matematica conicas 2025, Diapositivas de Arquitectura

¡Descarga matematica conicas 2025 y más Diapositivas en PDF de Arquitectura solo en Docsity!

Matemática II - Cátedra Santa Maria 1

 Parte II 

Es la cónica que se obtiene cuando el plano que corta a la

superficie es paralelo al eje de la misma y no pasa por el

vértice.

Hipérbola

2

4

Elementos de la Hipérbola

Centro: (0;0)

Semieje real: a

Eje focal: eje x

Focos: Semieje imaginario: b

Eje imaginario: eje y

Vértices reales Vértices imaginarios

V 1 = ( ;0) a V 2 = ( − a ;0)

F 1 = ( ;0) c F 2 = ( − c ;0)

V 3 = (0; b ) V 4 = (0; − b )

5

Elementos de la Hipérbola Asíntotas En la hipérbola aparece un elemento nuevo que no tiene ninguna de las otras cónicas: las asíntotas y sus ecuaciones, siendo el C ( 0 ; 0 ) son:

¿Cómo se calculan?

y b x = a

En este caso las asíntotas son rectas que pasan por el origen entonces su ecuación es de la forma 𝒚 = 𝒎𝒙. Debemos buscar las pendientes 𝒎 Tomamos dos puntos cualesquiera ( 0 ; 0 ) y (a ; b). La pendiente de la recta que pasa por ellos es: Tomamos dos puntos cualesquiera ( 0 ; 0 ) y ( − a ; b). La pendiente de la recta que pasa por ellos es:

0 0 m b^ m b a a = −  = − 0 0 m b^ m b a a = −  = − − −

y b x = − a

7

Calculamos la constante: Recordamos que : Tomamos un punto P que se encuentra en el vértice y como los focos son entonces podemos escribir:

Podemos escribir:

Hipérbola

F 1 (^) = ( ;0) , c F 2 = ( − c ;0)

V 1 (^) = ( ;0) a

d P F d P F k c a a c k c

− a − a − c ) 2 2

k a k k a

H = { P x y ( ; ) / | d P F ( , (^) 1 (^) ) – d P F ( , (^) 2 )| = cte }

P x y ( ; ) pertenece a la hipérbola | d P F ( , (^) 1 (^) ) – d P F ( , 2 ) |= 2 a

Hipérbola

8

Los focos son: entonces calculamos:

Reemplazamos los resultados obtenidos en la expresión (1)

Hacemos algunas operaciones algebraicas y llegamos a:

Ecuación Canónica de la Hipérbola

de centro 𝟎; 𝟎 y eje focal x

d P F ( , 1 ) = ( x − c ) 2 + ( y − 0) 2 = ( x − c )^2 + y^2 d P F ( , 2 ) = ( x − −( c ))^2 + ( y − 0)^2 = ( x + c )^2 + y^2

( x − c )^2 + y^2 − ( x + c )^2 + y^2 = 2 a

P ( x y ; ) pertenece a la hipérbola  d P,F ( 1 (^) ) − d P,F ( 2 ) = 2a

𝑥^2 𝑎^2 −^

𝑦^2 𝑏^2 =^1

F 1 (^) = ( ;0) , c F 2 = ( − c ;0)

10

Excentricidad

La excentricidad de la hipérbola (𝜺) indica su forma.

Se define como: () (donde 𝒄 > 𝒂 )

Si tenemos en cuenta que y reemplazamos a c en

(), entonces resulta:

c

a

 =

2 2

a b 1

a

 = +^ +   

c^2 = a^2 + b^2

NOTA : La excentricidad mide la abertura mayor o menor de las ramas de la hipérbola. Si la excentricidad es muy próxima a uno, la hipérbola tiende a una “recta partida”. Cuando la excentricidad de la hipérbola crece, tiende a dos rectas paralelas al eje imaginario, o dicho de otra forma, las dos ramas de la hipérbola están más abiertas.

11

Ejemplos - Hipérbola

1. Graficar la hipérbola e indicar sus elementos.

Centro: Semieje real: Semieje imaginario: Vértices reales: Vértices imaginarios: Focos:

Eje focal: Asíntotas:

Excentricidad:

V 1 (^) = ( 4;0 ) V 2 = ( −4;0)

(0;0) a^ =^4 b = 3

2 2 2 2 2 2 2 2

4 3 16 9 25 5

c a b c c c c

= +  = + = +  =  = F 1 (^) = ( 5;0 ) F 2 = ( −5;0)

2 2 16^ x^ −^9 y =^1

V 3 (^) = ( 0;3 ) V 4 = (0; − 3 )

y = 0 (^3) , 3 4 4 y b^ x x y b x x = (^) a = = − (^) a = − 5

4

c  = (^) a =

13

Ejemplos - Hipérbola

2. Hallar la ecuación de la hipérbola de foco , de vértice y

centro Ubicamos los datos en un gráfico. El eje focal es el eje x y su ecuación es y = 0 El foco es , luego , como está a la derecha del centro , lo llamamos . El vértice es un vértice real, luego , lo llamamos. La ecuación canónica de la hipérbola con centro y eje focal x es: ( 1 ) Nos falta b , el semieje imaginario. Sabemos que ,entonces reemplazamos y resulta: Reemplazamos en ( 1 )

F (4;0) V (2;0) C (0;0)

F (4;0) c = 4 C (0;0) F 1 (4;0) V (2;0) a = (^2) V 1 (2;0) 2 2 (0;0) 2 2 1

x y a^ −^ b = 2 2 2 c = a + b 42 = 2 2 + b^2  16 = 4 + b^2^  b^2 = 12  b = 2 3 2 2 (^22) (2 3)^2

x (^) − y = ^2 4 12

x (^) − y =

c = 4

a = 2

Eje focal

14

Ejemplos - Hipérbola

3. Hallar las coordenadas de los vértices y de los focos, las ecuaciones

de las asíntotas y la excentricidad de la hipérbola A partir de la expresión dada, obtenemos la expresión canónica. Dividimos miembro a miembro por 144 Simplificamos y obtenemos la expresión canónica Observando los denominadores se deduce que:

Vértices reales ,Vértices imaginarios Calculamos c reemplazando en Entonces , luego Asíntotas: Excentricidad:

9 x^2 − 16 y^2 = 144

2 2 2 2

9 16 144 9 16 144 144 144 144

x y x y

− = − =

a^2 = 16  b^^2 =^9 

F 1 (^) ( 5;0) F 2 ( − 5 ;0 )

V 1 (^) ( 4;0) V 2 ( − 4 ;0 ) c (^2) = a (^2) + b 2 V 3 (^) ( 0;3) V 4 (0;−3) c^2 = 4 2 + 3 2  c^2 = 25 

2 2 16^ x^ −^9 y =^1 a =4, semieje real a^ = 3, semieje imaginario

c = 5 c  = (^) a  5  = 4 y b x = (^) a  3 y = − 4 x 3 y = 4 x y b x = − (^) a 

16

Centro: (0;0)

Semieje real: a

Eje focal: eje y

Semieje imaginario: b

Eje imaginario: eje x

Vértices reales:

Vértices imaginarios:

Focos:

Asíntotas:

V 1 = (0; a ) V 2 = (0; − a )

V 3 = ( ;0) b V 4 = ( − b ;0)

F 1 = (0; ) c F 2 = (0; − c )

y a x = b y a x = − b

Hipérbola con centro en (𝟎; 𝟎) y eje focal y

17

Hipérbola con centro en 𝑪(𝒉; 𝒌) y eje paralelo al Eje y

Centro: Semieje real: a Semieje imaginario: b

Eje focal: 𝒙 = h

Focos:

Vértices reales:

Vértices imaginarios:

Asíntotas:

F 1 (^) = ( ; h k + c )

V 3 (^) = ( h + b k ; )

C = ( ; h k )

F 2 (^) = ( ; h k − c )

V 1 (^) = ( ; h k + a ) V 2 (^) = ( ; h k − a )

V 4 (^) = ( h − b k ; )

y − k =^ ab ( x − h ) y − k = −^ ab ( x − h )

k

h ( ) 2 ( )^2 2 2 1

y k x h a b

− (^) − − =

19

( 3)^2 ( 1) 2 −^ x^ + 4 + y − 9 = 1

Se trata de una hipérbola con eje focal paralelo al eje y. Su semieje real es a = 3 , y es paralelo al eje y. Su semieje imaginario es b = 2 , y es paralelo al eje x. Su centro es (−𝟑; 𝟏) Sus vértices reales son: 𝑽𝟏 = (− 𝟑; 𝟒) y 𝑽𝟐 = (− 𝟑; −𝟐) Sus vértices imaginarios son: 𝑽𝟑 = (− 𝟏; 𝟏) y 𝑽𝟒 = (− 𝟓; 𝟏) Focos: 𝒂𝟐^ + 𝒃𝟐= 𝒄𝟐→ 𝟗 + 𝟒 = 𝟏𝟑 → 𝒄𝟐^ = 𝟏𝟑 ∴ 𝒄 = 𝟏𝟑 ≅ 𝟑, 𝟔

Ejemplos – Hipérbolas (continuación)

𝑭𝟏 = (− 𝟑; 𝟏 + 𝟏𝟑) y 𝑭𝟐 = (− 𝟑; 𝟏 − 𝟏𝟑)

Centro

(− 𝟓; 𝟒) (− 𝟏; 𝟒)

(− 𝟓; −𝟐) (^) (− 𝟓; −𝟏)

20

Una de las asíntotas de la hipérbola pasa por los puntos (−𝟑; 𝟏) y (−𝟏; 𝟒) : La pendiente es (^) −𝟏𝟒−−(𝟏−𝟑) = 𝟑 𝟐

Reemplazamos en la ecuación de la recta que pasa por un punto: 𝒚 − 𝒚𝟎 = 𝒎(𝒙 − 𝒙𝟎) 𝒚 − 𝟏 = 𝟑 𝟐 (𝒙 + 𝟑) → 𝒚 = 𝟑 𝟐 𝒙 + 𝟏𝟏 𝟐

La otra asíntota de la hipérbola pasa por los puntos (−𝟑; 𝟏) y (−𝟓; 𝟒) : La pendiente es (^) −𝟓𝟒−−(𝟏−𝟑) = − 𝟑 𝟐

Reemplazamos en la ecuación de la recta que pasa por un punto: 𝒚 − 𝒚𝟎 = 𝒎(𝒙 − 𝒙𝟎) 𝒚 − 𝟏 = − 𝟑 𝟐 𝒙 + 𝟑 → 𝒚 = − 𝟑 𝟐 𝒙 − 𝟕 𝟐

Ejemplos – Hipérbolas (continuación)

Centro

Centro