Matemática Discreta, álgebra, Apuntes de Matemáticas

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Matemática Discreta

ÍNDICE GENERAL v

• Prólogo
• Capítulo 1. Números Enteros
  • 1.1. Aritmética
  • 1.2. Ordenando los enteros
  • 1.3. Definiciones recursivas
  • 1.4. El principio de inducción
  • 1.5. Cociente y resto
  • 1.6. Divisibilidad
  • 1.7. El máximo común divisor y el mínimo común múltiplo
  • 1.8. Factorización en primos
  • 1.9. Ejercicios
• Capítulo 2. Funciones y conteo
  • 2.1. Funciones
  • 2.2. Funciones Suryectivas, Inyectivas y Biyectivas
  • 2.3. Conteo
  • 2.4. El Principio de las Casillas
  • 2.5. ¿Finito o Infinito?
  • 2.6. Ejercicios
• Capítulo 3. Principios de conteo
  • 3.1. Los principios de adición y multiplicación
  • 3.2. Funciones, palabras y selecciones
  • 3.3. Inyecciones como selecciones ordenadas sin repetición
  • 3.4. Números binomiales
  • 3.5. Selecciones desordenadas con repetición
  • 3.6. El teorema del binomio
  • 3.7. Ejercicios
• Capítulo 4. Aritmética Modular
  • 4.1. Congruencias
  • 4.2. Ecuación lineal de congruencia
  • 4.3. Teorema de Fermat iv ÍNDICE GENERAL
  • 4.4. El criptosistema RSA
  • 4.5. Ejercicios
• Capítulo 5. Grafos
  • 5.1. Grafos y sus Representaciones
  • 5.2. Isomorfismo de grafos
  • 5.3. Valencias
  • 5.4. Caminos y ciclos
  • 5.5. Árboles
  • 5.6. Coloreando los vértices de un grafo
  • 5.7. El algoritmo greedy para coloración de vértices
  • 5.8. Ejercicios
• Capítulo 6. Árboles
  • 6.1. Contando las hojas de un árbol con raíz
  • 6.2. Árboles expandidos y el problema MST
  • 6.3. Ejercicios
    • Más principios de conteo Capítulo 7. Apéndice I
  • 7.1. Contando conjuntos de pares
  • 7.2. El principio del tamiz
    • La función de Euler Capítulo 8. Apéndice II
  • 8.1. La función de Euler
  • 8.2. Una aplicación aritmética del principio del tamiz
    • Permutaciones Capítulo 9. Apéndice III
  • 9.1. Permutaciones
  • 9.2. Ejercicios
    • Grafos planares Capítulo 10. Apéndice IV
  • 10.1. Grafos Planares
  • 10.2. El problema del agua-luz-gas
  • 10.3. El teorema de los cuatro colores
    • Ejercicios adicionales Capítulo 11. Apéndice V
  • 11.1. Números enteros
  • 11.2. Funciones y conteo
  • 11.3. Combinatoria
  • 11.4. Congruencias
  • 11.5. Grafos y árboles
• Índice alfabético

Prólogo

Este cuadernillo tiene la intención de introducir a los alumnos en temas de matemática discreta. Esta basado en el libro Discrete Mathematics de N. L. Biggs, Oxford University Press,

1993. Tiene aportes de A. Tiraboschi y un apéndice de grafos planares escrito por D. Penazzi.

1

4 1. NÚMEROS ENTEROS

I7. Si a es distinto de 0 y ab = ac, entonces b = c. Todos los axiomas corresponden a propiedades familiares de los enteros que aprendemos en distintos niveles de nuestra educación matemática. De ellas pueden deducirse la mayoría de las reglas aritméticas comunes de los enteros. Por ejemplo, podemos definir la operación de sustracción diciendo que a − b es lo mismo que a + (−b); y deducir las reglas elementales para la sustracción como en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 1.1.1. Demuestre que para dos enteros m y n cualesquiera m − (−n) = m + n.

Demostración. Por la definición de sustracción, m − (−n) es lo sustracción que m + (−(−n)). Ahora del Axioma I6 nos dice que −(−n) es el único número que sumado a −n, da cero. Sin embargo n mismo cumple esto, puesto que

(−n) + n = n + (−n)(Axioma I2) = 0 (Axioma I6)

Por lo tanto −(−n) = n y m − (−n) = m + n , como queríamos demostrar. ¤

Algunos resultados similares pueden encontrarse en los siguientes ejercicios. Como aún no tenemos todos los axiomas correspondientes a los enteros, los resultados no son particularmente interesantes, pero lo que importa es recordar que pueden ser probados sobre la base única de los axiomas.

1.1.1. Ejercicios.

1. La siguiente es una demostración de la fórmula 0 x = 0 usando solo los axiomas plantea- dos antes. Escriba la demostración completa, explicando que axioma es usado en cada paso. x(0 + 0) = x 0 x0 + x0 = x 0 −x0 + (x0 + x0) = −x0 + x 0 (−x0 + x0) + x0 = 0 0 + x0 = 0 x0 = 0.
2. Construya una demostración de la regla (a + b)c = ac + bc, explicando cada paso como en el ejercicio 1.
3. Como siempre x^2 denota xx. Demuestre que dados dos enteros a y b, entonces existe un único c tal que (a + b)c = a^2 − b^2.

1.2. ORDENANDO LOS ENTEROS 5

4. Suponga que existen dos enteros 0 y 0 ′^ ambos cumpliendo el Axioma I4, esto es a + 0 = a, a + 0′^ = a para todo a de Z. Demuestre que esto implica 0 = 0′, por lo tanto 0 está en realidad caracterizado de manera única por el Axioma I4.

1.2. Ordenando los enteros El orden natural de los enteros es tan importante como sus propiedades aritméticas. Desde el comienzo aprendemos los números en el orden 1,2,3,4,5, y el hecho de que 4 es “mayor” que 3 se convierte en algo de importancia práctica para nosotros. Expresamos esta idea formalmente diciendo números existe una relación de orden en Z:

m ≤ n (m, n ∈ Z),

que debe satisfacer ciertos axiomas. Solo cinco axiomas se necesitan para especificar las propiedades básicas del símbolo ≤ , y ellos son listados en lo que sigue. La numeración de los axiomas se continúa de la sección 1.1. Como antes, a, b y c denotan enteros arbitrarios.

I8. a ≤ a. I9. Si a ≤ b y b ≤ a, entonces a = b. I10. Si a ≤ b y b ≤ c, entonces a ≤ c. I11. Si a ≤ b, entonces a + c ≤ b + c. I12. Si a ≤ b y 0 ≤ c, entonces ac ≤ bc. Estos axiomas no aportan mucho de nuevo, pues encierran propiedades muy familiares; lo importante es que nos permiten deducir otros hechos igualmente familiares. Con esto en mente, los siguientes ejercicios deberían ser resueltos usando solo las propiedades contenidas en los Axiomas I1–I12.

1.2.1. Ejercicios.

1. Supongamos a ≤ b. Sumando −a y luego −b a ambos lados de la desigualdad, demuestre que −b ≤ −a. Deduzca que a ≤ b y c ≤ 0 , entonces bc ≤ ac.
2. Demuestre que 0 ≤ x^2 para todo x en Z y deduzca que 0 ≤ 1.
3. Deduzca del ejercicio previo que n ≤ n + 1 para todo n en Z. Esta claro que podemos definir los otros símbolos de orden ≥, < y >, en términos del símbolo ≤. Por ejemplo, m > n debe definirse n ≤ m y m 6 = n. Usaremos estos símbolos cuando la situación lo requiera. A primera vista podría parecer que ya tenemos todas las propiedades que necesitamos de Z, pero sorprendéntemente, aún falta un axioma de vital importancia. Supongamos que X es un subconjunto de Z; entonces diremos que el entero b es una cota inferior de X si

b ≤ x para todo x ∈ X.

1.3. DEFINICIONES RECURSIVAS 7 análisis, los procesos de límite son de fundamental importancia, y es preciso usar aquellos sistemas numéricos que son continuos, en vez de los discretos. 1.2.2. Ejercicios. (continuación)

1. En cada uno de los siguientes casos diga si el conjunto X tiene o no una cota inferior, y si la tiene, encuentre el mínimo. (i) X = {x ∈ Z|x^2 ≤ 16 }. (ii) X = {x ∈ Z|x = 2y para algún y ∈ Z}. (iii) X = {x ∈ Z|x ≤ 100 x}.
2. Un subconjunto Y de Z se dice que tiene una cota superior c si c ≥ y para todo y ∈ Y. Una cota superior que además es un elemento de Y es llamada el máximo de Y. Use el Axioma I13 para demostrar que si Y es no vacío y tiene una cota superior, entonces tiene máximo. [Ayuda: aplique el axioma al conjunto cuyos elementos son −y (y ∈ Y ).]
3. Los enteros n que satisfacen 1 ≤ n ≤ 25 están acomodados en forma arbitraria en un arreglo cuadrado de cinco filas y cinco columnas. Se selecciona el máximo de cada fila, y se denota s al mínimo entre ellos. De manera similar, el mínimo de cada columna es seleccionado y t denota al máximo entre ellos. Demuestre que s ≥ t y de un ejemplo en el cual s 6 = t.

1.3. Definiciones recursivas Sea N el conjuntos de enteros positivos, esto es N = {n ∈ Z|n ≥ 1 },

y denotemos N 0 el conjunto N ∪ { 0 }, esto es

N 0 = {n ∈ Z|n ≥ 0 }.

Si X es un subconjunto de N (o de N 0 ) entonces automáticamente tiene una cota inferior, pues cada elemento x de X satisface x ≥ 1 (o x ≥ 0 ). Así, en este caso el axioma del buen orden toma la forma si X es un subconjunto no vacío de N o N 0 entonces X tiene un mínimo. Esta la forma más usada en la práctica. Nuestro primer uso del axioma del buen orden será para justificar un procedimiento muy usual. Frecuentemente encontramos una expresión de la forma un, donde n indica cualquier entero positivo: por ejemplo, podríamos tener un = 3n + 2, o un = (n + 1)(n + 2)(n + 3). En estos ejemplos un es dado por una fórmula explícita y no existe dificultad en explicar como calcular un cuando se nos da un valor específico para n. Sin embargo en muchos casos no conocemos una fórmula para un; es más, nuestro problema puede ser encontrarla. En estos casos pueden darnos

8 1. NÚMEROS ENTEROS

ciertos valores de un para enteros positivos n pequeños, y una relación entre el un general y algunos de los ur con r < n. Por ejemplo, supongamos nos es dado

u 1 = 1, u 2 = 2, un = un− 1 + un− 2 (n ≥ 3).

Para calcular los valores de un para todo n de N podemos proceder como sigue:

u 3 = u 2 + u 1 = 2 + 1 = 3 , u 4 = u 3 + u 2 = 3 + 2 = 5 , u 5 = u 4 + u 3 = 5 + 3 = 8 ,

y así siguiendo. Éste es un ejemplo de una definición recursiva. Es “obvio” que el método dará un valor único de un para todo entero positivo n. Pero hablando estrictamente necesitamos el axioma del buen orden para justificar la conclusión a través de las siguientes líneas. Supongamos que existe un entero positivo n para el cual un no está definido de manera única. Entonces por el axioma del buen orden existe un entero positivo mínimo m con esta propiedad. Como u 1 y u 2 están explícitamente definidos, m no es 1 o 2 y la ecuación um = um− 1 + um− 2 es aplicable. Por la definición de m, um− 1 y um− 2 están definidos de manera única, y la ecuación nos da un valor único para um , contrariamente a la hipótesis. La contradicción surge de suponer que no está bien definido para algún n, y por lo tanto esta suposición debe ser falsa. El lector no debe desanimarse por el uso de argumentos tan retorcidos para establecer algo que es “obviamente” verdadero. En primer lugar, no debemos usar resultados ilegítimamente (sin demostrarlos), y en segundo lugar, el hecho de que el resultado sea “obvio” simplemente indica que estamos trabajando con la correcta representación mental de N y Z. Una vez que hemos establecido esa representación sobre bases firmes podemos empezar a extendernos y obtener resultados que no sean tan “obvios”. El método de definición recursiva aparecerá bastante seguido en el resto del libro. Existen otras formas de este procedimiento que se “esconden” por su notación. ¿Qué significan las sigu- ientes expresiones? ∑n r=

2 r − 1 , 1 + 3 + 5 + · · · + (2n − 1).

Claramente no basta decir que uno significa lo mismo que el otro, porque cada uno contiene un misterioso símbolo,

y · · · , respectivamente. Lo que deberíamos decir es que cada uno de ellos es equivalente a la expresión sn, dada por la siguiente definición recursiva:

s 1 = 1, sn = sn− 1 + (2n − 1) (n ≥ 2). Esto hace ver claro que ambos símbolos misteriosos son, en realidad, una forma de acortar una definición recursiva, y que por lo tanto son expresiones definidas para todo n en N. Ideas similares pueden aplicarse a la definición de productos tal como n! (que se lee n facto- rial). Si decimos que n! = Πni=1i, o n! = 1 × 2 × 3 × · · · × n,

10 1. NÚMEROS ENTEROS

Podemos usar esto para simplificar la expresión definida recursivamente a la izquierda cuando n es igual a k + 1,

1 + 3 + 5 + · · · + (2k + 1) = 1 + 3 + 5 + · · · + (2k − 1) + (2k + 1) = k^2 + (2k + 1) = (k + 1)^2.

Por lo tanto si el resultado es correcto cuando n = k, entonces lo es cuando n = k+1. Se comienza observando que si es correcto cuando n = 1, debe ser por lo tanto correcto cuando n = 2. Con el mismo argumento como es correcto cuando n = 2 debe serlo cuando n = 3. Continuando de esta forma veremos que es correcto para todos los enteros positivos n. La esencia de este argumento es comúnmente llamada principio de inducción. Es una técnica poderosa, fácil de aplicar y la aplicaremos frecuentemente. Pero primero debemos examinar sus bases lógicas y para hacerlo necesitamos una formulación más general. Con S denotemos al subconjunto de N para el cual el resultado es correcto: por supuesto, nuestra intención es probar que S es todo N. El primer paso es probar que 1 pertenece a S, y luego demostraremos que si k pertenece a S, también k + 1. Entonces lo pensamos paso a paso y concluimos que S = N. Afortunadamente el pensarlo paso a paso no es esencial, debido a que el principio de inducción es consecuencia de los axiomas que elegimos tan cuidadosamente para Z y N. Más específicamente es consecuencia del axioma del buen orden.

Teorema 1.4.1. Supongamos que S es un subconjunto de N que satisface las condiciones (i) 1 ∈ S, (ii) para cada k ∈ N, si k ∈ S entonces k + 1 ∈ S.

Entonces se sigue que S = N.

Demostración. Si la conclusión es falsa, S 6 = N y el conjunto complementario Sc^ definido por

Sc^ = {r ∈ N|r 6 ∈ S}

es no vacío. Por el axioma del buen orden, Sc^ tiene un menor elemento m. Como 1 pertenece a S, m 6 = 1. Se sigue que m − 1 pertenece a N y como m es el mínimo de Sc, m − 1 debe pertenecer a S. Poniendo k = m − 1 en la condición (ii), concluimos que m esta en S, lo cual contradice el hecho de que m pertenece a Sc. De este modo, la suposición S 6 = N nos lleva a un absurdo, y por lo tanto tenemos S = N. ¤

En la práctica, generalmente presentamos una “demostración por inducción” en términos más descriptivos. El hecho de que el resultado es verdadero cuando n = 1 se llama base de la inducción y la suposición de que es verdadero cuando n = k es llamada hipótesis inductiva. Cuando se utilizan estos términos, no es necesario introducir explícitamente el conjunto S.

1.4. EL PRINCIPIO DE INDUCCIÓN 11 Ejemplo 1.4.1. El entero xn esta definido recursivamente por x 1 = 2, y xn = xn− 1 + 2n (n ≥ 2).

Demuestre que xn = n(n + 1) para todo n ∈ N.

Demostración. (Base de la inducción) El resultado es verdadero cuando n = 1 pues 2 = 1 × 2. (Hipótesis inductiva) Supongamos que el resultado verdadero cuando n = k, o sea, xk = k(k + 1). Entonces xk+1 = xk + 2(k + 1) por la definición recursiva = k(k + 1) + 2(k + 1) por hipótesis inductiva = (k + 1)(k + 2).

Luego el resultado es verdadero cuando n = k + 1 y por el principio de inducción, es verdadero para todos los enteros positivos n. ¤

Existen varias formas modificadas del principio de inducción. A veces es conveniente tomar como base inductiva el valor n = 0, por otro lado puede ser apropiado tomar un valor como 2 o 3 porque los primeros casos pueden ser excepcionales. Cada problema debe ser tratado según sus características. Otra modificación útil es tomar como hipótesis inductiva la suposición de que el resultado es verdadero para todos los valores n ≤ k, más que para n = k solamente. (Esta formulación es llamada a veces el principio de inducción completa.) Todas esas modificaciones pueden justificarse con cambios triviales en la demostración del Teorema 1.4.1, como se indica en el ejercicio 6.

1.4.1. Ejercicios.

1. Use el principio de inducción para demostrar que 12 + 2^2 + · · · + n^2 =^16 n(n + 1)(2n + 1) para todos los enteros positivos n.
2. Haga una tabla de valores de Sn = 1^3 + 2^3 + · · · + n^3 para 1 ≤ n ≤ 6. Basándose en su tabla sugiera una fórmula para Sn. [Ayuda:los valores de Sn son cuadrados perfectos.] Use el principio de inducción para establecer que la fórmula es correcta para todo n ≥ 1. (Si el método falla ¡su fórmula es equivocada!)
3. Use el principio de inducción completa para demostrar que si un está definido recursi- vamente por u 1 = 3, u 2 = 5, un = 3un− 1 − 2 un− 2 (n ≥ 3), entonces un = 2n^ + 1 para todo entero positivo n.

1.5. COCIENTE Y RESTO 13

demuestra que a ∈ R, mientras que si a < 0 la igualdad

a = ba + (1 − b)a

demuestra que (1 − b)a ∈ R (En ambos casos es necesario controlar que el elemento es no negativo.) Ahora, como R es un subconjunto no vacío de N 0 , tiene un mínimo r, y como r esta en R se sigue que a = bq + r para algún q en Z. Además

a = bq + r ⇒ a = b(q + 1) + (r − b)

de manera que si r ≥ b entonces r − b esta en R. Pero r − b es menor que r, contradiciendo la definición de r como el menor elemento de R. Como la suposición r ≥ b nos lleva a una contradicción, solo puede ocurrir que r < b, como queríamos demostrar. ¤

Es fácil ver que el cociente q y el resto r obtenidos en el teorema son únicos. Supongamos que q′^ y r′, también satisfacen las condiciones, esto es

b = bq′^ + r′^ y 0 ≤ r′^ < b.

Si q < q′, entonces q − q′^ ≥ 1 , entonces tenemos

r′^ = a − bq′^ = (a − bq) + b(q − q′) ≥ r + b.

Como r + b ≥ b, se sigue que r′^ ≥ b contradiciendo la segunda propiedad de r′. Por lo tanto la suposición q′^ < q es falsa. El mismo argumento con q y q′^ intercambiados demuestra que q < q′ también es falsa. Entonces debemos tener q = q′, y en consecuencia r = r′,puesto que

r = a − bq = a − bq′^ = r′.

Una consecuencia importante del Teorema 1.5 es que justifica nuestro método usual de repre- sentación de enteros. Sea t ≥ 2 un número entero, llamado base para los cálculos. Para cualquier entero positivo x tenemos, por la aplicación repetida del Teorema 1.5,

x = tq 0 + r 0 q 0 = tq 1 + r 0 · · · qn− 2 = tqn − 1 + rn− 1 qn− 1 = tqn + rn.

Aquí cada resto es uno de los enteros 0 , 1 ,... , t − 1 , y paramos cuando qn = 0.Eliminando los cocientes qi obtenemos

x = rnxn^ + rn− 1 xn−^1 + · · · + r 1 t + r 0.

14 1. NÚMEROS ENTEROS

Hemos representado x (con respecto a la base t) por la secuencia de los restos, y escribimos x = (rnrn− 1... r 1 r 0 )t. Convencionalmente t = 10 es la base para los cálculos hechos “a mano” y omitimos ponerle el subíndice, entonces tenemos la notación usual

1984 = (1 × 103 ) + (9 × 102 ) + (8 × 10) + 4.

Esta notación posicional requiere símbolos solo para los enteros 0 , 1 ,... , t − 1 .La base t = 2 es particularmente adaptable para los cálculos en computadoras porque los símbolos 0 y 1 pueden representarse físicamente por la ausencia o presencia de un pulso de electricidad o luz.

Ejemplo 1.5.1. ¿Cuál es la representación en base 2 de (109) 10? Demostración. Dividiendo repetidamente por 2 obtenemos 109 = 2 × 54 + 1 54 = 2 × 27 + 0 27 = 2 × 13 + 1 13 = 2 × 6 + 1 6 = 2 × 3 + 0 3 = 2 × 1 + 1 1 = 2 × 0 + 1

Por lo tanto (109) 10 = (1101101) 2. ¤ 1.5.1. Ejercicios.

1. Encuentre q y r que satisfagan el Teorema 1.5 cuando (i) a = 1001, b = 11; (ii) a = 12345, b = 234.
2. Encuentre las representaciones de (1985) 10 en base 2, en base 5 y en base 11.
3. Encuentre las representación usual (base 10) de (i) (11011101) 2 ; (ii)(4165) 7.

1.6. Divisibilidad Dados dos enteros x e y decimos que y es un divisor de x, y escribimos y|x, si x = yq para algún q ∈ Z.

También decimos que y es un factor de x, que y divide a x, que x es divisible por y, y que x es múltiplo de y.