Examen de Matemáticas - 8 de febrero de 2008
1. (1 pt.) Calcule la derivada de la siguiente función:
f(x) = sen(x3) + x√x
cos(3x).
2. (1 pt.) Calcule la siguiente integral:
Ze2xx2dx .
3. (1 pt.) Halle la solución general de la siguiente ecuación diferencial lineal:
2y0=y+et.
4. (1 pt.) El ritmo de crecimiento de de una levadura es proporcional a la masa presente. Sabiendo
que a las 12:00 la masa era de 100 gr. y a las 13:00 era de 200 gr. Calcule cuánta masa habrá
a las 14:00.
5. La interacción entre dos especies ha sido modelada mediante el siguiente sistema:
x0= 2x+y
y0=x+ 2y
(a) (0.25 pt.) ¾qué tipo de relación existe entre las especies?
(b) (1.25 pt.) resuelva el sistema sabiendo que
x(0) = 500
e
y(0) = 300
.
(c) (0.5 pt.) ¾se extingue alguna de las especies con el paso del tiempo?
6. (1 pt.) En un ecosistema la población de mosquitos duplica su tamaño cada semana debido
a su crecimiento natural. Inicialmente la población era de 5000. Además, procedentes de otro
ecosistema, cada semana se incorporan a la población un número creciente de individuos: 1000
al principio, 1100 la primera semana, 1200 la segunda, etc. Modele la situación mediente una
ecuación en diferencias.
Sólo plantearla, no es necesario resolverla
.
7. (1 pt.) Encuentre una solución particular de la forma
xn=a n2
para la ecuación:
xn−xn−1= 6n−3.
8. (1 pt.) Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones
utilizando el método de Gauss
.
x+ 3z= 6
x−2y+z= 0
2x+y−2z=−3
9. Una población celular está dividida en dos tipos:
a
y
b
. Sabemos que, a lo largo de un
día, cada célula de tipo
a
se transforma en una de tipo
b
, y cada célula de tipo
b
se
transforma y da lugar a dos de tipo
a
. Esquemáticamente, lo representamos así:
a→b, b →aa.
(a) (0.5 pt.) Establezca un sistema de ecuaciones en diferencias que modele la situación, y
expréselo en forma matricial.
(b) (0.5 pt.) Si inicialmente hay una célula de cada tipo, calcule cuántas células de cada clase
habrá al cabo de 3 días
utilizando el producto de matrices y vectores
.