Examen de Matemáticas - 4 de septiembre de 2009
1. (1 pt.) Calcular la derivada de la siguiente función:
f(x) = x2tan x
√x3+ 2x+ 1 .
2. (1 pt.) Calcular la siguiente integral:
Z(x3+ 2x+ 1 + cos(2x)) dx .
3. (1 pt.) Hallar la solución general de la siguiente ecuación diferencial lineal:
y0=y+et.
4. (1 pt.) Hallar la solución de la ecuación del ejercicio anterior que verica
y(0) = 2
, y comprobar
el resultado.
5. (1 pt.) El ritmo de crecimiento de de una levadura es proporcional a la masa presente. Modelar
esta situación mediante una ecuación diferencial. Sabiendo que a las 12:00 la masa era de 100
gr. y a las 13:00 era de 200 gr. Calcular cuánta masa habrá a las 14:00.
6. La interacción entre dos especies ha sido modelada mediante el siguiente sistema:
x0=x+ 4y
y0= 3x+ 2y
(a) (0.25 pt.) ¾qué tipo de relación existe entre las especies?
(b) (1.25 pt.) resolver el sistema sabiendo que
x(0) = 200
e
y(0) = 1600
.
(c) (0.5 pt.) ¾se extingue alguna de las especies con el paso del tiempo?, ¾cuál de las dos
poblaciones crece más rápidamente?
7. (1 pt.) En un parque natural la población de águilas se reduce a la mitad cada año, debido a la
falta de alimento y a la contaminación del aire. Para evitar su desaparición, el gobierno decide
traer cada año cinco ejemplares procedentes de otra zona. Modelar la situación mediente una
ecuación en diferencias.
Sólo plantearla, no es necesario resolverla
. ¾Es una solución
efectiva desde el punto de vista matemático, qué pasará a largo plazo?
8. (1 pt.) Denir los conceptos de matriz cuadrada, matriz diagonal, matriz identidad y matriz
inversa. Explicar razonadamente cuál es la inversa de la matriz identidad.
9. (1 pt.) Efectuar la siguiente operación de matrices:
2 2 −1
3−1 0
−217
102
2−3 0
1 1 −1
−2
−1 5 0
−2 1 1
−3 4 0
+
1
2
3
4−2−1