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matematica discreta 2, Apuntes de Matemática Discreta

Universidad Andina del Cusco (UAC)Matemática Discreta

guia de aplicacion sobre matematica discreta 1

Tipo: Apuntes

2019/2020

Subido el 14/11/2020

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UNIVERSIDAD ANDINA DEL CUSCO
FACULTAD DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA
ESCUELA PROFESIONAL INGENIERÍA DE SISTEMAS
ACREDITADA POR ICACIT
1
GUIA DE APLICACIÓN Nº 04
Funciones de conjuntos
I. DATOS INFORMATIVOS
1.1. Nombre de la asignatura : Matemática Discreta
1.2. Semestre Académico : 2020-II
1.3. Ciclo de estudios : III
1.4. Área curricular : EBE
1.5. Nombre del docente : Ing. Yessenia Bernales Guzmán
1.6. Objetivos Educacionales : OEP1
1.7. Resultados del Estudiante : RE (a) = 1
1.8. Indicadores de Desempeño : A3
II. COMPETENCIAS A CONSEGUIR
Plantea alternativas de solución a problemas aplicando lógica matemática y pensamiento
computacional, así como el pensamiento sistémico.
III. CAPACIDADES
Aplica los fundamentos lógicos y matemáticos para la solución de problemas.
IV. MARCO TEÓRICO
FUNCION
Una función es una regla de asociación que relaciona dos o más conjuntos entre sí.
Generalmente cuando tenemos la asociación de dos conjuntos la función se define como una
regla de asociación entre un conjunto llamado dominio con uno llamado codominio, también
dominio e imagen respectivamente o dominio y rango.
Esta regla de asociación no permite relacionar un mismo elemento del dominio con dos
elementos del codominio.
Toda función es una relación, pero no necesariamente toda relación es función.
En toda función, el DOMINIO es igual al CONJUNTO DE PARTIDA. El elemento “y”
de B es el valor de f en "x" y se denota f(x) (notación que se lee como "f de x").
FUNCIONES SEGÚN TIPO DE APLICACIÓN
Dados dos conjuntos X y Y, podemos clasificar a todas las funciones definidas entre ellas en:
• Función inyectiva
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UNIVERSIDAD ANDINA DEL CUSCO FACULTAD DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA ESCUELA PROFESIONAL INGENIERÍA DE SISTEMAS ACREDITADA POR ICACIT 1

GUIA DE APLICACIÓN Nº 04

Funciones de conjuntos I. DATOS INFORMATIVOS 1.1. Nombre de la asignatura : Matemática Discreta 1.2. Semestre Académico : 20 20 - II 1.3. Ciclo de estudios : III 1.4. Área curricular : EBE 1.5. Nombre del docente : Ing. Yessenia Bernales Guzmán 1.6. Objetivos Educacionales : OEP 1.7. Resultados del Estudiante : RE (a) = 1 1.8. Indicadores de Desempeño : A II. COMPETENCIAS A CONSEGUIR Plantea alternativas de solución a problemas aplicando lógica matemática y pensamiento computacional, así como el pensamiento sistémico. III. CAPACIDADES Aplica los fundamentos lógicos y matemáticos para la solución de problemas. IV. MARCO TEÓRICO FUNCION Una función es una regla de asociación que relaciona dos o más conjuntos entre sí. Generalmente cuando tenemos la asociación de dos conjuntos la función se define como una regla de asociación entre un conjunto llamado dominio con uno llamado codominio, también dominio e imagen respectivamente o dominio y rango. Esta regla de asociación no permite relacionar un mismo elemento del dominio con dos elementos del codominio. Toda función es una relación, pero no necesariamente toda relación es función. En toda función, el DOMINIO es igual al CONJUNTO DE PARTIDA. El elemento “ y” de B es el valor de f en " x " y se denota f(x) (notación que se lee como " f de x " ). FUNCIONES SEGÚN TIPO DE APLICACIÓN Dados dos conjuntos X y Y, podemos clasificar a todas las funciones definidas entre ellas en:

  • Función inyectiva

UNIVERSIDAD ANDINA DEL CUSCO FACULTAD DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA ESCUELA PROFESIONAL INGENIERÍA DE SISTEMAS ACREDITADA POR ICACIT 2

  • Función sobreyectiva
  • Función biyectiva FUNCIÓN INYECTIVA Aquellas en que a cada rango le corresponde un único origen. Formalmente, o lo que es lo mismo, Se le conoce también con el nombre de “función uno a uno”. Una función es inyectiva si cada f(x) en el recorrido es la imagen de exactamente un único elemento del dominio. En otras palabras, de todos los pares (x,y) pertenecientes a la función, las “y” no se repiten. Para determinar si una función es inyectiva, graficamos la función por medio de una tabla de pares ordenados. Luego trazamos líneas horizontales para determinar si las “y” (las ordenadas) se repiten o no. Ejemplo
  • La función f = { (1,b); );(2,c);(3,a) } Si X = {1,2,3 }, Y = { a, b, c, d } X Y Se dice que la función es inyectiva FUNCIÓN SOBREYECTIVA
  • Aquellas en que la aplicación es sobre todo el codominio, es decir, cuando el conjunto imagen = Y. Esto significa que todo elemento del codominio tiene un origen. Formalmente,
  • Estas funciones también se conocen como “función exhaustivas o epiyectivas”.
  • A elementos diferentes en un conjunto de partida le corresponden elementos iguales en un conjunto de llegada. Es decir, si todo elemento R es imagen de algún elemento X del dominio.
  • La función f = { (1,a);(2,b);(3,c) } Si X = { 1,2,3 }, Y = { a, b, c } X Y

UNIVERSIDAD ANDINA DEL CUSCO FACULTAD DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA ESCUELA PROFESIONAL INGENIERÍA DE SISTEMAS ACREDITADA POR ICACIT 4 a. Escriba el dominio y co-dominio de f. b. Hallar f(a), f(b) y f(c). c. Cuál es el rango de f? d. c es la imagen inversa de 2? e. b es la imagen inversa de 3? f. Encuentra las imágenes inversas de 2, 4 y 1. g. Represente f como un conjunto de pares ordenados Solución: a. Dominio de f = {a, b, c}, co-dominio de f = {2,4} b. f(a) = 2, f(b) = 4 y f(c) = 2. c. Rango de f = {2, 4} d. Si e. No f. Imagen inversa de 2 = {a, c} Imagen inversa de 4 = {b} Imagen inversa de 1 no tiene g. f = {(a, 2 ), (b, 4 ), (c, 2 )}

  1. ¿Cuál de los siguientes diagramas define funciones de X = {a, b, c} en Y = {1, 2, 3, 4}

Solución Solo (c) define una función. En (a) existe un elemento de X, concretamente b, que no tiene correspondencia en Y. en (b) el elemento c no se corresponde con un único elemento en Y.

  1. Sea f: Z → Z definida como f(x) = 3x + 4. Pruebe que f es inyectiva Solución: Suponga f (x) = f (y), entonces 3 x+ 4 = 3 y+4. Restando 4 de ambos lados tenemos 3 x= 3 y. Dividiendo ambos lados por 3 obtenemos x = y. por lo tanto f es inyectiva.
  2. Escriba un programa que represente funciones definidas por el usuario mediante pares ordenados y verifique que estas sean efectivamente funciones. static void Main(string[] args) { //Variables int x; int x,y; int nroPares; int i=0; int j=0; int [,] tablaFuncion; bool repetido = false; //Indicar que hace el programa Console.WriteLine("Este programa procesa funciones representadas tabularmente"); //Leer datos do { Console.Write("Ingrese el numero de pares (x,y):"); nroPares = int.Parse(Console.ReadLine()); } while (nroPares < 1); tablaFuncion = new int[2, nroPares]; for(i=0;i<tablaFuncion.GetLength(1);i++) { Console.Write ("Ingrese X{0}: ",i); x=int.Parse (Console.ReadLine()); Console.Write ("Ingrese Y{0}: ",i); y=int.Parse (Console.ReadLine()); tablaFuncion [0,i]=x; tablaFuncion [1,i]=y; } //Validar Funcion for(i=0;i<tablaFuncion.GetLength(1)-1;i++) for(j=i+1;j<tablaFuncion.GetLength(1);j++) if(tablaFuncion [0,i] == tablaFuncion [0,j]) repetido = true ; //Mostrar resultados for(i=0;i<tablaFuncion.GetLength(1);i++) {

a) f º g como un conjunto de pares ordenados b) Realice un diagrama sagital Actividad 6 Dada la función f(x)= x^2 - 1 , g(x)= (x+3)^2 /(x-1) y h(x)= 1/(x+2) a) Hallar f º g b) Hallar g º f c) Hallar g º h d) Hallar h º f VI. BIBLIOGRAFÍA

  • Johnsonbaugh R. (2005). Matemáticas Discretas. Sexta edición. Prentice Hall.
  • Acurio, M.I. (2013). Guía de aplicación N° 4 Funciones de Conjuntos. UAC
  • Carrasco, E. (2013). Guía de Laboratorio N° 4 Funciones. UAC

VII. FICHA DE CALIFICACIÓN

Ficha de calificación de la guía de aplicación Nº 04 Funciones de conjuntos Resultado que se trabaja en la guía de aplicación [a] Conocimientos de Computación: La capacidad de aplicar conocimientos de matemáticas, ciencias, computación y una especialidad de computación apropiados para los resultados del estudiante y la disciplina del programa. Indicadores A3. Plantea alternativas de solución a problemas aplicando lógica matemática y pensamiento computacional, así como el pensamiento sistémico. Nivel de Logro en la asignatura^1 -^ Comprende Apellidos y nombres………………..…………………………………………………………. Apellidos y nombres………………..………………………………………………………….. CRITERIOS E INDICADORES PUNTAJE PUNTAJE OBTENIDO ACTIVIDAD 1

  1. Determina si las relaciones son funciones de manera correcta.
  2. Sustenta si las relaciones son funciones de manera correcta. 2 2 ACTIVIDAD 2
    1. Determina los elementos de f de manera correcta.
    2. Determina si f es inyectiva, sobreyectiva o biyectiva de manera correcta.
    3. Sustenta si f es inyectiva, sobreyectiva o biyectiva de manera correcta. 1 1 2 ACTIVIDAD 3 1. Determina si f es inyectiva o no de manera correcta. 2. Sustenta si f es inyectiva de manera correcta. 1 1 ACTIVIDAD 4
    4. Determina si f es inyectiva, sobreyectiva o biyectiva de manera correcta. 2. Sustenta si f es inyectiva, sobreyectiva o biyectiva de manera correcta. 1 2 ACTIVIDAD 5
    5. Determina f º g como conjunto de pares ordenados de manera correcta. 2. Representa f º g en un diagrama sagital de manera correcta. 1 2 ACTIVIDAD 6
    6. Plantea f º g de manera correcta.
    7. Plantea g º f de manera correcta.
    8. Plantea g º h de manera correcta.
    9. Plantea h º f de manera correcta. 1 1 1 1 Fuente: Elaboración propia Firma de la docente ………………………………………