas han variado en sus orígenes y en sus contextos: problemas de orden doméstico (división de tierras, cálculo de créditos...); pro- blemas planteados en estrecha vinculación con otras ciencias (astronomía, física...); especulaciones en apariencia "gratuitas" sobre "objetos" pertenecientes a las matemáticas mismas, necesi- dad de organizar elementos ya existentes, de estructurarlos, por ejemplo, por las exigencias de la exposición (enseñanza...), etcé- tera. De más está decir que la actividad de resolución de problemas ha estado en el corazón mismo de la elaboración de la ciencia
- En Grand N, revista de matemática, ciencias y tecnología para los maestros de la escuela primaria y pre-primaria, nB^ 42, enero 1988, Documento CRDP, Gre- noble, Francia. Traducción del francés de Santiago Ruiz en colaboración con Gema Fioriti y María Elena Ruiz, y publicado con autorización del CRDP (Centre Regional de Documentation Pédagogique).
52 DIDÁCTICA DE MATEMÁTICAS matemática. "¡Hacer matemática es resolver problemas!", no temen afirmar algunos. Pero esta elaboración no se realiza sin dificultad. Los proble- mas a menudo ofrecen resistencia; las soluciones son casi siempre parciales, aun si destellos geniales provocan avances espectacula- res... que a veces no son reconocidos desde el principio. "En el uso frecuente de textos originales y también en el de obras generales —suma de saberes históricamente acumulados en este dominio— hemos descubierto un tejido complejo y difuso hecho de conjetu- ras, de dudas, de gaffe, de modelos concurrentes, de intuiciones fulgurantes y también de momentos de axiomatización y síntesis", escriben A. Dahan-Dalmedico y J. Peiffer en el prefacio de su libro. ¿Pueden estas consideraciones (muy esquemáticas) sobre el origen del conocimiento matemático y sobre las condiciones de su elaboración encontrar eco en una reflexión sobre la cuestión del aprendizaje matemático en el contexto escolar? La respuesta debe ser prudente y cuidadosa: las herramientas o nociones elaboradas en una época determinada lo han sido, en efecto, en un contexto cultural, socioeconómico..., que no es aquel en el que viven nues- tros alumnos. Resta decir que son los problemas que les han dado origen (y los que ha planteado a continuación) los que han dado sentido a las matemáticas producidas. Esta es, tal vez, la principal lección que tener en cuenta en la enseñanza. CONSTRUIR EL SENTIDO... Uno de los objetivos esenciales (y al mismo tiempo una de las dificultades principales) de la enseñanza de la matemática es pre- cisamente que lo que se ha enseñado esté cargado de significado, tenga sentido para el alumno. Para G. Brousseau (1983), el sentido de un conocimiento matemático se define: — no sólo por la colección de situaciones donde este conocimiento es realizado como teoría matemática; no sólo por la colección de situaciones donde el sujeto lo ha encontrado como medio de solución,
54 DIDÁCTICA DE MATEMÁTICAS ca, su punto de vista sobre los alumnos (sus posibilidades, sus expectativas), la imagen que el docente se hace de las demandas de la institución (explícitas, implícitas o supuestas), de la demanda social o también de la de los padres... Para describir algunos modelos de aprendizaje, se puede apo - yar en la idea de "contrato didáctico", tal como Brousseau lo ha definido: conjunto de comportamientos (específicos) del maestro que son esperados por el alumno, y conjunto de comportamientos del alum- no que son esperados por el maestro, y que regulan el funciona- miento de la clase y las relaciones maestro-alumnos-saber, definien- do así los roles de cada uno y la repartición de las tareas: ¿quién puede hacer qué?, ¿quién debe hacer qué?, ¿cuáles son los fines y los objetivos?... Así, una situación de enseñanza puede ser observada a través de las relaciones que se "juegan" entre estos tres polos: maestro, alumno, saber: analizando: —la distribución de los roles de cada uno, — el proyecto de cada uno, —las reglas del juego: ¿qué está permitido, qué es lo que realmente se demanda, qué se espera, qué hay que hacer o decir para "mostrar que se sabe"...? Muy esquemáticamente se describirán tres modelos de referencia:
- El modelo llamado "normativo" (centrado en el contenido) Se trata de aportar, de comunicar
APRENDER (POR MEDIO DE) LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS 55 un saber a los alumnos. La pedagogía es entonces el arte de comu- nicar, de "hacer pasar" un saber. —El maestro muestra las nociones, las introduce, provee los ejemplos. —El alumno, en primer lugar, aprende, escucha, debe estar atento; luego imita, se entrena, se ejercita, y al final aplica. —El saber ya está acabado, ya construido. Se reconocen allí los métodos a veces llamados dogmáticos (de la regla a las aplicaciones) o mayeúticos (preguntas/respuestas).
- El modelo llamado "incitativo" (centrado en el alumno) Al principio se le pregunta al alum no sobre sus intereses, sus motivacio- y. nes, sus propias necesidades, su entor no. —El maestro escucha al alumno, suscita su curiosidad, le ayuda a utilizar fuentes de información, responde a sus demandas, lo remite a herramientas de aprendizaje (fichas), busca una mejor motivación (medio: cálculo vivo de Freinet, centros de interés de Decroly). —El alumno busca, organiza, luego estudia, aprende (a menudo de manera próxima a lo que es la enseñanza programada). —El saber está ligado a las necesidades de la vida, del entorno (la estructura propia de este saber pasa a un segundo plano). Se reconocen allí las diferentes corrientes llamadas "métodos activos".
- El modelo llamado "aproximativo" (centrado en la construcción del saber por el alumno) Se propone partir de "modelos", de concepciones existentes en el alumno y "ponerlas a prueba" para mejorarlas, modificarlas o construir nuevas. —El maestro propone y organiza una serie de situaciones con distintos obstáculos (variables didácticas dentro de estas situaciones), organiza las dife- A M S A M S
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- El problema como criterio del aprendizaje (modelo llamado "nor- mativo")
sentidos • problemas (utilización de los conoci- mientos para el alumno, control para el maestro) —lo que conduce a menudo a estudiar tipos de problemas: confrontado a un nuevo problema, el alumno busca si ya ha resuelto uno del mismo tipo. —es el modelo de referencia de numerosos manuales, siendo la idea subyacente que es necesario partir de lo fácil, de lo simple, para acceder a lo complejo, y que un conocimiento complejo pue- de ser, para el aprendizaje, descompuesto en una serie de conoci- mientos fáciles de asimilar y que, finalmente, todo aprendizaje debe ir de lo concreto a lo abstracto.
- El problema como móvil del aprendizaje (modelo llamado "inci- tativo") —al principio, se desea que el alumno sea un "demandante activo, ávido de conocimientos funcionalmente útiles". —pero las situaciones "naturales" son a menudo demasiado complejas para permitir al alumno construir por sí mismo las herramientas y, sobre todo, demasiado dependientes de "lo ocasio- nal" para que sea tenida en cuenta la preocupación por la cohe- rencia de los conocimientos. mecanismos (^) lecciones (adquisición) ejercicios (ejercitación) Problemas Situación basada en lo vivido Aporte de conocimientos Práctica, ejercicios Motivación Mecanismo Resignificación
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- El problema como recurso de aprendizaje (modelo llamado "apro- piativo")
- situación-problema (el alumno busca un procedimiento de resolución) acción La resolución de problemas como fuente, lu- gar y criterio de la elaboración del saber formulación validación institucionalización
- formulación-confrontación de los pro cedimientos, puesta a prueba
- nueva situación con diferentes obstácu los: nuevos procedimientos, etcétera.
- nueva herramienta
- ejercitación
- síntesis, lenguaje convencional
- problemas: evaluación para el maestro, resignificación para el alumno —es principalmente a través de la resolución de una serie de problemas elegidos por el docente como el alumno construye su saber, en interacción con los otros alumnos. —la resolución de problemas (y no de simples ejercicios) inter- viene así desde el comienzo del aprendizaje. OPCIONES A FAVOR DE UNA ELECCIÓN Estas opciones se apoyan en resultados de investigación y dependen, por una parte, de elecciones ideológicas. Ellas se basan en la pregunta "¿Cómo aprenden los alumnos?".
- Los conocimientos no se apilan, no se acumulan, sino que pasan de estados de equilibrio a estados de desequilibrio, en el transcur- so de los cuales los conocimientos anteriores son cuestionados. Una nueva fase de equilibrio corresponde entonces a una fase de reorganización de los conocimientos, donde los nuevos saberes son integrados al saber antiguo, a veces modificado (cf. Piaget). Así, un nuevo saber puede cuestionar las concepciones del alumno originadas por un saber anterior: por ejemplo, el estudio de los decimales debería conducir al alumno a cuestionar la idea
60 DIDÁCTICA DE MATEiMATlCAS observaciones) cuyo interés, sin embargo, no se debe descartar: el problema es entonces percibido como un desafío intelectual.
- Las producciones del alumno son una información sobre su "estado de saber" En particular, ciertas producciones erróneas (sobre todo si ellas persisten) no corresponden a una ausencia de saber sino, más bien, a una manera de conocer (que a veces ha servido en otros contex - tos) contra la cual el alumno deberá construir el nuevo conoci - miento. El alumno no tiene jamás la cabeza vacía: no puede ser considerado como una página en blanco sobre la cual será suficien te imprimir conocimientos correctos y bien enunciados.
- Los conceptos matemáticos no están aislados Hay que hablar más bien de campos de conceptos entrelazados entre ellos y que se consolidan mutuamente: de ahí la idea de pro - poner a los alumnos campos de problemas que permitan la cons - trucción de estas redes de conceptos que conviene elucidar previa - mente (tarea que pasa a ser fundamental...).
- La interacción social es un elemento importante en el aprendizaje Se trata tanto de las relaciones maestro-alumnos como de las relaciones alumnos-alumnos, puestas en marcha en las actividades de formulación (decir, describir, expresar), de prueba (convencer, cuestionar) o de cooperación (ayuda, trabajo cooperativo): idea de conflicto sociocognitivo, sobre todo entre pares. EN EL TRIÁNGULO DOCENTE-ALUMNOS-PROBLEMA Trataremos de precisar las características de estas relaciones en el cuadro de un aprendizaje que se apoya en la resolución de problemas. Relación entre la situación-problema y los alumnos: —La actividad debe proponer un verdadero problema por resol- ver para el alumno: debe ser comprendido por todos los alumnos
APRENDER (POR MEDIO DE) LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS 61 (es decir que éstos puedan prever lo que puede ser una respuesta al problema). —Debe permitir al alumno utilizar los conocimientos anteriores..., no quedar desarmado frente a ella. —Pero, sin embargo, debe ofrecer una resistencia suficiente para llevar al alumno a hacer evolucionar los conocimientos anteriores, a cuestionarlos, a elaborar nuevos (problema abierto a la investiga- ción del alumno, sentimiento de desafío intelectual). —Finalmente, es deseable que la sanción (la validación) no ven- ga del maestro, sino de la situación misma. Relación docente-alumno ¿Qué percepción tiene el alumno de las expectativas del maestro? Las relaciones pedagógicas deben conducir a los alumnos a perci- bir que les es más conveniente establecer ellos mismos la validez de lo que afirman que solicitar pruebas a los otros. —Una distinción neta debe ser establecida entre los aportes del docente y las pruebas que los alumnos aportan. Relación maestro-situación —Le corresponde al maestro ubicar la situación propuesta en el cuadro del aprendizaje apuntado, distinguir el objetivo inmediato de los objetivos más lejanos, elegir ciertos parámetros de la situación (idea de "variables didácticas" de la situación). — El conocimiento considerado debe ser el más adaptado para resol- ver el problema propuesto (desde el punto de vista de los alum- nos). —Le corresponde también observar las incomprensiones, los errores significativos, analizarlos y tenerlos en cuenta para la elabora- ción de nuevas situaciones. —Le corresponde, en fin, provocar o hacer la síntesis.
APRENDER (POR MEDIO DE) LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS 63 siguientes?, ¿de qué tipo de saber se trata (formal, descriptivo u operativo, funcional)? —Elección de la situación o más bien de la serie de situaciones a proponer a los alumnos. La idea de obstáculo es aquí importan- te: sin los conocimientos anteriores adecuados para resolver el problema no hay interés por movilizar una nueva herramienta. La elección es difícil: es necesario no desmovilizar al alumno con una dificultad demasiado grande ni dar la impresión de "derribar puertas abiertas con una excavadora". —Elección de una puesta en marcha pedagógica. No hay solu- ciones tipo, pero se puede anticipar con la mayor parte de los didactas actuales una estrategia de referencia que comprenda varias etapas: investigar individualmente y/o en grupos, formular oralmente o por escrito, validar, institucionalizar (identificación del saber, convenciones para el lenguaje, las notaciones), evaluar, proceso que puede extenderse en varias sesiones e incluso utilizar varias situaciones problemas. BIBLIOGRAFÍA Audigier, M. N. y Colomb J., "Enquéte sur l'enseignement des ma- thématiques a l'école elementaire", París, INRP, 1979. Brousseau, G.: "Les obstacles epistémologiques et les problémes d'enseignement", Recherches en didactique des mathématiques (La Pensée Sauvage), 1983, ns^ 4.2., pág. 170. Dahan-Dalmedico, A., y Peiffer, J.: Une histoire des mathématiques, París, Le Seuil, p. 9. Equipe math. INRP: "Comment font-ils? L'écolier et le probléme de mathématiques", Rencontres Pédagogiques, París, 1984, na^ 4. ERMEL: "Apprentissages mathématiques á l'école elementaire", cycle moyen (SERMAP-HATIER), 3 tomos, 1982. Irem de Lyon, "La pratique du probléme ouvert", Universidad Claude Bernard, Villeurbanne, s/f. Vergnaud, G., "Quelques orientations theoriques et methodologi- ques des recherches francaises en didactique des mathémati- ques", Recherches en didactique des mathématiques (La Pensée Sauvage), 1981, n. 2.2., pág. 220.
