Primer parcial de MDA. Grado en Ingenier´ıa Inform´atica. 4 de noviembre de 2016
1. (2 puntos + 1 extra) La baraja francesa consta de 52 cartas, 13 de cada palo: corazones, diamantes,
picas y tr´eboles. De las 13 cartas de cada palo, diez de ellas est´an n´umeradas del 1 al 10, y otras tres
se denominan figuras, llamadas J, Q, K. Las cartas numeradas con el 1 se denominan ases. En una
partida de bridge, que se juega con esta baraja, hay 4 jugadores. Cada uno de ellos recibe una mano
inicial formada por 13 cartas repartidas al azar.
a) ¿Cu´antas manos inciales diferentes puede recibir un jugador?
b) Una vez comienza la partida, cada jugador va jugando sus cartas en orden, de una en una. Dada
una mano inicial fija, ¿de cu´antas formas diferentes puede jugarse?
c) De las manos iniciales del apartado a), ¿cu´antas de ellas contienen exactamente 3 cartas de cora-
zones?
d) De las manos iniciales del apartado a), ¿cu´antas de ellas contienen al menos una figura?
e) (M´as dif´ıcil, 1 punto extra) De las manos iniciales del apartado a), ¿cu´antas de ellas contienen a
la vez al menos una carta de picas y al menos un as?
2. a) (0,5 puntos) Utiliza el algoritmo de Euclides para calcular el m´aximo com´un divisor de 7 y 16 y
para proporcionar una identidad de Bezout entre estos dos n´umeros.
b) (0,75 puntos) Halla todas las soluciones enteras de la ecuaci´on 7x≡3 m´od 16.
c) (0,75 puntos) De las soluciones de la ecuaci´on del apartado anterior, halla todas aquellas mayores
que 200 y cuya ´ultima cifra (expresando los n´umeros en base 10) sea igual a 1.
3. (2 puntos) Sea V6={−→
0}un espacio vectorial de dimensi´on finita sobre un cuerpo K. Sean u1, u2, . . . , un
vectores de V. Proporciona definiciones de los siguientes conceptos:
a)u1, u2, . . . , unson linealmente independientes.
b)u1, u2, . . . , unson linealmente dependientes.
c)L{u1, u2, . . . , un}.
d)u1, u2, . . . , unson sistema de generadores de V.
e)u1, u2, . . . , unson base de V.
f) Dimensi´on de V.
4. (2 puntos) Determina justificadamente, en cada caso, si Hes subespacio vectorial de V. El cuerpo
considerado siempre es K=R. Puedes usar libremente los resultados te´oricos vistos en clase.
a)H={(x, y, z)|x(y+z) = 0} ⊆ V=R3
b)H={at3+bt2+at +bt +a−b|a, b ∈R} ⊆ V=R3[t]
c)H= a b
a+b0|a, b ∈R;a≥0; b≤0⊆V=M2×2(R)
5. Considera H={(x, y, z)|x+y+z= 0} ⊆ V=R3. El cuerpo considerado es K=R.
a) (0,5 puntos) Demuestra que Hes subespacio vectorial utilizando un resultado te´orico.
b) (1,5 puntos) Considera los conjuntos:
B1={(1,1,−2),(0,−1,1)}
B2={(1,1,−2),(2,2,−4)}
B3={(1,1,−2)}
B4={(1,1,−2),(2,2,−4),(0,−1,1)}
B5={(1,0,0),(0,−1,1)}
Determina, razonadamente, cu´ales son y cu´ales no son base de H. Puedes usar libremente los
resultados te´oricos vistos en clase.