Examen de Matem´aticas Ciencias Ambientales, Facultad de Biolog´ıa, UB, a 28 de Enero de 2014
Problema 1 ( 2,5 puntos)
Calcule el polinomio de Taylor de grado nde la funci´on f(x) = e−2x, en el punto 0, Pn(x). Para ello, detalle cu´al es la
derivada de orden kde esta funci´on. Obtenga expl´ıcitamente la forma de Lagrange del resto de Taylor correspondiente
al polinomio de grado n,Rn(x). Utilice los resultados anteriores para calcular f(1) con un error inferior a 10−5.
(Indicaci´on: considere que 0 < e < 3).
Problema 2 ( 2,5 puntos)
Sea la matriz
A=
2 0 0
0 1 1
0 1 1
Halle el polinomio caracter´ıstico de A. Halle todos los valores propios de A. ¿Es Adiagonalizable? En caso afirmativo
halle una base de vectores propios.
Problema 3 ( 2,5 puntos)
Para estudiar la diversidad de un ecosistema donde conviven nespecies de seres vivos los ec´ologos emplean un ´ındice
(entrop´ıa) definido por la expresi´on
S(p1,...,pn) = −
n
X
i=1
piln pi
donde pi∈(0,1), i= 1,...,n es el tanto por uno de biomasa de la especie ”i” (n´otese que la suma de todos los piha
de ser igual a 1). Determine los posibles extremos de la funci´on la entrop´ıa, discutiendo si se tratan de m´aximos o
m´ınimos relativos o puntos de silla. Puede utilizarse el valor n= 3 para mayor simplicidad.
Problema 4 ( 2,5 puntos)
El Scelidotherium leptocephalum era un mam´ıfero de considerables dimensiones y muy abundante en Am´erica del
Sur durante el Pleistoceno, pues se encuentra con frecuencia en los dep´ositos sedimentarios de dicho per´ıodo. La
Figura 1 muestra un dibujo de la reconstrucci´on de su esqueleto. Este animal desapareci´o del registro f´osil har´a unos
Figure 1: Scelidotherium leptocephalum
50000 a˜nos, dataci´on realizada mediante la proporci´on de carbono 14 pre-
sente en los restos f´osiles encontrados hasta la fecha. ¿Cu´al es el tanto por
ciento de 14Cque podemos esperar encontrar como m´aximo en los restos
de Scelidotherium leptocephalum?
Breve descripci´on del m´eto do de dataci´on del carbono 14: el 14Cse p roduce en
la alta atm´osfera como consecuencia de la radiaci´on c´osmica: al colisionar un neutr´on con un
n´ucleo de nitr´ogeno, 14N, se puede descomponer este, form ado 14Cy liber´andose un prot´on.
El 14Ces u n elemento radioactivo inestable que se descomp one espont´aneamente, gene rando
en dicha descomposici´on radiaci´on bet a, siendo la velocidad de desintegraci´on del 14 Cdirec-
tamente proporcional a la cantidad del mismo, con un p er´ıodo de semidesintegraci´on de 5730
a˜nos (tiempo que tarda una determinada cantidad de sustanci a radioactiva en desintegrarse
hasta quedar reducida a la mitad). El 14 Cse encuentra en equilibrio con otros is´otopos del carbono, de tal forma que su porcentaj e, respecto el
total de carbono atmosf´erico es de un 1,3·10−10 %, cantidad que supuestamente ha permanecido constante, al m enos de forma aproximada, a lo
largo del tiempo. Debido a este equilibri o, esta proporci´on coincide tambi´e n con la proporci´on de 14Cen los tejidos de los seres vivos. Al morir
un ser vivo, deja de incorporar 14 Cde la atm´osfera, y este, poc o a poco, va desapareciendo. Por tanto el porcentaje de 14 Ce n unos restos f´osiles
permite datarlo.
