Matemática Décimo Año: La Circunferencia, Apuntes de Matemáticas Orientadas a las Enseñanzas Académica

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MATEMÁTICA DÉCIMO AÑO

DIRECCIÓN REGIONAL SAN JOSÉ NORTE

CIRCUNFERENCIAS

LICDA. FLOR DEL MILAGRO CAMBRONERO VARGAS

CAPÍTULO 1:LA CIRCUNFERENCIA

1.1 Elementos de la circunferencia Radio: Es la distancia del centro a cualquier punto de la circunferencia. Diámetro: Es el segmento de recta que pasa por el centro de la circunferencia y une dos puntos opuestos de ella. Su medida es el doble del radio. Cuerda: Es el segmento que une dos puntos opuestos de la circunferencia, se dice que el diámetro es la cuerda de mayor tamaño. O = centro de la circunferencia AB (^) = Diámetro de la circunferencia MP (^) = Cuerda Centro = Es el punto que se encuentra a la misma distancia de cada uno de los puntos que componen la circunferencia. Por lo general, el centro de la circunferencia se indica con O. M P A (^) O B

Ejercicios Indique el centro, el radio y el diámetro de las siguientes circunferencias

Centro _______ Radio ____Diámetro______

Centro ______________ Radio _______________ Diámetro__________

Centro ______________ Radio _______________ Diámetro___________

Centro ______________ Radio _______________ Diámetro___________

Centro ______________ Radio _______________ Diámetro___________

Se puede ver que el punto A = (2,3) se encuentra en el interior de la circunferencia. El punto B= (-4,-1) se encuentra en el exterior de la circunferencia, y el punto C (- 5,4) pertenece a la circunferencia.

Ejercicios:

1. Para la figura adjunta conteste las siguientes preguntas: a) ¿En cuál punto se encuentra el centro de la circunferencia? b) ¿Cuánto mide el radio de la circunferencia? b) Para los siguientes puntos indique si son interiores, exteriores o pertenecen a la circunferencia. (3,1) (1,1) (-2,-2) (1,-1) (0,0) (-3, -2)

1.2.2 Las rectas y la circunferencia Recta secante a la circunferencia : Es la recta que corta en dos puntos a la circunferencia Se puede ver que la recta y = x + 1 es secante a la circunferencia. Lo importante es saber graficar cada recta. Para graficar y = x+1, se le dan valores a “x” y se encuentra el valor de “y” y = x + 1 De esta manera se puede ver que la recta y = x+1, pasa por los puntos (-1,0) (0,1) (1,2) (2,3) x -1 0 1 2 y 0 1 2 3

Recta Tangente a la circunferencia: Es la recta que corta a la circunferencia en un punto. Lo cual quiere decir que la recta y la circunferencia tienen un punto común. Se puede ver que la recta x = 4 es tangente a la circunferencia. En este caso si la recta es x = 4 no importa el valor de “y”, siempre el valor de “x” es 4. x 4 4 4 4 y -1 0 1 2

Ejercicios

1. Considere la figura adjunta pera resolver los siguientes ejercicios a) El centro de la circunferencia se encuentra en el punto ________________ b) Indique si la recta x=3 es secante, tangente o exterior a la circunferencia___________ c) Indique si la recta y=x es secante, tangente o exterior a la circunferencia___________ d) Indique si la recta y= -3 es secante, tangente o exterior a la circunferencia___________

2. Considere la siguiente figura para realizar los siguientes ejercicios a) El centro de la circunferencia se encuentra en el punto ________________ b) Indique si la recta y=1 es secante, tangente o exterior a la circunferencia___________ c) Indique si la recta y=5 es secante, tangente o exterior a la circunferencia___________ d) Indique si la recta x= -6 es secante, tangente o exterior a la circunferencia___________

Ejercicios

1. Determine la ecuación de la circunferencia en cada caso. a) Centro (-6,8) radio 9 b) Centro (-1,-1) radio 6 c) Centro (0,0) radio 8 d) Centro (0,3) radio 15 e) Centro (4,0) radio 20 o Primero hay que buscar el centro de la circunferencia. El centro está ubicado en el punto (-3,2), y el radio es 4. Por lo tanto, la ecuación está dada por: (x+3)^2 + (y-2)^2 = 4^2 (x+3)^2 + (y-2)^2 = 16

2. Para cada una de las ecuaciones de las circunferencias determine el centro, el

• f) Centro (-2, 5) diámetro
• g) Centro (-7,9) diámetro
• a) (x-2)^2 + (y-3)^2 = radio y el diámetro.
• b) (x-1)^2 + (y+2)^2 =
• c) (x-6)^2 + y^2 =
• d) x^2 + (y-1)^2 =
• e) x^2 + y^2 =

R/ El centro de la circunferencia está en el punto (-1,3) si se le aplica la traslación (-3,-2) entonces el nuevo centro está dado por (-1 – 3, 3 – 2) = (-4,1), como el radio no varía con la traslación, la ecuación de la circunferencia trasladada sería (x + 4) 2

• (y – 1) 2 = 16.

2. La circunferencia de la figura, se traslada 4 unidades hacia arriba y 2 unidades hacia la izquierda, determine la ecuación de la circunferencia trasladada. Ejercicios:
3. Se tiene la circunferencia (x – 1)^2 + (y + 3)^2 = 10, ¿cuál es la ecuación si se traslada 5 unidades a la derecha y 7 unidades hacia arriba. El centro de la circunferencia está en el punto (2,0) si se traslada 2 unidades a la izquierda y 4 unidades hacia arriba se obtiene (2 2, 0 + 4) = (0,4) Como el radio es 3, se obtiene (x – 0)^2 + (y – 4)^2 = 3^2 x^2 + (y – 4)^2 = 9

2. Se tiene la circunferencia (x +3)^2 + (y  3)^2 = 25, ¿cuál es la ecuación si se traslada 1 unidad a la izquierda y 5 unidades hacia abajo.
3. Se tiene la circunferencia (x +3) 2 + (y  3) 2 = 25, ¿cuál es la ecuación si se traslada 1 unidad a la izquierda y 5 unidades hacia abajo?
4. Si el centro de la circunferencia (x – 3) 2 + y 2 = 64 se traslada siete unidades a la derecha y cuatro unidades hacia abajo, determine la ecuación de la circunferencia trasladada.
5. Determine la ecuación de la circunferencia (x – 1)^2 + (y + 7)^2 = 49 si se le aplican los siguientes vectores de traslación.