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HOJA 2: Límites y Continuidad
1. (*)Calcular:
a) lim
x→ 0
4 x
3
2 x
2
−x
5 x
2
2 x
b) lim
x→ 2
x
3
−x
2
−x− 2
x− 2
c) lim
x→ 0
2 x − 2
x
d) lim
x→
x
2
− x
x
3
3 x
4
e) lim
x→
senx
x
f) lim
x→−
x
2
cosx 1
x
2
1
g) lim
x→−
3 x
3
2 x
2
x 2
x
2
− 7 x 1
h) lim
x→−
x
4
−ax
3
x
2
1
i) lim
x→ 0
x
4
−x
3
x
2
b
2. Sabiendo que lim
x→ 0
senx
x
1, calcular:
a)lim
x→ 0
sen
2
2 x
x
2
b)lim
x→ 1
senx
2
− 1
x− 1
3. Hallar las discontinuidades (si las hay) de las funciones que siguen:
a)(*)fx
|x−3|
x− 3
b)fx
x si x ≤ −
2
xsenx
1 −cosx
si −
2
x
2
; x ≠ 0
1 si x 0
0 si
2
≤ x
c) fx
x 1
−x
si x ≤ −1.
−1/2 1 − x
− 2
si − 1 x ≤ 1
senx
− 1 si 1 x
d) (*)fx
2 x
x 1
si x −1.
e
1/x
si − 1 ≤ x 0
si x 0
1/x si 0 x
4. (*)Calcula los siguientes límites:
i) lim
x→ 1
x − 1 arcsen
tg
4
x
1 tg
4
x
ii) lim
x→ 2
1 h
2
x
|x−2|
, con hx una función con límite finito cuando x → 2.
5. (*)Calcular
a) lim
x→− 3
x
2
x
2
− 9
b) lim
x→− 3
−
x
2
x
2
− 9
c)lim
x→ 0
2
senx
d)lim
x→ 0
−
1 − 1/x
1
x
e)lim
x→ 0
−
x
2
− 2 x
x
3
6. Calcula todas las asíntotas de las siguientes funciones:
(*)fx
x
3
x
2
− 1
gx
x
2
− 1
x
(*)hx x
2
− 1 (*)mx
1
lnx
(*)nx e
1/x
7. Demuestra que todo polinomio de grado impar tiene al menos una raíz. 8. (*)a) Usar el teorema de los valores intermedios para comprobar que las funciones que siguen
tienen un cero en el intervalo indicado.
i)fx x
2
− 4 x 3 en 2, 4; ii)fx x
3
3 x − 2 en 0, 1.
b) Obtener mediante particiones del intervalo y aplicaciones sucesivas de Bolzano, el cero con
un error de 0. 25.
9. (*)Comprueba que las ecuaciones x
4
− 11 x 7 0 y 2
x
− 4 x 0 tienen al menos dos
soluciones.
10. (*)Demuestra que la ecuación x
7
3 x 3 0 tiene una única solución. Determina la parte
entera de dicha solución.
11. Hallar el dominio y la imagen de las funciones:
a)fx ln
x
2
− 16 x− 1
x− 3
b)gx
x
2
− 16 x− 1
x− 3
12. Si f y g son funciones continuas en a, b y fa ga, fb gb, demostrar que existe
x 0
∈ a, b tal que fx 0
gx 0
13. a) Sea f :
a, b
→ R, continua, tal que Im
f
a, b
. Probar que f tiene al menos un punto
fijo.
b) Supongamos además que f es monótona. ¿ Existirá un único punto fijo?
14. a) Probar, mediante el teorema de los ceros de Bolzano, que la función fx x
3
− 5 tiene al
menos un punto fijo en el intervalo 0, n, para algún n ∈ N.
b) Obtener, con un error de 0. 25, un punto fijo de f.
c) ¿Existirá un único punto fijo?
15. (*)Discutir en los casos siguientes si las funciones alcanzan extremos globales y/o locales en
los intervalos indicados:
a) f
x
x
2
x ∈
b) f
x
x
3
x ∈
c) fx senx x ∈ 0, d) fx −x
1
3 x ∈ −1, 1
16. Sustituir en el problema anterior el intervalo dado por 0, o por R en cada una de las
funciones.
17. Sea f
x
arctg
tg
2
x
1 tg
4
x
, f :
a, b
→ R. Discutir, según los valores de a y b, cuándo f
alcanza máximo y mínimo en a, b.
18. Explicar por qué fx tgx tiene un máximo en 0, /4, pero no en 0, . 19. (*)a) Sea Cx
3 x
2
x
x− 1
100, la función de costes totales de producción, suponiendo x ≥ 7.
Comprueba si tiene asíntota oblícua cuando x → .
b) Considera la función C m
x
Cx
x
, es decir, los costes medios de producción.
Comprueba que tiene asíntota horizontal cuando x → .
c) ¿Hay alguna relación entre la asíntota oblícua de la parte a) y la horizontal de la parte b?
20. (*)Una entidad bancaria ofrece una cuenta corriente con las siguientes condiciones: los
250.000 primeros euros sin remunerar, el resto al 7% de interés anual. Considera la siguiente
función: i : 0, → IR definida como ix”interés obtenido en % al depositar un capital x y
mantenerlo durante un año”.
i) Obtener ix.
ii) Calcular lim
x→
ix.
iii)¿Existe algún capital c para el que ic 7?.
iv) ¿A partir de qué capital se obtiene al menos un 6% de interés?
v) Dibuja la función i.
