matematica vectores 2025, Guías, Proyectos, Investigaciones de Arquitectura

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Se llama Lugar Geométrico al conjunto de

puntos del plano o del espacio que cumplen

una determinada propiedad.

Lugar geométrico en el plano o en el espacio

Lugar geométrico en el espacio

F ( x , y ) = 0

F ( x , y , z ) = 0

I. Un Punto perteneciente a la recta y una dirección

Por sumas de Vectores:

Pero: entonces

Ecuación Vectorial de la Recta

O

1

1

P=(p1;p2)

OP

X=(x;y)

OX

u

PX

OX = OP + PX

PX =  u OX = OP +  u 

Ecuación Vectorial de la Recta

Para deducirla se partirá de la expresión vectorial:

Por igualdad de vectores debe verificarse:

Ecuación Paramétrica de la Recta

OX = OP +  u

1 2 1 2

( ; x y ) = ( p ; p ) + ( u u ; )

1 1 2 2

( ; x y ) = ( p +  u ; p +  u )

2 2

1 1

y p u

x p u





Se partirá de la ecuación simétrica:

Si en la ecuación anterior llamamos:

Nos quedará:

Ecuación General o Implícita

0 0

( ) ( )

2 2 1 1 1 2 2 1 2 1 1 2

2 1 1 2 2 2 1 1 1 2

2

2

1

1

 −  −  +  =   −  −  +  =

  − =  −   −  =  −  

−

=

−

u x u p u y u p u x u y u p u p

u x p u y p u x u p u y u p

u

y p

u

x p

2 1 2 1 1 2

A = u B =− u C =− u  p + u  p

A  x + B  y + C = 0

Se deberá partir de la forma simétrica:

Si llamamos:

Quedará:

Ecuación de la Recta dados un punto y su pendiente

( ) ( )

1

1

2

2

2

2

1

1

x p

u

u

y p

u

y p

u

x p

 − =  −

−

=

−

pendiente y P p p punto recta

u

u

m = = ( ; ) 

1 2

1

2

( )

2 1

y − p = m  x − p

Sean y dos puntos de la recta y

sea un punto genérico de la recta anterior:

( , )

1 1

A = x y ( , )

2 2

B = x y

P =( x , y )

Se consideran los triángulos ARB y ASP.

De la proporcionalidad de sus lados resulta:

AR

AS

BR

PS

=

(1)

1

PS = y − y

1

AS = x − x

2 1

BR = y − y

2 1

AR = x − x

Reemplazando en ( 1 ) queda:

2 1

1

2 1

1

x x

x x

y y

y y

2 1

x  x

2 1

y  y

con

;

Ecuación de la recta dada por dos puntos

Siendo:

I) Recta que corta a los 2 ejes

II) Recta paralela al eje x (Recta horizontal)

III) Recta paralela al eje y (Recta vertical)

A  0 B  0 C  0  Ax + By + C = 0

B

C

A = 0 B  0 C  0  By + C = 0  y = −

A

C

A  0 B = 0 C  0  Ax + C = 0  X = −

3

2

3

4

4 x + 3 y − 2 = 0  y = − x +

3

2

3 y − 2 = 0  3 y = 2  y =

2

1

4 x − 2 = 0  4 x = 2  x =

Desde el punto de vista vectorial el ángulo formado entre

dos rectas es equivalente al ángulo formado por sus

respectivos vectores directores:

Sean las rectas de ecuaciones vectoriales:

1 1 2 2 1 2

r : ( ; x y ) = ( a ; a ) +   u  r : ( ; x y ) = ( b b ; ) +   v

El ángulo formado por estas rectas estará determinado por:

.

.

cos cos

u v

u v

arc

u v

u v

 

 

 

 

 

 

=  =

1 1 1 2 2 2

r : y = m x + b r : y = m x + b

En forma Vectorial: sean las rectas en forma vectorial:

Diremos que:

I) Dos rectas son paralelas si lo son sus

vectores directores

II) Dos rectas son perpendiculares si lo

son sus vectores directores

1 1 2 2 1 2

r : ( ; x y ) = ( a ; a ) +   u  r : ( ; x y ) = ( b b ; ) +   v

1 2

r r  u v

1 2

r ⊥ r  u ⊥ v

Es condición necesaria y suficiente para que dos rectas

sean paralelas que sus pendientes sean iguales.

En forma cartesiana: el problema se resuelve de la

siguiente manera:

I) Dos rectas son paralelas si forman un ángulo de 0º

 =  − = 

• 

−

= 0 0

1

0 º

2 1

2 1

2 1

m m

m m

m m

tg

2 1

m = m

=  = 0 

ˆ

2 1

m m tg  0 º

ˆ

Recíprocamente si