¡Descarga matematica financiera y más Apuntes en PDF de Matemática Financiera solo en Docsity!
Tema 4: Valoració financera de conjunts de capitals
1. Valor financer d'un conjunt de capitals
Es denomina valor financer d'un conjunt de capitals en un moment t (^) W, a la seua suma financera en eixe moment.
VW
C 1 C 2 Cn-1 Cn
t 0 t 1 t 2 t W .. t n-1 t n
Així, donat un conjunt de capitals ¿
® (^ C 1 ,t 1 ),(C 2 ,t 2 ),....,(Cn,tn) , i una llei financera de
capitalització composta amb i constant, el seu valor financer en un punt qualsevol t (^) W[t 0 ,t (^) n ] vindrà donat per:
¦ ^
n
s 1
(t t ) s
V C ( 1 i)^ W s
W [1.]
( 1 i)(^ tWts^ ) és el factor de capitalització (si tIJ > t (^) s ) o de contracapitalització (si t (^) IJ < t (^) s).
Tot i que el valor financer d’un conjunt de capitals pot calcular-se en qualsevol punt, és freqüent que es plantege l’obtenció dels denominats valor final i valor actual o inicial.
Així, donat un conjunt de capitals ¿
®( C 1 ,t 1 ),(C 2 ,t 2 ),....,(Cn,tn) , es denomina^ valor
final
n
s 1
t t s
n
s 1 n s s n
V C u(t ,t ) C ( 1 i)n s
[2.]
Vn
C 1 C 2 C n-1 C n
t 0 t 1 t 2 } t n-1 tn
i valor actual o inicial :
n
s 1
(t t) s
n
s 1 0 s 0 s
V C u*(t ,t ) C ( 1 i) s^0
[3.]
V 0
C 1 C 2 C n-1 C n
t 0 t 1 t 2 } t n-1 tn
Per l'equivalència financera, es verifica que:
V 0 Vnu*(t 0 ,tn) Vn( 1 i)^ (tn^ t^0 ) i Vn V 0 u(t 0 ,tn) V 0 ( 1 i)tnt^0 [4.]
2. Rendes 1. Valor financer d'una renda.
S’anomena “renda” a tot conjunt de capitals que compleix que cadascun dels capitals s’associa a un interval de temps. Els capitals que constitueixen la renda reben la denominació de termes (C (^) s ,W (^) s]i cadascun dels intervals als que s'associen els termes
rep la denominació de períodes ( ts 1 ,ts], amb W (^) s (t (^) s 1 ,ts].
C (^) W 1 C (^) W 2 C (^) Wn (^) 1 C (^) Wn
t 0 t 1 t 2 } t n-1 tn
L’origen de la renda es t 0 , el final de la renda es t (^) s , i la durada de la renda serà la diferència entre el final i l’origen (tn – to ).
En la realitat econòmica-financera existeixen moltíssims exemples de rendes: lloguers, salaris, anualitats de préstecs, etc. En general, qualsevol fenomen que genere de manera regular una sèrie de capitals és una font generadora de rendes i a aquests capitals se’ls anomena termes de la renda.
Les rendes poden classificar-se d'acord amb diferents criteris tenint en compte les característiques dels distints elements que en la definició intervenen. Els criteris classificadors no són excloents sinó que són complementaris.
- Segons el moment on vencen els termes en cada període:
x Rendes postpagables: Tots els termes vencen al final del corresponent període, W (^) s = ts. L'origen de la renda correspon a període abans del venciment del primer terme i el final coincidirà amb el venciment de l'últim terme.
C 1 C 2 C n-1 C n
t 0 t 1 t 2 } t n-1 tn
x Rendes prepagables: Tots els termes vencen a l’inici del corresponent període. L'origen de la renda coincideix amb el venciment del primer terme, mentre que el final de la renda serà un període després del venciment de l'últim terme.
C 1 C 2 C 3 C n
t 0 t 1 t 2 } t n-1 tn
(^1) En aquesta assignatura de Matemàtica Financera es treballa en ambient de certesa. Per això només es
tracten las rendes certes.
No obstant això, atès que en moltes ocasions els termes de la renda són constants, o amb una llei de variabilitat coneguda, i el tipus d’interès de la llei de capitalització composta utilitzada és també constant, es poden obtindre unes expressions específiques de la suma financera que faciliten el seu càlcul. Obtindrem a continuació les utilitzades amb major freqüència.
3. Valoració de rendes constants^2.
3.1 Renda constant, postpagable i temporal
La renda unitària postpagable i temporal definida pel següent conjunt de capitals
® (^1 ,t 1 ),(^1 ,t 2 ),,^ (^1 ,tn) i valorada amb una llei de capitalització composta amb un
tipus d’interès efectiu periodal “i”, tindrà la següent representació gràfica:
El seu valor financer en t 0 , valor inicial o actual, representat per a (^) n|i amb n Nserà:
^ ¦
n s 1
1 2 n s a (^) n |i ( 1 i) ( 1 i) ... ( 1 i) ( 1 i) [5.]
i atès que es tracta de la suma dels termes d'una progressió geomètrica de primer terme
a 1 (1 i )^1 , últim^ an (1 i ) n^ , i raó^ r^ (^1 ^ i)^1 , es pot escriure:
i
1 ( 1 i) 1 ( 1 i)
( 1 i) ( 1 i) ( 1 i) n 1
1 n 1 a (^) n|i
[6.]
De la mateixa forma, el seu valor financer en t (^) n , valor final, representat per S (^) n|iés:
n^1 s 0
2 n 1 s Sn (^) | i 1 ( 1 i) ( 1 i) ... ( 1 i) ( 1 i) [7.]
(^2) La valoració es vorà sols en capitalització composta amb tipus d’interès constant, i per al cas de rendes
periòdiques, és a dir, per a períodes de la mateixa duració. Així, es suposa que com 't=1, els venciments dels termes són t 0 , t 1 =t 0 +1, t 2 =t 1 +1, }, tn =tn-1 +1.
i com també es tracta d'una suma de termes variables en progressió geomètrica, aquesta
vegada creixent amb primer terme a 1 1 , l’últim a 1 a (^) n ( 1 i)n^1 , i raó r ( 1 i),
es pot escriure:
Sn | i an s 1
n ¦
a 1 an r 1 r
1 (1 i ) n ^1 (1 i )^1 1 (1 i )^1
(1 i ) n^ 1 i
[8.]
Es pot observar que es verifica:
n|i
n S (^) n |i ( 1 i) a
per ser (1+i)n^ el factor de capitalització de l'interval [t 0 ,tn ].
Quan en lloc d'una renda de quantia unitària es tracte d'una renda amb termes de quantia constant C, tal com la representada en l'esquema:
Els seus valors inicial i final seran respectivament:
V 0 C (1 i )^1 C (1 i )^2 C (1 i ) n^ C ª¬(1 i )^1 (1 i )^2 (1 i ) n º¼ C an | i [9.]
Vn C C (1 i ) C (1 i ) 2 C (1 i ) n ^1 C ª¬ 1 (1 i ) (1 i ) 2 (1 i ) n ^1 º¼ C Sn | i [10.]
verificant-se igualment la relació:
n Vn V 0 ( 1 i) o la recíproca: n V 0 Vn ( 1 i) [11.]
S’ha de recordar que el valor financer d’una renda és un capital financer. Per tant, una vegada és conegut en qualsevol punt, per tal d’obtenir el seu valor en un moment distint, caldrà multiplicar-lo pel factor de capitalització o actualització corresponent a l’interval. Així, es pot obtindre el valor financer de la renda en un moment intermedi, o abans del seu inici o després del seu final, tenint en compte en cada cas la llei financera que s'aplica en cada període.
x El valor inicial d’una renda és una funció inversa del tipus d’interès, si creix el tipus d’interès disminueix el valor inicial de la renda, al contrari, si disminueix el tipus d’interès creix el valor actual de la renta.
x El valor final d'una renda és una funció directa del tipus d’interès, si creix el tipus d'interès creix el valor final de la renda, si disminueix el tipus d'interès disminueix el valor final de la renda.
x El valor actual i final d'una renda és una funció directa del nombre de termes, n, si creix n creixen el valor inicial i el final de la renda, si disminueix el nombre de termes disminueix el valor inicial i el final de la renda.
Valor inicial de la renta en función de i
i
V Valor inicial
Valor final de la renta en función de i
i
n^ Valor final
n
1/i
n
Exemple 3: Donada una renda postpagable de termes mensuals de 1.000€, obteniu:
a) El seu valor inicial i final per a tres tipus d’interès de valoració anual: 3%, 4%, i 8%. La renda té 3 anys de durada.
b) El seu valor inicial i final per a tres possibles durades: 1, 5, i 10 anys. El tipus d’interès de valoració és el 3% anual.
Apartat a)
i ( 112 ) ( 1 0 , 03 )^1 /^12 1 0 , 002466
V C 1. 000
36 36 |i
1 0 a^ ( 112 ) »
€
V C S 1. 000
36 36 |i
1 n ( 112 ) »
i ( 212 ) ( 1 0 , 04 )^1 /^12 1 0 , 003274
V C 1. 000
36 36 |i
2 0 a^ ( 212 ) »
€
V CS 1. 000
36 36 |i
2 n ( 212 ) »
i ( 312 ) ( 1 0 , 08 )^1 /^12 1 0 , 006434
V C 1. 000
36 36 |i
3 0 a^ ( 312 ) »» ¼
€
V C S 1. 000
36 36 |i
3 n ( 312 ) »
Verificant-se que els valors inicials decreixen a l'augmentar el tipus d'interès de valoració mentre que els valors finals creixen.
Apartat b)
n = 12 mesos
V C 1. 000
12 12 |i
1 0 a^ (^12 ) » ¼
€
i (^12 ) ( 1 0 , 03 )^1 /^12 1 0 , 002466
4. Valoració de rendes variables.
4.1 Renda de termes variables en progressió geomètrica, postpagable i temporal.
Siga la renda de termes (C ,t 1 ),(C q,t 2 ),(Cq^2 ,t 3 ), ,(Cqn^ ^1 ,tn) amb q! 0 i
representada pel següent esquema.
C Cq Cq^2 .................................... Cqn-2^ Cqn-
t 0 t 1 t 2 t 3 .................................... tn-1 t (^) n
El seu valor actual, amb tipus d’interès constant “i”, serà la suma d’una sèrie de valors
que varien en progressió geomètrica a raó r ( 1 i)^1 q, de primer terme a 1 ( 1 i)^1 i
últim an ( 1 i)nqn^ ^1
Es pot escriure:
i q
q i C q i
q i C i r
a a r
V ACq C i C q i C q i n n n n n
n n ni
1
1 1
1 2 1 (^0) | [14.]
En el cas particular de q ( 1 i)aquesta expressió ens condueix a una indeterminació,
i per tant s’haurà d'obtindre directament el valor actual de la renda:
C i > @ C i n
AC i C i C i i C i i n
n n ni
1 1
1 2 1 |
[15.]
El valor final de la renda en el cas general seria:
1 i q
( 1 i) q V S(C,q) C q C q ( 1 i) C( 1 i) C
n n n 1 n 2 n 1 n (^) n|i
^ , [16.]
verificant-se òbviament la relació:
n S( C,q)n |i A(C,q)n|i ( 1 i) [17.]
En el cas particular de q ( 1 i), el valor final tindrà l'expressió següent:
S( C,q)n |i ( 1 i)nA(C,q)n|i ( 1 i)nC( 1 i)^1 n C( 1 i)n^1 n [18.]
Exemple 5
Obteniu el valor inicial (actual) i final d'una renda anual, postpagable, de 15 anys de durada, i termes creixents en progressió geomètrica un 2% anual, si es valora en capitalització composta amb un tipus d’interès del 5% efectiu anual i el primer terme té una quantia de 1000€.
Valor inicial:
Valor final:
- 435 , 33 1 0 , 05 1 , 02
( 1 0 , 05 ) 1 , 02 V S(C,q) V( 1 i) 1. 000 15 15 15 (^15 15) | 0 , 05 0 » ¼
º « ¬
ª
5. Valoració de rendes fraccionades.
Rendes postpagables amb fraccionament aritmètic uniforme.
El fraccionament aritmètic d'una renda consisteix en dividir cadascuna de les quanties dels seus termes en “m” subquanties ( de tal manera que la seua suma aritmètica siga la quantia inicial) i descompondre cada període en “m” subperíodes, associant cada subquantia a cadascun dels subperíodes.
El fraccionament aritmètic de freqüència “m” d’una renda de “n” termes la transforma en una altra de “n x m” termes. La suma aritmètica de les quanties de la renda fraccionada del període per al qual es fa el fraccionament és igual a la quantia de cada terme de la renda sense fraccionar però no així la suma financera.
Quan el fraccionament, tant de quanties com de períodes es fa en parts iguals es
denomina uniforme. En aquest cas les m subquanties seran iguals entre si i iguals a m
C S
També s’obtenen m subperíodes d'igual amplitud m
La representació gràfica és la següent:
Cs/m Cs/m ........................ Cs/m Cs/m
t (^) s- m
t (^) s 1 m
t (^) s 1 ....... m
(m 1 ) t (^) s 1
t^ s
El valor financer en ts de tots els termes del període en base a una llei de capitalització composta amb un tipus d’interès efectiu i corresponent al període serà:
c
m
m
m s m m
m s m m s i
i i m
C
i i i m
C
C 1
1 1 1 2 ( 1 )
V A( 1000 , 1 ' 02 ) 1. 000
15 15 (^0 15) | 0 , 05 »
En la pràctica, i sempre que es tracte de rendes de quantia constant C, resulta més senzill obtindre el valor de la renda fraccionada sumant financerament els seus termes,
m
C
, i utilitzant el corresponent rèdit subperiodal, i(m)^. Així:
Valor inicial: 0 ( m) a (nm|)i an|i anm|i(m) m
C
j(m)
i V C C u [24.]
Valor final: (^) n( m) (nm|i) n|i Sn m|i(m) m
C
j(m)
i V CS C s (^) u [25.]
Exemple 6
Obteniu el valor actual de les següents rendes sabent que es valoren en capitalització composta amb un tipus d’interès efectiu anual del 4%. a) Una renda de termes mensuals constants de 900€ de quantia i 5 anys de durada. b) Una renda de termes mensuals, postpagables, constants durant l'any i creixents cada any un 1,5% acumulatiu i 10 anys de durada. La quantia del primer terme és de 500€.
a) Aquest cas pot valorar-se com una renda anual constant fraccionada en mesos o com una renda mensual.
A.1) renda anual fraccionada
Amb: C: la quantia del primer terme de la renda anual, és a dir C=12x900= 10.800€. i : el tipus d'interès efectiu anual de la llei de valoració. j(m): el tipus d'interès nominal anual pagador mensualment equivalent a un tipus d'interès efectiu i.
A.2) renda mensual
Amb: C: la quantia del primer terme de la renda anual, és a dir C=12·900= 10.800€. i (m): tipus d'interès efectiu mensual equivalent a un tipus d'interès efectiu anual del 4%.
n|i
(m) a Ca j(m)
i ( V)n|i
j( 12 ) ( 1 0 , 04 )^121120 , 039284877
1 »¼
(V)
5 ( 12 ) a (^5) | 0 , (^04) »» ¼
a (n m|i) a nm|i(m) anm|i(m^ ) m
C
(V ) (V) u u
i (^12 ) ( 1 0 , 04 )^1 /^12 1 0 , 003273739 ...
b) En aquest cas es fa necessari utilitzar l'expressió corresponent a una renda anual fraccionada en mesos:
» ¼
i q
i q C jm
i ACq jm
i A Cq
n n ni ni
m 1
Amb: C: la quantia del primer terme de la renda anual, és a dir C=12x500= 6.000€. i : el tipus d'interès efectiu anual de la llei de valoració. q: la raó de la progressió q=1,015 (la raó és anual). j(m): el tipus d'interès nominal anual pagador mensualment equivalent a un tipus d'interès efectiu i.
j 1 0 , 0412 1 12 0 , 039284877 ( 12 )^1 » ¼
A (^) i 52. 778 , 83 euros 1 0 , 04 1 , 015
(^1010) 10
12 » ¼
(V) (V)
60
a 512 | 0 , 003273739 ... 512 | 0 , 003273739 ...
( 12 ) a (^5) | 0 , 04 a
u u
6.- Quin és l’esquema temporal i l’expressió analítica que correspon a la següent expressió?
A
m Cqni
( ) ( ; )
7.- Existeix alguna relació entre les rendes fraccionades postpagables i les rendes fraccionades prepagables?
8.- Obteniu raonadament el valor financer en t 0 de la renda següent.
t 0 t 1 t 2 t 3 ........................
11 .- Si en una renta constant temporal el tipus d’interès s’incrementa, què ocorre amb el valor final de la renda? I amb el valor inicial?
QUESTIONS PRÀCTIQUES
- Obteniu el valor financer a 15 de maig del 2005 i a 15 de maig del 2010 d'una renda de termes mensuals constants de 250 €, 5 anys de durada i valorada al 4% nominal en els supòsits següents: a) El primer terme venç el 15 de juny del 2005. b) El primer terme venç el 15 de maig del 2005.
- El Sr. Martínez ha ingressat 1.000€ cada trimestre durant 5 anys en una entitat financera que valora en capitalització composta a un tipus d’interès nominal anual del 2%. Sabent que el primer ingrés es va efectuar el 31.03.03. Quina serà la quantia disponible per al Sr. Martínez (és a dir, la suma financera de tots els capitals aportats) el 31.03.08?. Noteu que l'últim ingrés s'efectua el 31.12.07.
- El Sr. Martínez desitja que la seua filla reba a partir del dia 01/04/09 i durant tres anys una renda de 500 € el dia 1 de cada mes. Per això contracta amb una entitat financera el lliurament el dia 01/03/09 d'un capital únic a fi d'atendre eixe propòsit. Sabent que l'entitat financera valorarà l'operació al 3,60% nominal anual, a) Quin serà l'import del capital que haurà de lliurar el Sr. Martínez el dia 01/03/09? b) Quin seria l'import a entregar el dia 01/03/09 si la renda de 500 euros mensuals es percebrà no durant tres, sinó durant cinc anys?
- El senyor X disposa d’un local comercial llogat, sent el lloguer una quantia mensual de 900€. Aquesta quantia s’ingressa a principi de cada més en un compte que manté en una entitat financera que el valora al 3,25% efectiu anual. Sabent que el primer ingrés el rep el 01.04.04, quin serà el saldo del compte el 01.04.07, abans de que es produixca l’ingrés corresponent?
- Obteniu el valor el 15.04.09 d'una renda mensual de 600€, perpètua, la primera quantia de la qual venç el 15.05.09, utilitzant, en primer lloc un tipus d’interès efectiu anual del 3% i posteriorment repetiu l'exercici utilitzant un tipus d’interès efectiu anual del 6%. Comenteu els resultats.
- Si el Sr. Martínez realitza un ingrés mensual de 500€ el dia 15 de cada mes en una entitat financera que valora al 2% efectiu anual durant 5 anys, quin serà el capital obtingut en els següents supòsits? a) El primer ingrés es realitza el 15 de gener de 2000 i el capital es retira el 15 de gener de 2005. (Noteu que l'últim ingrés mensual per a completar el període de 5 anys es va realitzar el 15 de desembre del 2004). b) El primer ingrés es realitza el 15 de gener de 2000 i el capital es retira el 30 de gener de 2007 suposant que l'entitat continua valorant al 2% efectiu anual després de transcorreguts els 5 anys d'aportacions.
- Obteniu el valor financer a 10 de gener del 2007 i a 10 de gener del 2012 d'una renda de termes mensuals constants de 250 € i 5 anys de durada si el tipus d’interès nominal és el 4,20% els dos primers anys i el 4,80% els restants, i el primer terme venç: a) El 10 de gener del 2007. b) El 10 de febrer del 2007.
- Sabent que en tots els casos el primer dels capitals que formen la renda venç el 10.07.09, obteniu el valor el 10.07.08 i el 10.07.16 de la renda si té 8 anys de durada i es valora al 3% efectiu anual, en els dos supòsits següents:
