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Prueba Final 2017
Tipo: Exámenes
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Página Principal / Mis asignaturas / 2119 - MATEMATICAS III - MAÑANA A - 1Q / Evaluación / Prueba final (9 de enero de 2017)
Comenzado el lunes, 9 de enero de 2017, 15: Estado Finalizado Finalizado en lunes, 9 de enero de 2017, 17: Tiempo empleado 2 horas 14 minutos Calificación 25,38 de 100,
Parcialmente correcta Puntúa 11,54 sobre 25,
Nota: la tolerancia para las respuestas numéricas es ±0.01. Un laboratorio de análisis sanguineos ha publicado algunas estadísticas de los análisis realizados en el último mes a 1110 pacientes. De estos análisis, el 48% corresponden a mujeres y el resto a hombres.
del nivel de colesterol en sangre (mg/dL) : Grupo Frecuencia 0 388 A 366
este caso es igual a
Además, el grupo sanguíneo y el factor RH se distribuyen de la siguiente forma: RH Grupo Positivo Negativo 0 337 51 A 300 66 B 229 37 AB 84 6
El coeficiente χ2 de Peorson para esta tabla resulta ser
Además, se ha observado el nivel de colesterol en sangre (mg/dL), obteniendo los siguientes resultados:
El cálculo del coeficiente es: χ2 = ∑i=1 Nx ∑j=1 Ny [ ( nij - eij )2 eij ]=8.8257.
Y la v de cramer resulta: V= χ2 N( min ( Nx , Ny )-1) = 8.8257 1110 =0.
Respecto a los datos sobre el colesterol, se puede ver que los datos son claramente asimétricos, no se ajustan bien a una normal y el boxplot presenta datos atípicos (mostrados como círculos por encima o por debajo de losbigotes de la caja). Observando el boxplot, se puede ver que 62. es el primer cuartil y, por la propia definición de este estadístico, resulta que el 25% de las observaciones son inferiores a él.
Parcialmente correcta Puntúa 3,13 sobre 25,
El proceso de producción consiste en tres fases secuenciales: 1-cortado, 2-lijado y 3-pintado. Al final de cada fase, cada pieza se somete a un control de calidad. Se ha detectado que la fase de cortado obtiene un 84% de productos correctos, la fase de lijado un 94% y la fase de pintado un 83%. Calcular las probabilidades que se piden: a. ¿Cuál es la probabilidad de que una válvula se deseche en la fase de cortado (tolerancia=0.005)
b. ¿Cuál es la probabilidad de que una válvula se deseche en la fase de lijado (tolerancia=0.005)
c. ¿Cuál es la probabilidad de que una válvula se deseche en la fase de pintura (tolerancia=0.005)
d. ¿Cuál es la probabilidad de que una válvula NO se deseche (tolerancia=0.005)
e. Si una válvula se desecha, ¿Cuál es la probabilidad de sea por un problema en la fase de lijado (tolerancia=0.005)
f. ¿Cuál es la número medio de piezas desechadas en un lote de 100 (tolerancia=0.5)
g. Un lote de 10 piezas se considera aceptable si tiene a lo sumo una pieza no correcta. ¿Cuál es la probabilidad de que un lote sea aceptable (tolerancia=0.005)
h. Si cada fase de producción y cada control de calidad tiene un coste de 1 euro y 0.02 euros, respectivamente, y las piezas no rechazadas se venden a 12 euros, ¿cuál es el beneficio esperado por pieza fabricada (resulte o no desechada)? (tolerancia=0.05)
Definimos los siguientes sucesos: C, la pieza se desecha en la fase de cortado. L, la pieza se desecha en la fase de lijado.
Sin contestar Puntúa como 25,
Nota: la precisión utilizada en los datos numéricos es 0.01. El tiempo de fermentación de una bacteria (en minutos), X, se puede aproximar mediante una variable aleatoria con función de densidad f(x)= 1 a x si 0≤x≤4 y 0 en otro caso. ¿Cuál es el valor de la constante a?
¿Cuál es el tiempo medio de fermentación?
¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de fermentación esté entre 1.1 y 2.4 minutos?
¿Cuál es percentil 90?
¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de fermentación sea mayor que 2.4 minutos, sabiendo que, como mínimo dicho tiempo es 1.1 minutos?
Para determinar el valor de la constante a, hay que recordar que la integral de la función de densidad debe ser 1: 1= ∫-∞ ∞ f(x)dx= ∫0 4 a xdx= 2a 42
De donde, a=8. La media de una variable aleatoria continua se calcula como: E(X)= ∫-∞ ∞ xf(x)dx= ∫0 4 0.125 x2 dx= 0.125 3 43 =2.
La probabilidad de que el tiempo de fermentación esté entre 1.1 y 2.4 se obtiene integrando la función de densidad: P(1.1≤X≤2.4)= ∫1.1 2.4 f(x)dx= ∫1.1 2.4 0.125xdx= 0.125 2 (2. 42 -2. 42 )=0.
El percentil 90 se calcula como el valor tal que la probabilidad de que la variable tome un valor igual o menor que él es 0.9. Se puede obtener fácilmente integrando la función de densidad. Sea K el valor buscado, 0.9=P(X≤K)= ∫0 K f(x)dx= ∫0 K 0.125xdx= 0.125 2 K
Despejando K, se obtiene K= 2·0.9 0.125 =1.
Por último, para calcular la probabilidad de que el tiempo de fermentación sea mayor de 2.4, supuesto que es superior a 1.1, debemos aplicar la definición de la probabilidad condicionada:
Recordemos que integrando la función de densidad, sabemos que: F(K)=P(X≤K)= 0.125 2 K2 ,
para K∈[0,4]. Por tanto, 1-F(K)=P(X≥K)= 0.125 2 ( 42 - K2 )
Y, sustituyendo y operando, resulta: P(X≥2.4/X≥1.1)= 42 -2. 42 42 -1. 12 =0.
A la vista de los datos y los gráficos para la muestra de las 109 estaciones: ¿Se puede aceptar que la variablenivel de dióxido de nitrógeno se ajusta a una distribución
¿Tiene la variable nivel de dióxido de nitrógeno algún dato que pueda considerarse atípico?
Proporcione una estimación puntual para elnivel de dióxido de nitrógeno: La media:
La desviación típica:
Obtener un intervalo con un nivel de confianza del 90% para el nivel medio de dióxido de nitrógeno en Madrid: Límite inferior del intervalo:
Límite superior del intervalo:
A la vista de este intervalo de confianza, ¿tenemos suficiente evidencia estadística para aceptar la hipótesis de que el nivel medio de dióxido de nitrógeno en Madrid es de 128 (con un nivel de
El protocolo de lucha contra la contaminación establece que deben tomarse medidas para reducir la contaminación si se miden más de 200 mg/m3 en alguna estación. En la muestra tomada, resulta que el 3.67% de las mediciones fueron superiores a 200 mg/m3: el 3.77% de las mediciones en las estaciones permanentes y el 3.57% de las mediciones en las estaciones móviles. ¿Existe alguna razón para creer que hay una diferencia significativa entre la proporción de mediciones superiores a 200 mg/m3 según el tipo de estación, permanente o móvil? Contestar a esta pregunta realizando un test de hipótesis con un nivel de significación α=10% sobre
En concreto, el contraste de hipótesis que se debe plantear es:
donde pP y pM son las proporciones de estaciones cuyas medidas de No2 excede los 200 mg/mm3, respectivamente. La región de rechazo asociada a este contraste es:
donde EC es el estadístico de contraste, z(α) denota el centil 1-α de la distribución N(0,1) y t(n,α) denota el centil 1-α de la distribucion t-student con n grados de libertad. Una vez realizados los cálculos, se obtiene el siguiente valor del estadístico de contraste para la muestra seleccionada: EC=
evidencia estadística para rechazar la hipótesis nula.
A la vista del los datos, se puede concluir que la variable en estudio se puede ajustar a una distribución normal (tanto los datos conjuntos como los datos de cada uno de los tipos de vehículos). Una buena estimación puntual para la media y la desviación típica viene viene dada por la media y la cuasi-varianza de la muestra tomada, esto es, 142.4119 y 918.222, respectivamente. Para calcular el intervalo de confianza, debemos considerar que tenemos una muetras suficientemente grande (109 mediciones). Por tanto, el intervalo de confianza al 90% para el nivel medio de No2 es: [ x ‾ - zα/2 sn-1 2 n , d ‾ + zα/2 sn-1 2 n ] = [142.4119 - 1.6449 918.222 109 , 142.
donde x ‾ es el nivel medio de No2 en la muestra seleccionada. Para saber si tenemos suficiente evidencia estadística para aceptar la hipótesis de que el nivel medio de dióxido de nitrógeno en Madrid es de 128, se debe plantear un contraste sobre la media de la población μ de tipo bilateral: H0 : μ=128 H1 : μ≠
La decisión se puede tomar a partir del intervalo de confianza que se acaba de calcular, de forma que, como 128 NO pertenece al intervalo de confianza [137.6377, 147.1861], tenemos suficiente evidencia estadística para rechazar H0 , esto es NO tenemos suficiente evidencia estadística para aceptar la hipótesis de que el nivel medio de dióxido de nitrógeno en Madrid es de 128. Respecto del constraste de hipótesis planteado, se trata de comparar la proporción de dos muestras independientes. En particular, el contraste planteado es: HO : pP = pM. H1 : pP ≠ pM. donde pP y pM son las proporciones de medidas de No2 superiores los 200 mg/m3 en las estacioens permanentes y móviles, respectivamente. La región de rechazo asociada a este contraste es: RR={EC tal que |EC|> zα/2 = z0.05 =1.6449}
donde EC es el estadístico de contraste: EC= p ^ X - p ^ Y p ^ 0 (1- p ^ 0 )( 1 n1 + 1 n2 ) ,
donde p ^ 0 = n1 p ^ P + n2 p ^ M n1 + n2 = 53·0.0377+56·0.0357 53+56 =0.
ya que, en nuestro caso tenemos que n1 =53, n2 =56, p ^ P =0.0377 y p ^ M =0.0357. Por tanto, resulta p0 =0.0367. Una vez realizados los cálculos, se obtiene el siguiente valor del estadístico de contraste para la muestra seleccionada: EC= 0.0377-0.0357 0.0367(1-0.0367)( 1 53 + 1 56 ) ,=0.
A la vista de los resultados de la muestra, podemos afirmar que NO tenemos suficiente evidencia estadística para rechazar la hipótesis nula, ya que el valor del estadístico de contraste NO cae dentro de la región de rechazo.
