Solución a un problema de inversiones: cálculo de comisiones y rentabilidades, Apuntes de Matemática Financiera

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MATEMÁTICAS FINANCIERA (US)

MATEMATICAS

NO LO SE, ANONIMO 12-

Matem´aticas Financieras Problemas resueltos Tema 1 Grado ADE

1. Para comprar un art´ıculo entregamos 315 euros en efectivo y firmamos 3 letras de igual nominal y vencimientos a los 60, 90 y 120 d´ıas respectivamente, para lo que nos aplican un tanto de inter´es del 6 %. Transcurridos 45 d´ıas, dichas letras son vendidas a un inversor, aplic´andole un tanto de descuento del 5 % y una comisi´on del 1′125 % sobre el nominal de cada letra. Cuando llega el vencimiento de la primera letra, y no disponiendo de dinero, proponemos al inversor cambiar las letras por una s´ola con vencimiento dentro de 4 meses, el inversor acepta y nos aplica un tanto de descuento del 4 % y una comisi´on del 2 % sobre el nominal de las letras sustituidas. Se pide:

a) Calcular el nominal de las tres primeras letras, si el inversor pago por ellas 3.618 euros. b) Precio al contado del art´ıculo. c) Nominal de la letra que sustituye a las anteriores. d ) Rentabilidad de la operaci´on para el inversor.

Soluci´on

El esquema de la situaci´on inicial es el siguiente:

P

315 N N N

i = 6 %

teniendo en cuenta que nos dan un tanto de inter´es, utilizaremos descuento racional, por lo que el precio al contado del art´ıculo ser´ıa:

P = 315 +

N

N

N

a) Transcurridos 45 d´ıas las letras son vendidas, a un tanto de descuento del 5 % (descuento comercial por tanto) y comisi´on de 1, 125 % sobre el nominal de cada una, a un inversor que paga por ellas 3.618 euros. Por tanto:

N

d = 5 % comisión 1,125 % sobre nominal de cada letra

N N

3 .618 = N (1 −

=60− 45 ︷︸︸︷ 15 360

0 , 05) + N (1 −

0 , 05) + N (1 −

efectivo

+ 3 ︸N · 0 ︷︷, 01125 ︸

comisi´on

=⇒ N = 1.200 euros

Observemos que en este caso la comisi´on penaliza aumentando el efectivo.

2. Para comprar un art´ıculo valorado en 7.140 euros, entregamos 1.200 euros en efectivo y firmamos 3 letras de igual nominal y vencimientos a los 60, 90 y 120 d´ıas respectivamente, para lo que nos aplican un tanto de descuento del 4 %. Transcurridos 15 d´ıas, el vendedor acude a un banco para descontar dichas letras, por lo que le aplican un tanto de inter´es del 6 % y una comisi´on del 0′3 % sobre el nominal de cada letra. Cuando llega el vencimiento de la primera letra, y no disponiendo de dinero, proponemos al banco cambiar las tres letras por una s´ola con vencimiento dentro de 75 d´ıas, el banco acepta y nos aplica un tanto de descuento del 6 % y una comisi´on del 1,5 % sobre el nominal de las letras sustituidas. Se pide:

a) Calcular el nominal de las tres primeras letras. b) Cantidad recibida por el vendedor al descontar las letras. c) Nominal de la letra que sustituye a las anteriores. d ) Rentabilidad de la operaci´on para el banco.

Soluci´on

a) Teniendo en cuenta los datos iniciales, se tiene:

1.200 N N N

d = 4 %

como nos dan un tanto de descuento, utilizaremos descuento comercial, por lo que por equivalencia financiera entre prestaci´on y contraprestaci´on calcular´ıamos el nominal:

7 .140 = 1.200 + N (1 −

0 , 04) + N (1 −

0 , 04) + N (1 −

=⇒ N = 2.000 euros

b) Transcurridos 15 d´ıas, el vendedor acude al banco y descuenta las letras a un tanto de inter´es del 6 % (descuento racional por tanto) y comisi´on de 0, 3 % sobre el nominal de cada una, por tanto:

15 60 90 120

i = 6 % comisión 0,3 % sobre nominal de cada letra

2.000 2.

L =

efectivo

comisi´on

=⇒ L = 5. 908 , 02 euros

Observemos que en este caso la comisi´on penaliza disminuyendo el efectivo.

c) En el vencimiento de la primera letra, y sin a´un haber pagado ´esta, sustituimos las tres letras pendientes por una s´ola:

60 90 120

2.000 (^) 2.000 2.

60 135

X

d = 6 % comisión 1,5 % sobre nominal letras sustituidas

Por tanto, por equivalencia financiera entre la deuda actual y la futura se tiene:

deuda actual

comisi´on

= X(1 −

deuda futura

=⇒ X = 6. 136 , 71 euros

d ) Para calcular la rentabilidad del banco, tengamos en cuenta que compr´o las tres letras en 15 por un importe total de 5.908,02 euros, y ha recibido en 135, la letra de nominal 6.136,71 euros, por lo que:

15 135

5.908,02 i? 6.136,

Por tanto:

· i) =⇒ i = 0, 11612342 =⇒ i ≃ 11 , 61 %

c) Transcurridos 30 d´ıas m´as, el banco vende las letras a un inversor, aplicando un tanto de descuento del 5 % y un comisi´on del 2 % sobre el nominal de cada letra.

(^4560 90 )

d = 5 % comisión 2 % sobre nominal de cada letra

1.200 1.

Inv = 1.200(1 −

cuant´ıa te´orica que deber´ıa pagar

comisi´on

=⇒ Inv = 3. 649 , 50 euros

d ) Para calcular el tanto efectivo de la operaci´on realizada por el banco, tengamos en cuenta que compr´o las tres letras en 15 por un importe total de 3.534,27 euros, y las ha vendido en 45 por 3.649,50 euros, por lo que:

15 45

3.534,27 i? 3649,

Por tanto:

· i) =⇒ i = 0, 39122968 =⇒ i ≃ 39 , 12 %

e) En el vencimiento de la primera letra, y una vez pagada ´esta, sustituimos las dos letras pendientes por una s´ola:

60 90 120

1.200 1.

60 150

X

i = 5 % comisión 2 % sobre nominal letras sustituidas con un mínimo de 50 euros

Por tanto, por equivalencia financiera entre la deuda actual y la futura y teniendo en cuenta que la comisi´on que deber´ıamos pagar ser´ıa 2. 400 · 0 , 02 = 48 euros, y nos exigen un m´ınimo de 50 euros, se tiene:

1. 200

(1 +

deuda actual

comisi´on

X

deuda futura

=⇒ X = 2. 465 , 54 euros

4. El se˜nor L´opez compra un art´ıculo entregando en efectivo 545 euros y firmando 3 letras de nominal 1.500 euros y vencimientos respectivos 60, 90 y 120 d´ıas a un tanto de descuento del 4 %. Transcurridos 30 d´ıas el due˜no de la tienda descuenta las letras en un banco que le aplica un tanto de inter´es del 5 %, y una comisi´on del 1 % sobre el nominal de cada letra con un m´ınimo de 50 euros. 15 d´ıas m´as tarde, el banco vende las letras a un inversor a un tanto de descuento del 5 % y una comisi´on del 0′5 % sobre el nominal de cada letra. Cuando llega el vencimiento de la primera letra, y antes de pagar ´esta, el se˜nor L´opez propone al inversor cambiar las letras pendientes por una s´ola con vencimiento dentro de 90 d´ıas. El inversor acepta, cobrando un tanto de inter´es del 5 %, y una comisi´on del 2 % sobre el nominal de cada letra que interviene en la operaci´on con un m´ınimo de 70 euros. Se pide:

a) Precio del art´ıculo comprado por el se˜nor L´opez. b) Cantidad obtenida por el vendedor al descontar las letras. c) Cantidad pagada por el inversor al comprar las letras. d ) Nominal de la letra que sustituye a las pendientes. e) Tanto de inter´es efectivo del inversor.

Soluci´on

a) Teniendo en cuenta los datos iniciales, se tiene:

P

(^060 90 )

545 1. d = 4 %

1.500 1.

como nos dan un tanto de descuento, utilizaremos descuento comercial, por lo que por equivalencia financiera entre prestaci´on y contraprestaci´on calculamos el precio del art´ıculo:

P = 545 + 1.500(1 −

=⇒ P = 5.000 euros

b) Transcurridos 30 d´ıas, el vendedor acude al banco y descuenta las letras a un tanto de inter´es del 5 % (descuento racional por tanto) y comisi´on de 1 % sobre el nominal de cada una, con un m´ınimo de 50 euros.

30 60 90 120

1.500 1.500 1.

i = 5 % comisión 1 % sobre nominal letras descontadas con un mínimo de 50 euros

la comisi´on ser´ıa 1. 500 · 3 · 0 , 01 = 45, pero como hay un m´ınimo de 50 euros, tomamos como comisi´on el m´ınimo:

L =

efectivo

comisi´on

=⇒ L = 4. 412 , 86 euros

5. El se˜nor Ruiz acude a un concesionario para comprar un coche valorado en 30.000 euros para lo cual entrega en efectivo 6.440 euros y firma tres letras de igual nominal y vencimientos 30,60 y 90 d´ıas respectivamente, a un tanto de descuento del 5 % anual simple y una comisi´on del 1 % sobre el nominal de cada letra. Transcurridos 15 d´ıas, el due˜no del concesionario negocia las letras en un banco que descuenta a un 3 % de inter´es simple semestral y cobra una comisi´on del 0, 5 % sobre el nominal de cada letra. Cuando llega el vencimiento de la primera letra, el Sr. Ruiz no dispone de dinero, por lo que propone al banco cambiar las tres letras por una s´ola con vencimiento dentro de 90 d´ıas. El banco acepta cobrando un 5 % de descuento anual simple y una comisi´on del 1 % sobre el nominal de todas las letras que intervienen en el cambio. Se pide:

a) Nominal de las letras que firma inicialmente el Sr. Ruiz. b) Cantidad obtenida por el concesionario al negociar las letras. c) Nominal de la letra que sustituye a las pendientes. d ) Tanto de inter´es anual efectivo de la operaci´on realizada por el due˜no del concesionario. e) Plantear la ecuaci´on que nos da el tanto de inter´es anual efectivo de la operaci´on realizada por el banco. f ) Plantear la ecuaci´on que nos da el tanto de inter´es anual efectivo de la operaci´on realizada por el Sr. Ruiz.

Soluci´on

a) El esquema de la situaci´on inicial es el siguiente:

0 30 60 90

6.440 (^) N N N

d = 5 % comisión 1 % sobre nominal de cada letra

como nos dan un tanto de descuento, utilizaremos descuento comercial, por lo que por equiva- lencia financiera entre prestaci´on y contraprestaci´on calcular´ıamos el nominal. Observemos que la comisi´on aumentar´ıa el precio del coche.

30 .000 + 3N · 0 , 01 = 6.440 + N (1 −

0 , 05) + N (1 −

0 , 05) + N (1 −

=⇒ N = 8.000 euros b) Transcurridos 15 d´ıas, el due˜no del concesionario acude al banco y negocia las letras a un tanto de inter´es simple semestral i 2 = 3 % (descuento racional por tanto), o lo que es lo mismo a un tanto de inter´es simple anual del 6 %, y comisi´on de 0, 5 % sobre el nominal de cada una, por tanto:

(^1530 60 )

i = 6 % comisión 0,5 % sobre nominal de cada letra

8.000 8.

L =

efectivo

comisi´on

=⇒ L = 23. 701 , 73 euros

c) En el vencimiento de la primera letra, y una vez pagada ´esta, sustituimos las dos letras pendientes por una s´ola:

30 60 90

30 120

X

d = 5 % comisión 1 % sobre nominal de la nueva letra

8.000 (^) 8.

Por tanto, por equivalencia financiera entre la deuda actual y la futura se tiene:

deuda actual

+ (16.000 + X) · 0 , 01

comisi´on

= X(1 −

deuda futura

=⇒ X = 16. 429 , 67 euros

d ) Para calcular la rentabilidad del due˜no del concesionario, tengamos en cuenta que en el momento inicial (0) vendi´o un coche valorado en 30.000 euros, recibi´o en ese momento 6.440 euros en efectivo, y 15 d´ıas m´as tarde obtuvo 23.701,73 euros al negociar las letras. La operaci´on se puede resumir en el siguiente esquema:

0

15

23.701,

Por tanto:

· i

=⇒ i = 0, 144378024 =⇒ i ≃ 14 , 44 %

e) Para plantear la ecuaci´on que nos da el TAE de la operaci´on efectuada por el banco, tengamos en cuenta que en el momento 15 obtuvo las letras por un importe de 23.701,73 euros y que como contraprestaci´on ha recibido 8.000 euros en 30 y 16.429,67 en 120. La operaci´on se puede resumir en el siguiente esquema:

15

23.701,

30

120

16.429,

Por tanto la ecuaci´on ser´ıa:

i

i

=⇒ i ≃ 14 , 78 %

6. Sea i un tanto de inter´es anual compuesto y sea ik un tanto de inter´es k-esimal compuesto (correspondiente

a

k

de a˜no). Deducir la relaci´on que existe entre i e ik para que sean equivalentes, y como consecuencia demostrar que si i 4 tanto de inter´es trimestral compuesto, e i 12 tanto de inter´es mensual compuesto son equivalentes, entonces: i 12 = 3

1 + i 4 − 1

Soluci´on

Consideremos una operaci´on de n a˜nos de duraci´on y calculemos el montante que se obtendr´ıa al invertir C 0 unidades monetarias valorando a i, tanto de inter´es anual compuesto:

C (^0) tanto anual i Cn

n

donde Cn = C 0 (1 + i)n

Si utilizamos el tanto de inter´es k-esimal compuesto ik:

C (^0) tanto k-esimal i k C'n

n

donde C n′ = C 0 (1 + ik)nk

Para que i e ik sean equivalentes, Cn = C n′, por tanto:

C 0 (1 + i)n^ = C 0 (1 + ik)nk^ ⇒ (1 + i)n^ = (1 + ik)nk^ ⇒ n

(1 + i)n^ = n

(1 + ik)nk^ ⇒ 1 + i = (1 + ik)k

Consideremos ahora i 4 un tanto trimestral compuesto, e i 12 un tanto mensual compuesto equivalente a i 4. Sea i el tanto anual compuesto equivalente a ambos tantos, es decir, se debe cumplir:

1 + i = (1 + i 12 )^12 1 + i = (1 + i 4 )^4

Por tanto igualando:

(1 + i 12 )^12 = (1 + i 4 )^4 ⇒ 12

(1 + i 12 )^12 = 12

(1 + i 4 )^4 ⇒ 1 + i 12 = 3

1 + i 4 ⇒ i 12 = 3

1 + i 4 − 1

7. Caja Madrid lanza el Dep´osito 12 Internet y ofrece a sus inversores para operaciones de ahorro a un

a˜no un tanto de inter´es nominal mensual del 12 % durante el primer mes y un 3,70 % nominal

mensual para el resto del a˜no. Calcular el tanto efectivo de la operaci´on.

Soluci´on

Supongamos que invertimos una capital de cuant´ıa C 0 , durante el primer mes J 12 = 0, 12 por tanto i 12 = 0 , 1212 = 0, 01. En los 11 meses restantes J 12 = 0, 037 por tanto i 12 = 0 , 12037 = 0, 0030 ̂8. :

C 0

J 12 = 12 % J 12 = 3,70 %

M 1

Por tanto el montante obtenido a final del a˜no M 1 ser´ıa:

M 1 = C 0 (1 + 0.01)^1 · (1 + 0, 0030 ̂8)^11

Por otro lado si invertimos esta misma cantidad C 0 durante un a˜no a un tanto de inter´es anual compuesto i:

C 0

¿ i?

M 2

obtendr´ıamos un montante M 2 = C 0 (1 + i)^1. Por tanto para calcular el TAE igualamos los montantes obtenidos: M 1 = M 2 =⇒ C 0 (1 + 0.01)^1 · (1 + 0, 0030 ̂8)^11 = C 0 (1 + i)^1 =⇒

(1+0.01)^1 ·(1+0, 0030 ̂8)^11 = (1+i)^1 =⇒ 1 , 044788859 = 1+i =⇒ i = 0, 044788859 =⇒ i ≃ 4 , 48 %