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MATRICES - DETERMINANTE DE
ORDEN MAYOR A 3 - MATRIZ
INVERSA
Sólo somos una raza avanzada de monos en un planeta sin importancia de una estrella muy normal. Pero podemos entender el universo. Eso nos hace muy especiales. STEPHEN HAWKING
LOGRO DE LA SESIÓN:
Al nalizar la sesión, el estudiante aplica conceptos de operaciones elementales para deter- minar la inversa de una matriz
1.7. Determinante de una Ma-
triz de Orden Mayor a 3
Consiste en conseguir que una de las líneas o columnas del determinante esté formada por elementos nulos, menos uno: el elemento base o pivote, que valdrá 1 ó -1. Luego se calcula la determinante de una matriz de orden 3
Operaciones elementales de la:
Intercambiar o permutar dos las fi ←→ fj (se suele hacer si alguna de las las tiene al pivote 1). Multiplicar o dividir una línea por un nú- mero no nulo k · fi (Usualmente el inverso, para obtener el pivote 1 de una la). Sumarle o restarle a una línea otra multiplicada por un número no nulo. k · fi + fj = ˆfj (Se suele hacer para ubicar el 0 debajo de un pivote).
Propiedades de la determinante
Si una matriz tiene dos las iguales o pro- porcionales, su determinante es nulo.
Si permutamos o intercambiamos dos - las o columnas, su determinante cambia de signo.
Si multiplicamos todos los elementos de una línea por un número, el determinante queda multiplicado por el inverso de ese número.
Sumarle o restarle a una línea otra multi- plicada por un número no nulo, el deter- minante no cambia.
Si k es una constante y A matriz de orden ”n”, entonces |kA| = kn^ |A|
Si una matriz es triangular, su determi- nante es igual al producto de los elemen- tos de la diagonal principal.
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Ejemplo 5. : Calcular la determinante de:
A =
Solución. :
1.8. Inversa de una Matriz por
Gauss Jordán
El método consiste en generar la matriz au- mentada
[
A
. I
]
, para luego por operaciones elementales de la ubicar la matriz identidad I en el lado izquierdo de la matriz aumentada, la cual quedará como
[
I
. A−^1
]
Ejemplo 6. : Determine la matriz inversa de A, mediante Gauss - Jordán.
A =
Solución. :
Observaciones: Una matriz A que posee inversa, se llama matriz inversible. Una matriz A que no posee inversa, se llama matriz singular o no inversible. Una matriz A es NO SINGULAR si y so- lo si |A| 6 = 0
Propiedades de Matriz Inversa:
A · A−^1 = I
I( −^1 = I
A−^1
= A
AT^
A−^1
)T
(A · B)−^1 = B−^1 · A−^1
- Calcule la inversa de A =
por el método Gauss - Jordán:
Solución. :
R.: A−^1 =
2 / 5 1 / 6 − 4 / 15 0 1 / 6 1 / 3 − 1 / 5 1 / 6 2 / 15
- Calcular el determinante de la matriz
B =
Solución. :
R.: − 9616
INTRODUCCIÓN A LA MATEMÁTICA PARA LA INGENIERÍA
TAREA DOMICILIARIA
- Calcular |A| si: A =
- Calcular la inversa de la siguiente matriz por el método de Gauss - Jordan. A =
- Calcular la inversa de la siguiente matriz por el método de la adjunta. B =
- Sean: A =
; B =
. Hallar la suma de los elementos de la diagonal
principal de la matriz: M = 2 A−^1 − 2B −^1 + A · B. (Determine las inversas por el método que más le agrade)
- Dadas las matrices A =
; B =
. Determine la matriz X que
satisface la ecuación XA − B = 2I , siendo I la matriz identidad de orden tres. (Determine las inversas por el método que más le agrade)
Respuestas: 1: − 240
2:
17 35
− 13 35
− 1 − 2 7 5
3 1 5 0 35
− 9 35
2 7
1 21 1 1 −^21 4 2 0 1
17 3
− 64 5
− 9 5 2 3
33 137 5 8 15
− 172 5
− 143 5
