Matematica de lineas, Apuntes de Matemáticas

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Matemática II (2018-2)

RECTAS Y PLANOS EN EL

ESPACIO

Prof. Patricia Reynoso Quispe, MSc

Ecuación de la recta en el espacio

Una recta se puede representar en sus tres formas:  Forma vectorial  Forma paramétrica  Forma simétrica

Ecuación de la recta en el espacio

Sea r =  x ; y ; z  𝑟 0 =  x 0 ; y 0 ; z 0  𝜐=  a ; b ; c  Dos vectores son iguales si sus componentes son iguales: r = r 0 + t 𝜐 ⟶  x ; y ; z  =  x 0 +ta; y 0 +tb; z 0 +tc 

Ecuaciones Paramétricas

z z t c y y t b x x t a          0 0 0 (^) Observación 𝜐=  a ; b ; c  se emplea para describir la dirección de L, los números a, b y c se llaman Números directores de L

Ejemplo:

𝐸𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟 𝑢𝑛𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎𝑙 𝑦 𝑙𝑎𝑠 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 que pasa por el p𝑢𝑛𝑡𝑜  5 ; 1 ; 3  y es paralelo al vector i + 4 j – 2 k

v = i +4 j - 2 k y x z P 0 =(5; 1; 3)

Ejemplo:

1. Encontrar la ecuación paramétrica de la recta que pasa por ( 1 ,- 1 , 3 ) y tiene la dirección del vector ( 1 ,- 2 ,- 1 ).
2. 𝐸𝑛𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎𝑠 𝑦 𝑠𝑖𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 que pasa 𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑣é𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝐴  2 , 4 , - 3  y 𝐵  3 , - 1 , 1 . ¿En qué punto interseca esta recta en el plano xy?  y x z A =(2; 4; - 3) B =(3; - 1; 1)

Intersección entre rectas

• En el aula, miremos hacia arriba a la derecha y busquemos la línea de encuentro entre el cielo raso y la pared.
• Ahora miremos hacia delante y abajo e identifiquemos la línea que determinan el piso y esta otra pared. Ambas rectas no se cortan ni son tampoco paralelas.

Ecuación de la recta en el espacio

Recordar: La rectas oblicuas son aquellas que no son paralelas ni se intersecan. Ejemplo: 𝐷𝑒𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑠 𝐿 1 𝑦 𝐿 2 𝑠𝑜𝑛 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑠 𝑜𝑏𝑙í𝑐𝑢𝑎𝑠 𝐿 1 : ቐ 𝑥 = 1 + 𝑡 𝑦 = − 2 + 3 𝑡 𝑧 = 4 − 𝑡 𝐿 2 : ቐ 𝑥 = 2 𝑠 𝑦 = 3 + 𝑠 𝑧 = − 3 + 4 𝑠

Posiciones relativas de dos rectas

PLANO

La ecuación escalar del plano: a  x- x 0  +b  y- y 0  +c  z- z 0  = 0 Dado que tanto las componentes del vector 𝒏 como las coordenadas de Po son constantes , el resultado de a x 0 +b y 0 +c z 0 =d

Ecuación lineal

ax+by+cz=d

Ejercicios

1. Determine una ecuación del plano que pasa por el punto P( 2 ; 4 ; - 1 ) con un vector normal n =  2 ; 3 ; 4 
2. Halle la ecuación del plano determinado por los tres puntos A( 2 ; 1 ; – 1 ), B(– 2 ; 0 ; 3 ) y C( 1 ; 4 ; 0 ).

Intersección entre una recta y un plano Ejemplo: Encuentre el punto en el cual la recta L corta al plano 4 x+ 5 y- 2 z= 18 L:

PLANOS PARALELOS

Dos planos son paralelos : Si sus vectores normales son paralelos. P 1 //P 2 si n 1 //n 2 ⟶ 𝒏𝟏 = 𝒕𝒏𝟐 Dos planos no son paralelos : Si se cortan en una línea recta

cosθ =

𝒏 𝟏 .𝒏 𝟐 |𝒏 𝟏 ||𝒏 𝟐 | 𝜽 𝜽

PASOS PARA GRAFICAR EN GEOGEBRA CURVAS DE NIVEL

1. ABRIR GEOGEBRA

2. Nos Dirigimos a VISTA ( activamos hoja de cálculo y vista de gráfica em 3D)
3. Ingresamos la función en la barra de entrada
4. En la columna A de la hoja de cálculo ingresamos valores
5. En la columna B ingresamos la función despejando “y” (A es constante)
6. Seleccionamos la fila B, ir a propiedades, seleccionar objeto visible y darle un color determinado.
7. Copiamos la ecuación, en la fila C anteponiendo un signo negativo, seleccionamos la fila C, ir a propiedades, activamos objeto visible y le damos un color determinado.