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UNIVERSITAT DE LLEIDA
DEPARTAMENT DE MATEM `ATICA
ETSEA
Matem`atiques II - Ex 1A - 14 de Mar¸c de 2016
Model A
Trobeu
∫ f (x) dx essent f (x) cadascuna de les seg¨uents funcions:
(1) f (x) =
x − 3
x
x + 3
x
x
(2) f (x) =
6 x √ 9 x^2 + 12x + 5
(3) f (x) =
x
2 + x^2
(4) f (x) = sin(x) cos(3x) + sin 2 (x) + cos 3 (x)
(5) f (x) =
4 x − 1
(x − 3)(x^2 + 2)
(6) f (x) = e x (sin(x) + cos(x))
(7) Es considera la figura del costat. Escriviu les integrals que s’han de fer per trobar:
i) L’`area de la regi´o F.
ii) El volum de revoluci´o que obtenim al girar F al voltant de l’eix OX.
iii) El volum del s`olid que t´e per base la regi´o F i sabent que les seves seccions perpendiculars a l’eix OX s´on quadrats.
F
g x ( ) = x^2
2
2 ( ) 1
f x x
=
P Q
Trobeu la longitud del arc que uneix els punts P i Q mitjan¸cant la corba g(x).
UNIVERSITAT DE LLEIDA
DEPARTAMENT DE MATEM `ATICA
ETSEA
Matem`atiques II - Ex 1B - 17 de Mar¸c de 2016
Model B
Trobeu
∫ f (x) dx essent f (x) cadascuna de les seg¨uents funcions:
(1) f (x) = arctg(
x)
(2) f (x) =
4 x √ 4 − 4 x − 4 x^2
(3) f (x) =
x
4 x^2 + 3
(4) f (x) = sin 4 (x) +
cos 3 (x)
1 + sin 2 (x)
(5) f (x) =
x^3 + 2 x^2 − 12
x^3 + 3 x^2 − 4
(6) Es considera la figura del costat. Escriviu les integrals que s’han de fer per trobar:
i) L’`area de la regi´o F.
ii) El volum i la superf´ıcie de revoluci´o que obtenim al girar F al voltant de l’eix OX.
iii) El volum del s`olid que t´e per base la regi´o F i sabent que les seves seccions perpendiculars a l’eix OX s´on semicercles.
F
2 2 x + 4 y = (^84) y = x^2
P
Q
Trobeu la longitud del arc que uneix els punts P i Q mitjan¸cant la corba 4y = x 2 .
(1A)
∫ [^ 1 √ x − 3
x
x + 3
x
x
]
dx =
∫ 1 √ x − 3
x
dx +
x + 3
x
x
dx
∫ 1 √ x − 3
x
dx =
[ t 6 = x
x = t 3
6 t^5 dt = dx 3
x = t^2
]
∫ 6 t 5
t^3 − t^2
dt = 6
∫ t 3
t − 1
dt
∫ ( t 2
t − 1
) dt = 2t 3
- 3t 2
- 6t + ln |t − 1 | + C
= 2
x + 3
x + 6
x + ln |
x − 1 | + C
∫ √ x + 3
x
x
dx =
x
x
dx +
x
x
dx =
∫ x − 1 / 2 dx +
∫ x − 2 / 3 dx
x 1 / 2
x 1 / 3
+ C = 2
x + 3 3
x + C
∫ [^ 1 √ x − 3
x
x + 3
x
x
]
dx = 4
x + 6 3
x + 6 6
x + ln | 6
x − 1 | + C
(2A) Teniendo en cuenta que (9x^2 + 12x + 5)′^ = 18x + 12 y que 9x^2 + 12x + 5 = (3x + 2)^2 + 1
∫ 6 x √ 9 x^2 + 12x + 5
dx =
∫ 18 x + 12 √ 9 x^2 + 12x + 5
dx − 4
∫ 1 √ 1 + (3x + 2)^2
dx
9 x^2 + 12x + 5 −
ln
( 3 x + 2 +
9 x^2 + 12x + 5
)
(3A)
∫ 1
x
2 + x^2
dx =
[ x =
2 tg(t)
2 + x^2 =
2 sec(t) dx =
2 sec 2 (t) dt
]
2 sec^2 (t) √ 2 tg(t)
2 sec(t)
dt
∫ sec(t)
tg(t)
dt =
∫ cosec(t) dt = −
ln | cosec(t) + cotg(t)| + C
ln
∣ ∣ ∣ ∣ ∣
2 + x^2
x
x
∣ ∣ ∣ ∣ ∣
+ C
(4A)
∫ sin(x) cos(3x) dx =
∫ (sin(4x) + sin(− 2 x)) dx =
[ − 1
4
cos(4x) +
cos(− 2 x)
]
cos(4x) +
cos(− 2 x) + C ∫ sin 2 (x) dx =
∫ (1 − cos(2x)) dx =
[ x −
sin(2x)
]
x
2
sin(2x) + C ∫ cos 3 (x) dx =
∫ (1 − sin 2 (x)) cos(x) dx =
[ t = sin(x) dt = cos(x) dx
]
∫ (1 − t 2 ) dt
= t −
t^3
3
sin 3 (x) + C
Por tanto, si f (x) = sin(x) cos(3x) + sin 2 (x) + cos 3 (x)
∫ f (x) dx =
cos(4x) +
cos(− 2 x) +
x
2
sin(2x) + sin(x) −
sin 3 (x) + C
(5A)
4 x − 1
(x − 3)(x^2 + 2)
A
x − 3
Bx + C
x^2 + 2
A(x^2 + 2) + (Bx + C)(x − 3)
(x − 3)(x^2 + 2)
⇐⇒ 4 x − 1 = A(x^2 + 2) + (Bx + C)(x − 3)
x = 3 11 = 11A =⇒ A = 1
(1B)
∫ arctg(
x) dx = =
[ t^2 = x 2 t dt = dx
]
∫ 2 t arctg(t) dt =
u = arctg(t) du =
dt
1 + t^2 dv = 2t dt v = t^2
= t 2 arctg(t) −
∫ t^2
1 + t^2
dt = t 2 arctg(t) −
∫ ( 1 −
1 + t^2
) dt
= t 2 arctg(t) − t + arctg(t) + C = (x + 1) arctg(
x) −
x + C
(2B) Teniendo en cuenta que (4 − 4 x − 4 x^2 )′^ = − 8 x − 4 y que 4 − 4 x − 4 x^2 = (
5)^2 − (2x + 1)^2 ∫ 4 x √ 4 − 4 x − 4 x^2
dx = −
∫ − 8 x − 4 √ 4 − 4 x − 4 x^2
dx −
∫ 2 √ (
5)^2 − (2x + 1)^2
dx
4 − 4 x − 4 x^2 − arcsin
( 2 x + 1 √ 5
)
(3B)
∫ 1
x
4 x^2 + 3
dx =
[ 2 x =
3 tg(t)
4 x^2 + 3 =
3 sec(t) 2 dx =
3 sec^2 (t) dt
]
3 sec 2 (t) √ 3 tg(t)
3 sec(t)
dt
∫ sec(t)
tg(t)
dt =
∫ cosec(t) dt = −
ln | cosec(t) + cotg(t)| + C
ln
∣ ∣ ∣ ∣ ∣
4 x^2 + 3
2 x
2 x
∣ ∣ ∣ ∣ ∣
+ C
(4B)
∫ sin 4 (x) dx =
∫ (1 − cos(2x)) 2 dx =
∫ (1 − 2 cos(2x) + cos 2 (2x)) dx
∫ (1 − 2 cos(2x) +
1 + cos(4x)
2
) dx =
∫ (3 − 4 cos(2x) + cos(4x)) dx
[ 3 x − 2 sin(2x) +
sin(4x)
]
x −
sin(2x) +
sin(4x) + C ∫ cos^3 (x)
1 + sin^2 (x)
dx =
∫ 1 − sin 2 (x)
1 + sin^2 (x)
cos(x) dx =
[ t = sin(x) dt = cos(x) dx
]
∫ 1 − t^2
1 + t^2
dt
∫ ( −1 +
1 + t^2
) dt = −t + 2 arctg(t) + C = − sin(x) + 2 arctg(sin(x)) + C
Por tanto, si f (x) = sin 4 (x) +
cos^3 (x)
1 + sin^2 (x) ∫ f (x) dx =
x −
sin(2x) +
sin(4x) − sin(x) + 2 arctg(sin(x)) + C
(5B) Como x^3 + 2x^2 − 12 = 1 · (x^3 + 3x^2 − 4) − x^2 − 8 y x^3 + 3x^2 − 4 = (x − 1)(x + 2)^2 , tendremos
que ∫ x 3
x^3 + 3x^2 − 4
dx =
∫ 1 dx +
∫ −x 2 − 8
x^3 + 3x^2 − 4
dx = · · ·
−x 2 − 8
(x − 1)(x + 2)^2
A
x − 1
B
x + 2
C
(x + 2)^2
A(x + 2) 2
- B(x − 1)(x + 2) + C(x − 1)
(x − 1)(x + 2)^2
⇐⇒ −x 2 − 8 = A(x + 2) 2
- B(x − 1)(x + 2) + C(x − 1)
x = 1 −9 = 9A =⇒ A = − 1 x = − 2 −12 = − 3 C =⇒ C = 4 x = 0 −8 = 4A − 2 B − C =⇒ B = 0
∫ 1 dx +
∫ − 1
x − 1
dx +
∫ 4
(x + 2)^2
dx = x − ln |x − 1 | −
x + 2
+ C
(6B) Resolviendo las ecuaciones adecuadas obtenemos que P = (0, 0), Q = (2, 1) y R = (
F
x^2^ + 4 y^2 = 8 2 4 y = x
P
Q
i) A =
∫ (^2)
0
x^2
4
dx +
∫ √ 8
2
√ 8 − x^2
4
dx
ii) V = π
∫ (^2)
0
( x^2
4
) 2
dx + π
∫ √ 8
2
8 − x^2
4
dx
S = 2π
∫ (^2)
0
x^2
4
√
1 +
( x
2
) 2 dx + 2π
∫ √ 8
2
√ 8 − x^2
4
√
1 +
x^2
32 − 4 x^2
dx
iii) Como si 0 ≤ x ≤ 2 la secci´on vale A(x) =
πR^2
2
πx^2
128
y cuando 2 ≤ x ≤
8 valdr´a
A(x) =
πR 2
π(8 − x 2 )
32
entonces,
VCSC =
∫ (^2)
0
πx 2
dx +
∫ √ 8
2
π(8 − x 2 )
32
dx
Para terminar debemos calcular la longitud de la curva f (x) =
x 2
entre P = (0, 0) i
Q = (2, 1). Utilizaremos la f´ormula L =
∫ (^2)
0
√ 1 + (f ′(x))^2 dx =
∫ (^2)
0
√
1 +
x^2
4
dx
Calcularemos una primitiva de
√
1 +
x 2
y despu´es aplicaremos la regla de Barrow. Adem´as,
al realizar el c.v.
x
2
= tg(t) la
∫
√
x 2
dx nos queda 2
∫ sec 3 (t) dt. Como,
∫ sec 3 (t) dt =
[ u = sec(t) du = sec(t) tg(t)dt dv = sec^2 (t)dt v = tg(t)
] = sec(t) tg(t) −
∫ sec(t) tg 2 (t)dx
= sec(t) tg(t) −
∫ (sec 3 (t) − sec(t))dt = sec(t) tg(t) +
∫ sec(t)dt −
∫ sec 3 (t)dt
Por tanto, 2
∫ sec 3 (t) dx = sec(t) tg(t) + ln | sec(t) + tg(t)| + C
Luego, deshaciendo el cambio,
∫
√
1 +
x^2
4
dx =
x
2
√
1 +
x^2
4
√
1 +
x^2
4
x
2
| + C
L =
∫ (^2)
0
√
1 +
x 2
dx =
x
2
√
1 +
x 2
√
1 +
x 2
x
2
x=
x=
2 + ln(1 +
