Determinante de Matrices, Diapositivas de Matemáticas

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Matemática II

Matrices.

Lic. Eduardo A. Fernández.

FP-UNA-SEDE VILLARRICA

[email protected]

18 de mayo de 2018

Definición

Definición 1 (Determinante de una matriz)

El determinante de una matriz es una función que asocia a cada

matriz cuadrada un único número real.

Ejemplos

A pesar del parecido de las notaciones, el determinante es escrito

con dos barras verticales mientras que la matriz es escrito con dos

corchetes.

Ejemplos

A pesar del parecido de las notaciones, el determinante es escrito

con dos barras verticales mientras que la matriz es escrito con dos

corchetes.

Ejemplo 1

Evaluación de determinantes de orden 2

El determinante de una matriz de orden 2 se obtiene tomando el

producto de las entradas de la diagonal principal y luego restando el

producto de las entradas de la diagonal secundaria. Esto es:

det

[

a 11 a 12

a 21 a 22

]

a 11 a 12

a 21 a 22

= a 11 a 22 − a 12 a 21.

Evaluación de determinantes de orden 2

El determinante de una matriz de orden 2 se obtiene tomando el

producto de las entradas de la diagonal principal y luego restando el

producto de las entradas de la diagonal secundaria. Esto es:

det

[

a 11 a 12

a 21 a 22

]

a 11 a 12

a 21 a 22

= a 11 a 22 − a 12 a 21.

Ejemplo 2

Hallar el determinante. 1 − 3

0 3

Evaluación de determinantes por el método de Sarrus

a 11 a 12 a 13

↘

a 21 a 22 a 23

↘ ↘

a 31 a 32 a 33

↘ ↘

a 11 a 12 a 13

↘

a 21 a 22 a 23

Lo primero que debemos hacer es

hallar el producto de todos los el-

ementos que forman la diagonal

principal, como lo indica la flecha,

así tenemos el siguiente producto:

a 11 · a 22 · a 33

Luego multiplicamos los elemen-

tos que forman las diagonales que

son paralelas a la diagonal princi-

pal, respectivamente, con lo que

tenemos los siguientes productos:

a 21 · a 32 · a 13 y a 31 · a 12 · a 23

Luego los sumamos entre sí y ob-

tendremos:

a 11 · a 22 · a 33 + a 21 · a 32 · a 13 + a 31 ·

a 12 · a 23

Evaluación de determinantes por el método de Sarrus

a 11 a 12 a 13

↙

a 21 a 22 a 23

↙ ↙

a 31 a 32 a 33

↙ ↙

a 11 a 12 a 13

↙

a 21 a 22 a 23

Ahora debemos hallar el producto

de todos los elementos que for-

man la diagonal secundaria, como

lo indica la flecha, y se tendrá:

a 13 · a 22 · a 31

Luego, multiplicamos los elemen-

tos que forman las diagonales que

son paralelas a la diagonal secun-

daria, respectivamente, con lo que

tenemos los siguientes productos:

a 23 · a 32 · a 11 y a 33 · a 12 · a 21

Luego los sumamos entre sí y ob-

tendremos:

a 13 · a 22 · a 31 + a 23 · a 32 · a 11 + a 33 ·

a 12 · a 21

Evaluación de determinantes por el método de Sarrus

Al final hallamos la diferencia entre los números que obtuvimos

(a 11 · a 22 · a 33 + a 21 · a 32 · a 13 + a 31 · a 12 · a 23 ) −

(a 13 · a 22 · a 31 + a 23 · a 32 · a 11 + a 33 · a 12 · a 21 )

Ejemplo 3

Hallar el determinante de la matriz A =

Utilizando el método de Sarrus, tendremos que:

|A| =

Evaluación de determinantes por el método de Sarrus

Ejemplo 4

Hallar el determinante de la matriz B =

Menor de aij

Definición 2 (Menor de aij )

Dada una matriz cuadrada de orden n.

Menor de aij

Definición 2 (Menor de aij )

Dada una matriz cuadrada de orden n.Con una entrada dada de

esta matriz, asociamos la matriz cuadrada de orden n − 1 , obtenida

al eliminar las entradas de la fila y la columna a los que la entrada

dada pertenece.

Ejemplo

Ejemplo 5

Hallar el menor de la entrada a 23. 

Vemos que la entrada a 23 = 6, entonces eliminamos toda la fila y

columna al cual pertenece el 6 y nos resulta la siguiente matriz

cuadrangular [ 2 − 1

0 − 1

]

Y al hallar el determinante de esta matriz se obtiene el menor de 6

que es igual a − 2.

Cofactor de aij

Definición 3 (Cofactor de aij )

El cofactor de la entrada aij es el producto de (−1)

i+j y el menor

de aij.