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ENERO DE 2010 - SOLUCIONES
PREGUNTAS TIPO TEST:
1.- El límite de la expresión es a) 1/ b) c) No existe SOLUCIÓN: Dando valores, el límite es. No hay ninguna indeterminación 2.- Podemos asegurar que la ecuación f(x)=-3·x tiene al menos una raíz real en el intervalo: a) [0,2] b) [-1,0] c) [1,2] SOLUCIÓN: f(1)· f(2)<0. Por el teorema de Bolzano y dado que la función es contínua en todos los intervalos, la raíz está en [1,2] 3.- La función f(x)=x·sen (x) tiene en x= a) Un máximo b) Un mínimo c) (^) Un punto de inflexión SOLUCIÓN: f’(x)=sen (x)+x·cos(x); f’(0)=sen (0)+0·cos(0)= f’’(x)=cos(x)+cos(x)-x·sen(x); f’’(0)=cos(0)+cos(0)-0·sen(0)=2>0 por lo que x=0 es un MÍNIMO
- La función es discontinua en x = 1. Tal discontinuidad puede evitarse definiendo: a) f(1) = 2/ b) f(1) = 1 c) Ninguna de las anteriores SOLUCIÓN:
En x = 1 la discontinuidad es evitable, pues existe el límite (que calculamos mediante la regla de L´Hôpital):
5.- La función : a) Tiene una asíntota horizontal. b) Es creciente en todo su dominio. c) Ninguna de las anteriores. SOLUCIÓN: La función se puede expresar como , cuya derivada es =, que siempre es positivo. Por tanto, la función siempre es creciente. 6.- La función y= es derivable en x=1 si a) Si a =2 y b= b) Si a=-1 y b= c) Si a=1 y b=- SOLUCIÓN: Para ser derivable ha de ser además contínua, lo que nos obliga a que 0=a +b. Será derivable si 1=2·a·1 +b. Resolviendo el sistema tenemos la solución a=1 y b=- 7.- El área que encierra la función entre sus dos raíces vale: a) Entre 0 y 5 b) Entre 5 y 10 c) Entre 10 y 20 SOLUCIÓN: Las raíces son 4 y 5 , luego nos piden. El área es el valor absoluto de la integral, luego el área es 0,2.
8.- La ecuación de la recta tangente a en su punto de inflexión es:
a) y = 1-3x
b) y = 1+3x
c) Ninguna de las anteriores
PROBLEMAS:
1.- Calcula el Polinomio de Taylor de la función en el punto x 0 =27. Utilízalo para el cálculo de.
P(x)=
P(28)= 3,
2.- Dibuja la gráfica de la función:
SOLUCIÓN
- Dominio = R − {−2}
- Simetrías: No es par ni impar: no es simétrica respecto al eje Y ni respecto al origen.
- Asíntotas verticales:
- Asíntota horizontal:
- Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento:
Signo de f ' ( x ):
f ( x ) es decreciente en (−∞, −2) ∪ (2, +∞); es creciente en (−2, 2).
- Corte con los ejes: Con el eje Y → x = 0 → y = 0 → Punto (0, 0) Con el eje X → y = 0 → x = 0 → Punto (0, 0)
- Gráfica :
4.- Hallar las integrales:
