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Universidad de Alicante Grado en Administración y Dirección de Empresas (ADE)
Matemáticas II (22005) Curso 2014/2015 Grupo 2
Apellidos y nombre DNI / NIE
- (1.1 puntos) Dada la función݂ ݔ ൌ ሻݕ ,ݔሺ ଶ^ ݈݊ ݕ (^) ௬ మ௫ (^) ାଵ calcula: a. (0.1p) El dominio de la función. Dibújalo.
La única expresión que puede conducir a problemas es el logaritmo, que debe tener un argumento estrictamente positivo. Dado que el denominador, por construcción, ya es positivo, solo debemos pedirle al numerador que también lo sea: ݉ܦ ሺ ݂ሻ ൌ ሼሺݔ, ݕሻ: ݔ 0ሽ
Gráficamente es la zona pintada:
Sin incluir el eje dado que la restricción es estricta.
b. (0.05p) Este conjunto anterior, ¿es abierto, cerrado, acotado y/o compacto?
El dominio es un conjunto abierto porque no contiene a su frontera y no acotado porque no se puede incluir en ninguna bola aunque sea de radio muy grande.
c. (0.1p) Calcula el vector gradiente en un punto cualquiera del interior del dominio. Calcula el vector gradiente correspondiente al punto (1,1)
Resuelto
ݔ , ଶ^ െ
ݕ ଶ^ 1
d. (0.15p) Si nos situamos en el punto (1,1) y nos movemos en dirección (1,2), ¿el valor de la función en el nuevo punto aumenta o disminuye?
Tenemos que calcular la derivada direccional. El primer paso es normalizar el vector de la dirección: ‖ሺ1,2ሻ‖ ൌ √
Como este valor es positivo, si nos movemos en esta dirección la función aumenta su valor.
e. (0.1p) Situados en este punto (1,1), ¿cuál es la dirección que debemos considerar si queremos que el aumento sea máximo? ¿Cuánto vale la derivada direccional máxima en este punto?
La derivada direccional siempre es máxima en la dirección del gradiente; es decir, en dirección ሺ3,0ሻ. Su valor coincide con ‖݂ሺ1,1ሻ ‖ ൌ ‖ሺ3,0ሻ‖ ൌ 3
f. (0.05p) ¿En qué curva de nivel se sitúa el punto (1,1)?
En la curva de nivel ݂ ሺ1,1ሻ ൌ 1 ݈݊ ቀ ଵଶቁ
g. (0.1p) ¿Puedes aplicar el teorema de la función implícita a esta curva de nivel en el punto (1,1)? ¿Por qué?
La función y las derivadas parciales que hemos calculado en el apartado c) anterior son todas continuas en un entorno del punto (1,1). Pero ݕݔൌ ቀ2 ሻݕ ,ݔሺ ݂ ଵ௫ ݔ , ଶ^ െ (^) ௬ଶ௬ మ (^) ାଵቁ con lo que ݂ ሺ1,1ሻ ൌ ሺ3,0ሻ y en
particular: ߲݂߲ ൗݕ ሺ1,1ሻ ൌ 0 así que la tercera premisa del teorema falla,
de forma que no podemos aplicar este resultado en este punto.
h. (0.1p) Calcula la ecuación del plano tangente a la superficie de f(x,y) en el punto (1,1)
Necesitamos ݂ ሺ1,1ሻ ൌ 1 ln ଵଶ y ݂ ሺ1,1ሻ ൌ ሺ3,0ሻ Con esto:
ݕ ᇱ^ ݀ൌ
Con esto, la ecuación de la recta pedida es:
- (0.25 puntos) Las curvas de nivel de la función݂ ሻݕ ,ݔሺ están dadas en la gráfica.
a. ¿Cuánto vale la función en el punto A? ¿Por qué?
El punto A está sobre la curva de nivel 2, por tanto, el valor de f(A) es 2
b. Estudia el signo de las derivadas parciales en los puntos A, B, C y D.
En los puntos A y D al desplazarnos hacia la derecha (sentido positivo del eje OX) pasamos a una curva de nivel superior, de forma que en estos puntos la primera derivada parcial (respecto X) es positiva. En los puntos B y C, en cambio, al hacer este desplazamiento nos situamos en una curva de nivel inferior, por tanto la primera derivada parcial en estos dos puntos será negativa.
Cuando el desplazamiento es hacia arriba (sentido positivo del eje OY), en los puntos B, C y D pasamos a una curva de nivel inferior, por lo que en estos puntos la segunda derivada parcial (respecto a Y) es negativa. En el punto A pasamos a una curva de nivel superior, de forma que esta segunda derivada parcial en este punto tiene signo positivo.
