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Matemática - EL MAESTRO EN CASA
DISTRIBUCIÓN SEGÚN HABILIDADES Y CONOCIMIENTOS ÁREA 1: RELACIONES Y ÁLGEBRA
CONOCIMIENTOS HABILIDADES ESPECÍFICAS
Funciones
t Función cuadrática
- Identificar situaciones dadas que pueden ser expresadas algebraicamente en la forma y = ax^2 + bc + c.
- Representar tabular, algebraica y gráfica- mente una función cuadrática.
Expresiones algebraicas
t Factorización
t División de polinomios
t Operaciones con expresiones algebraicas fraccionarias.
t Racionalización.
- Factorizar y simplificar expresiones alge- braicas.
- Expresar x^2 + px + q como (x + h)^2 + k.
- Efectuar división de polinomios.
- Efectuar operaciones con expresiones algebraicas fraccionarias.
- Racionalizar el denominador o numerador de expresiones algebraicas.
Ecuaciones
t Ecuaciones de segundo grado con una incógnita
- Raíces
- Discriminante
- Plantear y resolver problemas utilizando ecuaciones de segundo grado con una incógnita.
- Resolver ecuaciones que se reducen a ecuaciones de segundo grado con una incógnita.
Funciones
t Función cuadrática
- Trazar la gráfica de una función cuadrá- tica cuyo criterio es y = ax^2 + bx + c.
- Analizar la influencia de los parámetros a, b, c en la gráfica de y = ax^2 + bx + c, utilizando software.
- Plantear y resolver problemas utilizan- do ecuaciones de segundo grado con incógnita.
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Signos de operación t En la suma se utiliza el signo (+). Así, por ejemplos x+y se leerá “equis más ye”. t En la resta se utiliza el signo (–). Así, por ejemplo x–y se leerá “equis menos ye”. t En la multiplicación se utiliza el símbolo multiplicado por (x) ó (×). Así, por ejemplo x x y = x × y se leerá “equis multiplicado por ye”. El signo suele omitirse cuando los factores están indicados por letras o bien por letras y números. Por ejemplo x x y x z = x×y×z = xyz t En la división se utiliza el signo dividido entre (:)(÷) ó (/). Así, por ejemplo x : y = x/y = x÷y y se leerá “equis dividido entre ye”. t En la potenciación se utiliza un superíndice denominado exponente que se sitúa arriba y a la derecha de una cantidad llamada base por sí misma. Así, por ejemplo x^4 = x×x×x×x… (4 veces) y se leerá “equis elevado a la ye”. En el caso de que una letra no lleve exponente se sobreentiende que el exponente es uno. t En la radicación se utiliza el signo radical ( ), debajo del cual se coloca la cantidad a la que se le extrae la raíz. Así, por x , se leerá “raíz cuadrada de equis”; 3 x “raíz cúbica de equis” y así sucesivamente.
Signos de relación Los signos de relación se utilizan para indicar la relación que hay entre dos cantidades. t El signo = se lee igual a. x = y se leerá “equis igual a ye”. t El signo ≠ se lee diferente de. x ≠ y se leerá “equis diferente de ye”. t El signo > se lee mayor que. x > y se leerá “equis mayor que ye”. t El signo < se lee menor que. x < y se leerá “equis menor que ye”. t El signo ≥ se lee mayor que o igual. t El signo ≤ se lee menor que o igual.
Signos de agrupación Los signos de agrupación más utilizados son: los paréntesis ( ), los corchetes [ ] y las llaves { }. Los signos de agrupación indican que la operación encerrada en su interior debe efectuarse en primer lugar.
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Antes estudiamos un tipo especial de fun- ciones, las funciones lineales; a partir de ahora, estudiaremos las funciones cuadráticas, las cuales son funciones polinómicas de grado 2.
f(x) = ax^2 + bx + c
Las ecuaciones de éste tipo de funciones ya las hemos utilizado anteriormente. En esta sección del libro Matemática Zapandí, además del estudio pormenorizado de esta función, conoceremos algo de la historia de la Matemática en la que se fundamentó su desarrollo.
Los matemáticos ára- bes hicieron importantes contribuciones a la Mate- mática en la época llama- da “la Edad de Oro” del mundo musulmán, entre el año 700 y el 1200 d.C. aproximadamente. Lograron preservar el legado matemático de los griegos, tradujeron y divulgaron los conocimientos matemáticos de la India y asimilando ambas corrientes, aportaron mucho al Álgebra y a la Trigonometría.
FUNCIONES
El más recordado de los matemáticos árabes de esa época es Mohammed ibn Musa al Khwarizmi, quien escribió varios libros de Geografía, Astrono- mía y Matemáticas. En su tratado sobre Álgebra, al khwarizmi ex- plica la manera de resolver ecuaciones cuadráticas de varios tipos. Tanto el planteamiento, como la solución de las ecuaciones era dado con palabras, pues no se utilizaban aún símbolos algebraicos como hoy en día. Fue mucho después, en el siglo XVI, cuando comenzaron introducirse los símbolos que hoy se utilizan en el plantea- miento de ecuaciones. Uno de los matemáticos que mayor influencia tuvo en este cambio favorable para el desarrollo del Álgebra, fue Francois Viète (1540 - 1603). Con el uso de símbolos para expresar la incógnita y los coeficientes de una ecuación, se impulso enormemente el desarrollo del Álgebra, pues se facilitó el estudio de ecuaciones de grado 2, 3 y 4. Así como el desplazamiento de un ciclista que viaja a velocidad constante, a través del tiempo, se puede describir mediante una función lineal , existen otros fenómenos que se describen mate- máticamente a través de las funciones cuadráticas. Estas son todas las funciones que tienen la forma siguiente: f(x) = ax^2 + bx + c donde a, b y c (llamados términos ) son números reales cualesquiera y a es distinto de cero (puede
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Esta tabla de valores nos permite construir la siguiente gráfica así:
Observe
t Entre los segundos 2 y 3, la pelota comienza a descender y recorre exactamente 2 metros. f(2) – f(3) = 8 – 6 = 2 metros
t Entre los segundo 3 y 4 se vuelve a recorrer la distancia que recorrió en el primer segundo: f(3) – f(4) = 6 – 0 = 6 metros
Otros ejemplos
- El propietario de un edificio tiene alquilado 52 apartamentos del mismo al valor en dólares de 266 al mes cada uno. Por cada 7 dólares que aumente el alquiler de cada piso pierde un inquilino y por lo tanto queda el correspondiente apartamento sin alquiler. ¿Cuál será el alquiler, que más beneficio le dé al propietario? ¿Cuál es la cantidad máxima que puede recibir el propietario?
DATOS ACTUAL FUTURO
No^ de apartamentos alquilados
(^52 52) − x 7 Precio por apartamento (mensual)
266 266 + x
Beneficio total 52 • 226 = 13 832^
52 − x 7
⎝⎜^
⎠⎟^
( 266 +^ x) =^ ____
Con las funciones cuadráticas podemos plan- tear y resolver problemas de este tipo. En la columna datos tenemos los títulos (No^ de apartamentos alquilados ) , Precio por apartamento (mensual) y beneficio total. En la columna actual , se tiene que el número de apartamentos alquilados son 52 a razón de 266 dólares y producen un beneficio men- sual total de 52 multiplicado por 266, o sea, 13 832 dólares. En la columna futuro se tiene la expresión 52 − x 7 , por qué esto así, porque si se aumenta 7 dólares, se tiene que 52 menos “x” entre 7 es 52 menos 7 entre 7, que es lo mismo que, 52 menos 1 que es igual a 51. Pierde un inquilino, y le queda un apartamento sin alquiler. La expresión 266 + x nos indica que los apar- tamentos a este momento tienen un precio de 266 más el incremento de 7 ó 14 o más. Y que el beneficio total del propietario se calcula resolviendo (^52) − x 7
⎝⎜^
⎠⎟^
(^266 +^ x) =^ ____^.
- La correspondencia mediante la cual a cada círculo de radio “r”, con r ∈ R+^ se le hace corres- ponder su área A, es una función cuadrática, pues la imagen de cada elemento r ∈ R+^ viene dada por A(r) = πr^2.
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- Un agricultor tiene postes para construir 1000 metros de una cerca y un terreno muy grande. El área de la cerca con forma de rectángulo con dimensiones x metros y 500 – x metros puede describirse con una función. El caso en cuestión refiere al uso de las fun- ciones cuadráticas f(x) = ax^2 + bx + c para indicar que a cada rectángulo con medidas x, 500 – x se le hace corresponder su área “y”, donde y = x(500 – x) = – x^2 + 500x (m^2 : metros cuadrados).
- En una región de África, considerada como reserva ecológica, un grupo de biólogos ha obtenido datos sobre la relación que hay entre el número de animales herbívoros y el número de animales depredadores, y los ha graficado. Ellos desean construir un modelo matemático que se ajuste a los datos que han obtenido. x y 50 0 60 180 80 420 100 500 120 420 140 180 150 0
Como los puntos de la gráfica tienen una dis- posición parabólica, se traza la parábola que mejor se ajuste a la serie de puntos. La curva corta al eje x en x = 50 y x = 150, de modo que estos valores de x deben ser soluciones de la ecuación f(x) = 0. Además el vértice (100,500) Por lo tanto, la función que se ajusta a los datos obtenidos es:
f(x) = − 1 5 x 2 + 40x − 1500
Muchas son las situaciones que se pueden presentar y resolver con las ecuaciones que representan las funciones cuadráticas. La ecuación correspondiente a esta función es:
y = ax^2 + bx + c (a ≠ 0), con a, b, c ∈ ℝ
Son ejemplos de funciones cuadráticas:
y = 2x^2 – 3x – 1 donde a = 2, b = – 3, c = – 1
y = – x^2 + 3 donde a= – 1, b = 0, c = 3
y = 3 x^2 + x – 5 donde a = 3 , b = 1, c = – 5
y = 3 8
x 2 − 2 5
x + 1 2 donde a^ =^
, b = − 2 5
, c = 1 2 y = x^2 donde a = 1, b= 0, c = 0
El dominio de toda función cuadrática es el conjunto ℝ.
Representación gráfica de una función cuadrática Cuando representamos en una gráfica "todos" los puntos (x, f(x)) de una función cuadrática , se (^0) obtiene una curva llamada parábola. Es decir, una
0
100
50 100 150
200
200 250
300
400
500
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Puntos de corte en el eje de las abscisas (raíces o soluciones) (eje de las X)
Otra característica o elemento fundamental para graficar una función cuadrática la dá el valor o los valores que adquiera x, los cuales deben calcularse.
Ahora, para calcular las raíces (soluciones) de cualquier función cuadrática calculamos, f (x) = 0.
Esto significa que las raíces (soluciones) de una función cuadrática son aquellos valores de x para los cuales la expresión vale 0; es decir, los valores de x tales que y = 0 ; que es lo mismo que f(x) = 0.
Entonces hacemos, ax² + bx + c = 0 Las raíces o soluciones de la ecuación cua- drática nos indican los puntos de intersección de la parábola con el eje de las X (abscisas).
Punto de corte en el eje de las ordenadas (eje de las Y)
En el eje de ordenadas (Y) la primera coorde- nada es cero , por lo que el punto de corte en el eje de las ordenadas lo marca el valor de c (0, c).
Eje de simetría o simetría
Otra característica o elemento de la parábola es su eje de simetría. El eje de simetría de una parábola es una recta vertical que divide simétricamente a la curva; es decir, intuitivamente la separa en dos partes con- gruentes. Se puede imaginar como un espejo que refleja la mitad de la parábola.
Vértice Como podemos ver en el gráfico anterior, el vértice de la parábola es el punto de corte (o punto de intersección) del eje de simetría con la parábola. Para una función cuadrática y = ax^2 + bx + c, la coordenada x del vértice es siempre −b 2a
. Como el eje de simetría siempre pasa por el vértice, sig- nifica que el eje de simetría es una línea vertical x = −b 2a . Cambiando los valores de a y b en la gráfica siguiente se puede ver dónde están el vértice y la línea de simetría.
Las gráficas de las funciones cuadráticas Como recordaremos cuando se estudio en el libro de Matemática Ujarrás para obtener la gráfica de la función y = – 2x + 5 , por ejemplo, se procede a tabular, es decir, se dan valores a la variable independiente x y se busca (por medio de las operaciones indicadas) el valor de la variable dependiente y , como se ilustra a continuación. Función: y = – 2x + 5 x y PUNTOS 1 3 A(1,3) y = –2(1) + 5 = –2 + 5 = 3 2 1 B(2,1) y = –2(2) + 5 = 4 + 5 = 1 3 – 1 C(3,1) y = –2(3) + 5 = – 6 + 5 = – 1 4 – 3 D(4,– 3) y = –2(4) + 5 = – 8 + 5 = – 3 5 – 5 E(5,– 5 y = –2(5) + 5 = – 10 + 5 = – 5
Ramas de la parábola
Eje de simetría
Vértice
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Una vez que los valores se han tabulado, se procede a representarlos gráficamente.
La gráfica de una función de primer grado se llama también función lineal porque su gráfica es siempre una línea recta.
Generalizando, una función lineal o de primer grado es de la forma y = mx + b , donde m y b pueden tener valores positivos o negativos.
Respecto de la función cuadrática o de segundo grado, ésta se caracteriza por tener el término x con exponente 2; ejemplos de esta función son: y = x^2 + 5; y = – 3x^2 + 1; y = 4x^2 – 1; y = (x – 3)^2 , etcétera.
Representación tabular y gráficamente de una función cuadrática
PRIMER CASO: Para obtener la gráfica de la función cuadrática y = ax^2 + bx + c , se^ procede primero^ a tabular, es decir, se construye una tabla semejante a la ya utilizada para construir gráficas de funciones
lineales. Se dan valores a la variable independiente “x” y, resolviendo las operaciones indicadas, se van obteniendo los valores de la variable depen- diente “y”. Por ejemplo. Represente gráficamente la función cuadrática dada por y = x^2 – 6x + 9 Solución: 1º Construimos una tabla semejante a esta:
x y PUNTOS y = ax^2 + bx + c
2º La completamos. Con los números “x” que son cualquier valor real y los números “y” que son números que se obtienen al sustituir el valor de “x” en la ecuación de la función cuadrática y = ax^2 + bx + c. Con estos valores se forman los puntos que corres- ponden a los pares ordenados (x, y) formados por los valores de “x” y sus correspondientes de “y”. Así.
x y PUNTOS y = x^2 – 6x + 9
1 4 A(1,4) y = (1)^2 – 6(1) + 9 = 4
2 1 B(2,1) y = (2)^2 – 6(2) + 9 = 1 3 0 C(3,0) y = (3)^2 – 6(3) + 9 = 0
4 1 D(4,1) y = (4)^2 – 6(4) + 9 = 1
5 4 E(5,4) y = (5)^2 – 6(5) + 9 = 6
(^0 )
1
2
2 3
3
4
4
5
5
6
6 7
7
-1-
A
B
C
D
E
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Como x² – 4x + 3 = 0 , aquí tenemos que a = 1, b = – 4 y c = 3 Y como b^2 – 4ac > 0, tiene dos puntos de corte en el eje de las abscisas, puesto que b^2 – 4ac = 4.
x = 4 ±^16 −^12 2 x 1 = 4 +^4 2
= 4 +^2
x 2 = 4 −^4 2
= 4 −^2
Los puntos de corte con el eje de las abscisas son (3, 0), (1, 0).
- Punto de corte con el eje OY
Este punto se halla sustituyendo en la ecuación de la función cuadrática y = x² – 4x + 3. y = x² – 4x + 3 (0)^2 – 4(0) + 3 = 0 – 0 + 3 = 3 El punto de corte con el eje de las ordenadas es (0, 3)
Gráfica:
Recuerde La gráfica de una función cuadrática es una curva con forma de U llamada parábola. Puede ser trazada dibujando soluciones de la ecuación, encontrando el vértice y usando el eje de simetría para graficar puntos seleccionados, o encontrando las raíces y el vértice. La forma estándar de una ecuación cua- drática es y = ax^2 + bx + c. Esta forma nos permite encontrar fácilmente el vértice de la parábola y el eje de simetría usando la fórmula para la coordenada x del vértice, x = − b 2a
Selección
- A un cartón rectángular cuyos lados miden 4 cm y 5 cm se le ha recortado en cada esquina un cuadrado de lado x. De las siguientes expresio- nes algebraicas, ¿cuál permite calcular el área y del cartón sin las esquinas?
A) y = (5 – 2x)(4 – 2x) B) y = (5 + 2x)(4 + 2x) C) y = 4x^2 – 18x – 20 D) y = – 4x^2 – 18x + 20
TRABAJO INDIVIDUAL 1
x
-1^0
1
2
2 3
3
4
4
5
6
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Se desea construir una caja de metal, a partir de una lámina cuadrada de 2 m de lado. Para ello se recortan cuatro cuadrados de lado “x”, uno de cada esquina. De las siguientes expresiones. ¿Cuál permite calcular el área “y” a partir del valor “x”? A) y = 4x^2 – 8x – 4 B) y = 4x^3 – 8x + 4x C) y = 4x^2 – 8x + 4 D) y = 4x^2 + 8x + 4
El ancho de un rectángulo es siete unidades menor que el largo y el área es igual a 588 m^2 , ¿cuál es la ecuación que representa correcta- mente esta situación? A) x(x – 7) = 588 B) x – 7 + x = 588 C) x^2 + 7x + 588 = 0 D) x^2 – 7x + 588 = 0
La tabla muestra la altura que va alcanzando un balón de fútbol después de ser despejado.
Tiempo (en segundos
Altura alcanzada por el balón (en metros) 0 0 1 5 2 8 3 9 4 8 5 5
¿Cuál de las opciones corresponde a la grá- fica asociada a la relación entre la altura que alcanza el balón y el tiempo? A)
B)
C)
D)
Altura
(^0) Tiempo
5
5
10
10
Altura
Tiempo
0
5
-5 5
10
Altura
Tiempo 0
5
-5 5
10
Altura
Tiempo 0
5
-5 5
10
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- La altura que alcanza una pelota arrojada ha- cia arriba en función del tiempo se representa mediante la gráfica siguiente:
a) ¿Cuál es la variable independiente y cuál es la variable dependiente? Respuesta:
b) ¿Cuál es la altura máxima y en qué tiempo ocurre? Respuesta:
Altura (m)
T (s)
0 4
4
1
1
2
2
3
3
c) ¿En qué intervalo de tiempo la función crece y en cuál decrece? Respuesta:
C. De acuerdo a la siguiente información indique la función cuadrática que resuelve cada uno de los problemas siguientes: a) ¿Cuál es el área de un rectángulo cuya base mide x + 2 y su altura x - 2?
Respuesta:
b) ¿Cuál es el área de un triángulo cuya base mide 2x + 1 y su altura 2x + 2?
Respuesta:
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Si dos expresiones algebraicas (monomios, binomios, …, polinomios) se multiplican obtenemos como producto otra expresión algebraica (mono- mios, binomios, …, polinomios).
A partir de este momento, estudiaremos varios procedimientos que nos permitirán determinar los factores de una expresión algebraica dada, cuando existan.
Pero antes, recordemos algunos conceptos importantes:
❖ Si dos expresiones algebraicas A y B se mul- tiplican y su producto es C, cada una de las expresiones A y B se dice que es un factor o divisor de C. Ejemplos:
1. Puesto que 2 (x + 1) = 2x + 2, diremos que 2 y x + 1 son factores o divisores de 2x + 2. 2. Del mismo modo (x + 4)(x + 3) = x^2 + 7x + 12. Luego (x + 4), (x + 3) son factores o divisores de x^2 + 7x + 12.
❖ A menudo, resulta conveniente determinar los factores de una expresión algebraica dada. La operación que consiste en hallar estos factores se denomina factorización o descomposición en factores de la expresión. Seguidamente estudiaremos algunos procedi- mientos para factorizar determinadas expresiones algebraicas.
A. Factorización por factor común
1. Factor común monomio
Por ejemplo, si queremos descomponer en factores o sea factorizar la expresión ma + mb , lo
FACTORIZACIÓN
podemos realizar aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto de la suma, de la manera siguiente: ma + mb = m ( a + b ) En este caso se dice que hemos extraído el factor común m en la expresión ma + mb, ya que dicho factor aparece en cada uno de los términos de la expresión dada. En general tenemos que: Si en una expresión algebraica dada exis- te un factor que sea común a todos sus términos, ésta se puede descomponer en el producto de dicho factor común por el polinomio que resulta al dividir cada uno de los términos de la expresión dada por ese factor común.
Ejemplos de este tipo de factorización. a) Factorizar 4 + 8a = 4 (1 + 2a) Solución: Se puede observar que 4 y 8a contienen como factor común al 4. El otro factor estará formado por el cociente de (4 + 8a) ÷ 4 = 1 + 2a , ya que 4 ÷ 4 = 1 ; y 8a ÷ 4 = 2a. Luego, tendremos que 4 + 8a = 4(1 + 2a)
b) Factorizar 6a^2 b – 9ab^2 + 3ab = 3ab (2a – 3b + 1) Solución: En este caso tenemos que existe un factor numérico y un factor literal.
209
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x 2 y 2 xy = xy; x 3 y 2 xy = x 2 y; xy xy
Por lo tanto: x^2 y^2 + x^3 y^2 + xy = xy(xy + x^2 y + 1)
ACTIVIDAD 1
- 120a + 20b + 120 =
- 9a 2 x − 18ax 2 =
- x 2 + x 3 − x 4 =
- ab 2 − a 3 b + ab =
- 4a 3 + 30a 2 − 50a =
- 21c 4 + 7b 2 c − 14b 3 =
- 12xy 2 − 18y 3 x 2 + 16xy =
- b 3 c 2 − 21c 2 + 14bc 2 =
- 112mn^4 + 120m^5 n − 126m^2 n^2 =
- a 4 b + a 2 b 4 + a 5 + a 3 b 3 =
- 15y 2 + 20y 3 − 30y 4 + 40y 5 =
- −hk 2 + 2hk + h^2 =
- m 3 + mn^2 − mn^4 + m =
- a 3 b 2 + a 3 b =
Factorice los siguientes polinomios utilizando el método del factor común.
- 42a b^2 2 − 18a b^7 + 30 a b^32 =
- −hk 2 + 2hk + h^2 =
- m 3 + mn^2 − mn^4 + m =
- a 3 b 2 + a 3 b =
- 5ab + 10 3
a 2 b − 15 7
b 4 =
- 25x 2 y + 30xy 3 + 20x =
- − x 2 y + y 3 − xy 4 − 4y =
xy −
xy 2 −
x 3 y =
a 3 b 2 − 3 20
a 2 b 3 − 1 5
a =
x 4 +
y x 3 y 2 +^ 30x y^2 2 =
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2. Factor común polinomio
Cuando factorizamos por el método del Fac- tor Común en algunos casos el factor común será un polinomio. Para estas situaciones se procederá de la siguiente manera:
a) Factorizar 4(x + y) – 7(x + y)
Solución: Observando la expresión nos damos cuenta que los dos términos de la misma tienen de factor común el binomio (x + y); así entonces podemos realizar lo siguiente:
4 (x^ +^ y) (x + y)
(x + y) (x + y)
y tendremos entonces que 4(x + y) – 7(x + y) = (4 – 7)(x + y) = – 3 (x + y)
b) Factorizar 2x(a – 1) – 3(a – 1)
El factor común es (a – 1) Así entonces dividimos los términos entre este factor común y obtendremos
2x(a − 1) (a − 1)
= 2x; − 3 (a^ −^ 1) (a − 1)
Entonces tendremos como resultado final: 2x(a – 1) – 3(a – 1) = (a – 1)(2x – 3)
c) Descomponer: 2a(m + 3) + m + 3
Solución: Esta expresión aunque en apariencia diferente a las demás se puede escribir así:
2a (m + 3) + m + 3 = 2a(m + 3) + (m + 3) = 2a(m + 3) + 1(m + 3) El factor común es (m + 3); por eso si:
2a(m + 3) (m + 3)
= 2a y 1(m^ +^ 3) (m + 3)
tenemos como resultado que 2a(m + 3) + m + 3 = (m + 3)(2a + 1)
d) Factorizar 5x(2 + b) – 2 – b Solución: Vamos a acomodar esta expresión realizando los pasos siguientes: 5x(2 + b) – 2 – b = 5x(2 + b) – (2 + b) = 5x(2 + b) – 1(2 + b) Luego, tenemos que el factor común es (2 + b) y que 5x(2 + b) – 2 – b = (2 + b)(5x – 1) Recuerde que:
- a – b = – (a + b)
- a + b = – (a – b) en ambos casos estas expresiones son pro- ducto del uso de la ley distributiva de la multi- plicación con respecto de la suma.
e) Factorizar (x – 5)(y + 2) + 3(y + 2) Solución: El factor común es (y + 2). Si dividimos cada término por este tenemos que: (x − 5)(y + 2) (y + 2)
= x − 5 3(y^ +^ 2) (y + 2)
Luego (x – 5)(y + 2) + 3(y + 2) = (y + 2)(x – 5 + 3) = (y + 2)(x – 2)
