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F VEjercicio n* 1. Sea elplano (7) y larecta (r) cuyas ecuaciones son: (1) :2x+4y-2+4=0, F=0P, + ABR, , siendo los puntos Pl =(-1,5,6), P2 = (2,-4,0) Se pide: . Determinar el punto de intersección de dicha recta con el plano (al que llamaremos Pt), así como, el área del triángulo formado por dichos puntos (PL, P2, Pi, PD, formando una quebrada cerrada, calculando previamente las longitudes de sus lados (comentando dicho resultado). Ejercicio n* 2. En el espacio de la geometría ordinaria, (EGO) , se considera la curva (T') cuya representación paramétrica, vectorial viene expresada, en el sistema de referencia trirrectangular to; xy, 2) de los puntos, asociado a una base ortonormal (%,),., .. , mediante la representación paramétrica vectorial (siendo b, dato): (1): A =K() =( bcos (0), Jintao, bsin*(1) ) Se pide: 1%.— Demostrar que la curva (IU) está (al menos) sobre dos superficies —de las posibles, distintas, que existen—, cuya ecuaciones se piden. Enumerar de las superficies encontradas sus . Caracteristicas principales. 29).— Hallar las ecuaciones intrínsecas de la curva (1). 3”.— Describir de la curva (I') sus características geométricas más importantes. Calcular la indicatriz esférica de las tangentes de la curva (I'). Ejercicio n* 3 Sea lo; Í Sk ) un sistema de referencia, afín, cartesiano ortonormal, perteneciente a R?. En él, se define la curva (I') , mediante las ecuaciones: (1): E =1 x+y+z=1 Se pide: 1%). — Ecuaciones del cilindro cuyas generatrices tienen por directriz la curva (I') y son paralelas a la recta, de ecuaciones: (MH) :%=Y=2 Calcule el volumen, por unidad de longitud, que encierra esta superficie (teniendo en cuenta las características geométricas, de un cilindro, considerado geométricamente). 5 Apellidos, Nombre: Ejercicio n* 1 15 — Ecuación del plano (x) que pasa por el punto P(3,5,0) . es paralelo a la recta de ecuación x+2y 1=0 (r)= / dl y es perpendicular al plano (8) = x-y+2-3-0 . |x-27+1=0 1.2)— Ecuación de la recta (+) que pasa por el punto P(3,2,1), cs paralcla al plano (77) =2x+y-32+5=0 -2 +2 2- y cortaa la recta (5) E — y , 1.3).— Calcular el área del triángulo de vértices Ap. By. Cp, proyección ortogonal del triángulo de vértices A(1.1.D), B(1,1,2), C(1,2,1) sobre el plano (7) =x+y+z=1. Ejercicio n* 2. En el espacio de la geometría ordinaria (4. GO), sea la curva (T') cuya representación paramétrica viene referida, al sistema de referencia trirrectangular (0:x, de 3 de los puntos, asociado a una base ortonormal (a) 04 e mediante las siguientes ecuaciones: a E 434 . 3. (10):R=RG0) 11 (5): (x, 9,2) = (EE oost, (sin), sin) ; VOSI<2% Se pide: 19).- Determinar si la curva es alabeada, esférica o plana. 2>).- Calcular las ccuaciones “intrínsecas” de la curva cn un punto genérico de dicha curva. 3%).- Determinar de la curva (T') que tipo de curva se trata, dando las características geométricas más importantes, y hacer una representación gráfica de ésta. 40).- Determinar la indicatriz esférica de tangentes definiendo que tipo de curva es y dar sus características geométricas más importantes. Ejercicio n? 3 Dada la superficie (E ) de ecuaciones paraméltricas (E): F=F(uY) MU (E): y,2) =(u, y, (4+ 10 + )) Hallar: 19) -Ecuación explicita de dicha superficie. Plano tangente a dicha superficie que pasa por el punto de coordenadas (0,0,0). 2*).- Cono, circunscrito a dicha superficie, de vértice (0, 0,0) . 3").- Planos tangentes paralelos al plano xOy E 41).- Calcular los posibles planos tangentes que pasan por el eje (Jx Matemáticas II Escuela Universitaria de Diseño Industrial Ferrol, 12 de Julio del 2013 Apellidos, Nombre: Dí 1.1)— Scan los puntos A(f,1f+1, 1), B(2,3,1), C(0,5,3) y D(-1,4,3) Se pide: E-1.D).- Calcular los posibles valores de *£ “ para que los cuatro puntos sean coplanarios. ¿Cuantas soluciones hay?. Hallar la ecuación de dicho plano. 1.1.2).— Especificar el posible valor de “tf “ para que cl polígono de vértices consecutivos ABCD sea un paraielogramo y especificar qué tipo de paralelogramo es y calcular el área encerrada por éste. 1.2).— Dados los vectores ¿=(2,1,0) y W=(—L,0,1) . Hallar un vector unitario ww que sea coplanario con ellos y ortogonal a Y . 2).— Sca el espacio de la geometría ordinaria, (=.G.0.,) , se considera la curva (I”) cuya representación paramétrica viene expresada, en el sistema de referencia trirrectangular 10; x,y,z| de los puntos, asociado a una base ortonormal (2,),., .., , mediante la representación paramétrica vectorial: «RR 7 Pr: R E] Rd MD) :R=R(0)=(Recos*t, pa Rsin” £) Se pide: 2.1.1). Demostrar que la curva (T') está, al menos, sobre dos superficies —de las posibles que existen—, cuyas ecuaciones se pide. Especificar de las superficies encontradas sus características principa- les. 2.1.2).— Hallar las ecuaciones intrínsecas de la curva (1). 2.2.1).— Describir de la curva (T') sus características geométricas más importantes. Calcular la in- dicatriz esférica de las tangentes de la curva (T') a la que llamaremos (mm) 2.2.2).— Calcular y describir de la curva (T') sus ecuaciones intrínsecas y características geométricas más importantes. 3).— Dada la superficie (2), cuya representación vectorial, paramétrica, viene definida por : F="(u,v)=(u, v, (3+u? +v?)) Se pide, hallar: 3.1.1) — Plano tangente a dicha superficie en el punto de coordenadas (0,0,3) 3.1.2). — Planos tangentes paralelos al plano xOy 3.1.3)— Planos tangentes que pasan por 3.2.1).— Determinar las generatrices 3.2.2) — Cono circunscrito a dicha superficie de vértice (0,0,—8) 3.2.3). — Contorno aparente sobre el plano yOz y sus ecuaciones Matemáticas IE Escucta Universitaria de Diseño Industrial Ferrol, 30 de Mayo del 2013 Apeilidos, Nombre: Primera parte 1) Se considera el punto P (1,2,3),lasrectas (r) y (s) que tienen por ecuaciones: (<= (1+2y=7)N (y+22-4) (s) = RU)=(L 2+1 3+21) a)— Calcular la ecuación del plana (1) . que es perpendicular a la recta (r) y contiene al punto P b).— ¿Cuál es la mínima distancia entre la recta (s) y el plano (7) , y en qué puntos se produ- ce?. Razonar la respuesta. Matemáticas II Escuela Universitaria de Diseño Industrial Ferrol, 12 de Julio del 2013 Apellidos, Nombre: Ñ n 1.1).— Sean los puntos A(t,1+1,1), B(2,3,1), C(0,5,3) y D(-1,4,3) Se pide: 1.1.1).— Calcular los posibles valores de “£ “ para que los cuatro puntos sean coplanarios. ¿Cuantas soluciones hay?. Hallar la ecuación de dicho plano. 1.1.2).— Especificar el posible valor de “f* para que el polígono de vértices consecutivos ABCD sea un paralelogramo y especificar qué tipo de paralelogramo es y calcular el área encerrada por ésto. 1.2).— Dados los vectores ¿=(2,1,0) y V=(-1,0,1) . Hallar un vector unitario + que sea coplanario con ellos y ortogonal a Y . 2).— Sea el espacio de la geometría ordinaria, (E.G.O,) , se considera la curva (T) cuya representación paramétrica viene expresada, en el sistema de referencia trirrectangular to; xy, 2) de los puntos, asociado a una base ortonormal (£,),., ., » mediante la representación paramétrica vectorial: Se = Ro. 3 T) : R=X(f) = (Lcos?¿, Fsin2t, Rsin?£ (1) (0 TF ) So pide: 2.1.1).— Demostrar que la curva (T') está, al menos, sobre dos superficies —de las posibles que existen—, cuyas ecuaciones se pide. Especificar de las superficies encontradas sus características principa- les. 2.1.2).— Hallar las ecuaciones intrínsecas de la curva (1'). 2.2.1).- Describir de la curva (I') sus características geométricas más importantes. Calcular la in- dicatriz esférica de las tangentes de la curva (T') a la que llamaremos 0) 2.2.2).— Calcular y describir de la curva (T') sus ecuaciones intrínsecas y características geométricas más importantes. 3).— Dada la superficie (2), cuya representación vectorial, paramétrica, viene definida por : F=F(u,v)=(u,v, (344? +v?)) Se pide, hallar: 3.1.1).— Plano tangente a dicha superficie cn el punto de coordenadas (0,0,3) 3.1.2).— Planos tangentes paralelos al plano xOy 3.1.3). — Planos tangentes que pasan por c. 3.2.1).— Determinar las generatrices recti 3.2,2).— Cono circunscrito a dicha superficie de vértice (0, 0,-8) 3.2.3).— Contorno aparente sobre el plano yOz y sus ecuaciones Matemáticas" EUDI Ferrol 29 de Mayo del 2014 Apellidos, Nombre: Cicloide E Práctica
2xP4y=7+4=0 Se pido: Determinar el punto de intersección —que llamaremos G— de dicha recta con cl plano, así como, el área del triángulo formado por dichos puntos (GF, R,, R,, G , calculando previamente las longitudes de sus lados (comentando dicho resultado). Ejercicio 1? 2 En el espacio de la geometría ordinaria, (E.G.0.), se considera un sistema de coordenadas cartesiano trirroctangular Í 0; x,y,z ] . Sea la curva (T'), referida a dicho sistema de referencia, mediante su ecuación paramétrica vectorial: (P) = Ku) = (a(1+c0s2x), asin2a, 2asinu) ; Vu / Osu
