Examen de Matemáticas - 3 de febrero de 2017
1. (1 pt.) Resolver las siguientes integrales:
(a)
Zx2e2xdx,
(b)
Zcos x
√sen xdx.
2. (1.5 pt.) Se considera una población que evoluciona según una ecuación logística pero que,
además, está sometida a una explotación por parte del hombre que reduce el tamaño de la
población en 15 individuos por unidad de tiempo. Esta situación se modela con la ecuación
y0=y1−
y
60−15,
donde
y(t)
representa el número de individuos en el tiempo
t
.
(a) Si inicialmente hay 100 individuos, ¾cuántos individuos habrá en el tiempo
t
?
Indicación:
Resolver la ecuación diferencial con el método de variables separables.
(b) ¾Qué sucede a largo plazo?
3. (1.5 pt.) En un lago cada año se pescan 500 peces. A pesar de la pesca, la población de peces
del lago se mantiene estable todos los años en 10000 individuos. Suponiendo que el porcentaje
anual de crecimiento natural de los peces es constante, modelar la situación mediante una
ecuación en diferencias y calcular dicho porcentaje de crecimiento anual.
4. (1 pt.) Cierto microorganismo atraviesa 3 fases en su desarrollo: a, b y c. En cada unidad de
tiempo sucede lo siguiente:
el 60 % de los individuos en fase a mueren, y de los que sobreviven, la mitad pasan a
la fase b y la otra mitad pasan directamente a la fase c;
el 40 % de los individuos en fase b evolucionan a la fase c y el resto mueren;
el 25 % de los individuos en fase c mueren, y todos los restantes logran reproducirse
dando lugar cada uno a 100 individuos en fase a y a 50 en fase b.
Modelar la situación mediante un sistema de ecuaciones en diferencias y escribirlo en forma
matricial.
Solo plantear, no resolver.
5. (1.5 pt.) Calcular los autovalores y autovectores de la matriz
A=
6 3 −1
0 4 0
4 6 2
.
¾Es
A
diagonalizable? ¾Por qué?
6. (1 pt.) Contestar las siguientes cuestiones breves:
(a) Enunciar el Teorema de Bolzano.
(b) ¾Qué es una ecuación diferencial lineal?
(c) Dar la denición de matriz diagonalizable.
(d) Dar un ejemplo, si es posible, de una matriz diagonalizable que no sea invertible.