Matem´
atica Discreta y ´
Algebra
Examen Final
10 de enero de 2015
COMENTARIOS:
(1) No se permite el uso de libros, apuntes, res´umenes, calculadoras.
(2) Las respuestas sin razonar se considerar´an no contestadas.
(3) Las preguntas del Control se pueden responder en el orden que se desee.
PRIMER CONTROL
(1) (2,5 puntos). Sean B3={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}la base can´onica de R3,B=
{(2,2,−2),(0,1,2),(1,2,2)}, y funa aplicaci´on lineal de R3aR3cuya matriz
asociada es
MB3
B3(f) =
−3 5 0
2 4 2
5−2 5
.
Comprobar que Bes una base de R3y obtener MB
B(f).
(Observaci´on: En este ejercicio, si hubiera que obtener la inversa de alguna matriz
o multiplicar matrices, se puede dejar indicado.)
(2) (1,25 puntos). Resolver por el m´etodo de Gauss el siguiente sistema:
x+3y−5z+4t=−2
−3x−2y+6z−9t= 8
4x−9y+7z+7t=−14
.
(3) (1,25 puntos) Calcula una base de S={(x, y, z, t)∈R4|2x−z+t= 0, y −z= 0}.
SEGUNDO CONTROL
(4) (2,5 puntos). Se consideran las matrices
A1=(−5 9
−3 7 ), A2=(3 2
−1 1 ), A3=(3 0
1 3 ).
Para cada i= 1,2,3, encontar, si existe, una matriz Didiagonal y una matriz de
paso Pitales que Di= (Pi)−1AiPi.
(5) (1,25 puntos). Dado el sistema:
x≡4 mod 8
x≡amod 6
x≡ −1 mod 15
determinar todos los posibles valores del par´ametro a∈Zque hacen que el sistema
tenga soluci´on.
(6) (1,25 puntos). Sea Gun grafo simple con 100 nodos y con matriz de adyacencia
A=
1 0 1 0 1 0 . . . 1 0
0 1 0 1 0 1 . . . 0 1
. . . . . . . . . . .
1 0 1 0 1 0 . . . 1 0
0 1 0 1 0 1 . . . 0 1
.
Estudiar si Ges euleriano y hamiltoniano.