¡Descarga Matemáticas 01 2015 y más Exámenes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
Nom i cognoms (poseu una × al vostre grup) M1 M2 M3 M4 M5 M6 T1 T2 T3 T
Matem`atiques 1
Curs 2014-2015/
Professors: Francesc Pozo (M1), Piedad Guijarro (M2), Piedad Guijarro (M3), Antonio de la
Casa (M4), Jos´e Rodellar (M5), Antoni Roca-Rosell (M6), Merc`e Claverol (T1), Jos´e Rodellar
(T2), Merc`e Claverol (T3), Joan Trias (T4)
[RESPONEU LES PREGUNTES EN FULLS SEPARATS]
Tercer examen parcial. 16.00h. 22/12/
- [20 punts] Considereu la funci´o real de variable real
f (x) =
|x| x^2 − x + 2
(a) [5 punts] Reescriviu la funci´o f (x) com una funci´o a trossos.
(b) [10 punts] Sabent que f (x) ´es cont´ınua a tot R i que f (^) −′(0) = −∞ i f (^) +′(0) = +∞, calculeu els extrems tot indicant si s´on m`axims o m´ınims.
(c) [5 punts] Justifiqueu l’exist`encia o no d’extrems absoluts. En cas que existeixin, calculeu-los. Soluci´o.
(a) Tenint en compte que |x| =
−x, x ≤ 0 x, x > 0 , f (x) es pot escriure com:
f (x) =
−x x^2 − x + 2 , x ≤ 0
√ x x^2 − x + 2
, x > 0
(b) Com que les derivades laterals de la funci´o f (x) en el punt x = 0, f (^) −′(0) i f (^) +′(0), no existeixen, podem dir que f ′(0) no existeix i que, per tant, la funci´o no ´es derivable en aquest punt. A m´es a m´es, com que f (x) ´es cont´ınua a tot R, podem afirmar que a x = 0 tenim un punt candidat a extrem (´es un punt cr´ıtic). Per altre banda, el denominador ´es positiu per a tot x (les arrels de x^2 − x + 2 = 0 s´on complexes); el numerador ´es positiu per tot x 6 = 0 i nul per a x = 0. Per tant, f (x) > 0 per tot x 6 = 0 i f (0) = 0, llavors, f (0) = 0 ´es un m´ınim de f (x) en R.
Per trobar d’altres extrems, comencem per calcular f ′(x) per a x 6 = 0:
f ′(x) =
−x
x^2 − x + 2
−x (2x − 1)
(x^2 − x + 2)^2
, x < 0
x
x^2 − x + 2
x (2x − 1)
(x^2 − x + 2)^2
, x > 0
Fent alguna simplificaci´o, obtenim:
f ′(x) =
3 x^2 − x − 2 2
−x (x^2 − x + 2)^2
, x < 0
− 3 x^2 + x + 2 2
x (x^2 − x + 2)^2
, x > 0
Per tant, les arrels de f ′(x) = 0 s´on les arrels de 3x^2 −x−2 = 0, quan x < 0 i les arrels de − 3 x^2 +x+2 = 0, quan x > 0 que s´on x 1 = −
i x 2 = 1, respectivament. En resum, podem dir que tenim tres punts cr´ıtics, que de menor major s´on:
Com ´es la funci´o entre els intervals generats entre aquests punts?
la funci´o ´es creixent ja que f ′(−1) = 161 > 0.
la funci´o ´es decreixent ja que f ′^
√ 2 121 <^ 0.
- Entre (0, 1) la funci´o ´es creixent ja que f ′^
2
√ 2 7 >^ 0.
- Entre (1, +∞) la funci´o ´es decreixent ja que f ′^ (2) = −
√ 2 8 <^ 0. Per tant,
´es un m´axim.
- x = 0 ´es un m´ınim.
- x = 1 ´es un m`axim.
(c) Com sabem que f (x) ≥ 0 i cont´ınua per tot R, i que lim x→+∞ f (x) = lim x→−∞ f (x) = 0, podem afirmar que la funci´o esta fitada, per tant, t´e maxim i m´ınim absoluts. Com que l’´unic m´ınim trobat ´es x = 0, aquest ´es
el m´ınim absolut. Per l’altre banda, f
≈ 0 .26 i f (1) =
. Com f (1) > f (0), x = 1 ´es el m`axim absolut.
- [15 punts] Considereu la funci´o f (x) = x^3 − 2 x + sin(x).
(a) [5 punts] Calculeu el polinomi de Taylor T 3 (x) d’ordre 3 de la funci´o f (x) al voltant del punt x = 0.
(b) [5 punts] Feu servir el resultat anterior per aproximar el valor de f (1).
(c) [5 punts] Fiteu | f (x) − p 3 (x) | si 0 < x < 1.
Soluci´o.
(a)
Tn(x) = f (x 0 ) + f ′(x 0 )(x − x 0 ) +
f ′′(x 0 ) 2! (x − x 0 )^2 + ... +
f (n)(x 0 ) n! (x − x 0 )n
f (x 0 ) = x^3 − 2 x + sin(x) ⇒ f (0) = 0 f ′(x 0 ) = 3 x^2 − 2 + cos(x) ⇒ f ′(0) = − 1 f ′′(x 0 ) = 6 x − sin(x) ⇒ f ′′(0) = 0 f ′′′(x 0 ) = 6 − cos(x) ⇒ f ′′′(0) = 5
T 3 (x) = −x +
x^3
(b)
f (1) ≈ T 3 (1) = −1 +
(c) Considerem el canvi de variable
u = ex du = exdx.
Aleshores, ∫ ex e^2 x^ − ex^
dx =
du u^2 − u
u(u − 1)
du
La funci´o (^) u(u^1 −1) ´es una funci´o racional. Per tant, per tal de calcular una primitiva d’aquesta funci´o, expressarem la funci´o racional com a suma de fraccions simples. En efecte, 1 u(u − 1)
A
u
B
u − 1
A(u − 1) + Bu u(u − 1) Donat que els numeradors d’aquestes dues funcions racionals han de ser iguals, tenim que,
1 = A(u − 1) + Bu
Avaluant en u = 1 i en u = 0, obtenim directament que
B = 1 A = − 1
Aleshores, ∫ 1 u(u − 1) du =
u du +
u − 1 = − ln |u| + ln |u − 1 | + C, C ∈ R
= ln
u − 1 u
∣ +^ C, C^ ∈^ R
Desfent el canvi de variable, ∫ ex e^2 x^ − ex^
dx = ln
ex^ − 1 ex
∣ +^ C, C^ ∈^ R.
(d) Es tracta d’una integral d’una funci´o racional, on ja tenim descomposat el denominador i el polinomi del numerador t´e grau estrictament inferior al grau del denominador. Aleshores, cal descomposar la funci´o racional com a suma de fraccions simples de la seg¨uent manera: 2 x^2 − 2 x + 10 (x − 1)^2 (x^2 + 9)
A
(x − 1)
B
(x − 1)^2
Cx + D x^2 + 9
=
A(x − 1)(x^2 + 9) + B(x^2 + 9) + (Cx + D)(x − 1)^2 (x − 1)^2 (x^2 + 9) Donat que els numeradors d’aquestes dues funcions racionals han de ser iguals, tenim que,
2 x^2 − 2 x + 10 = A(x − 1)(x^2 + 9) + B(x^2 + 9) + (Cx + D)(x − 1)^2
Trobarem els quatre valors de les incognites A, B, C i D avaluant aquests dos polinomis en quatre valors, com per exemple, 0, 1 , −1 i 2. Aixo resulta en quatre equacions:
10 = − 9 A + 9B + D 10 = 10B 14 = − 20 A + 10B − 4 C + 4D 14 = 13A + 13B + 2C + D
Resolent aquest sistema obtenim, A = 0 B = 1 C = 0 D = 1
Aleshores, ∫ 2 x^2 − 2 x + 10 (x − 1)^2 (x^2 + 9)
dx =
(x − 1)^2
dx +
x^2 + 9
dx
La primera de les integrals ´es immediata: ∫ 1 (x − 1)^2
dx =
(x − 1)−^2 dx =
(x − 1)−2+ −2 + 1
+ C 1 = −
x − 1
+ C 1 , C 1 ∈ R
1 − x
+ C 1 , C 1 ∈ R.
Per a la segona integral, caldr`a fer algunes transformacions: ∫ 1 x^2 + 9 dx =
x 3
dx =
3 1 +
( (^) x 3
) 2 dx^ =
arctan
( (^) x 3
+ C 2 , C 2 ∈ R.
Per tant, finalment, ∫ 2 x^2 − 2 x + 10 (x − 1)^2 (x^2 + 9)
dx =
1 − x
arctan
( (^) x 3
+ C, C ∈ R.
(e) Considerem el canvi de variable
s =
x
ds =
x dx.
Aleshores, ∫ sin
x
dx =
2 s sin(s)ds
Aquesta integral es resoldra ara pel metode d’integraci´o per parts, amb les parts
u = 2s, du = 2ds dv = sin(s)ds, v = − cos(s)
Aleshores, ∫ 2 s sin(s)ds = uv −
vdu = − 2 s cos(s) +
2 cos(s)ds
= − 2 s cos(s) + 2 sin(s) + C, C ∈ R
Desfent el canvi de variable, obtenim finalment ∫ sin
x
dx = − 2
x cos
x
x
+ C, C ∈ R.
- [20 punts] Considereu la par`abola f (x) = x(1 − x) i la recta g(x) = mx, 0 < m < 1.
(a) [5 punts] Calculeu els punts de tall entre la par`abola i la recta.
(b) [10 punts] Calculeu l’area de la regi´o delimitada per les grafiques de la parabola f (x), la recta g(x) i les rectes verticals x = 0 i x = 1. Tingueu present que l’area total ´es el resultat de la suma de l’area de dues regions fitades, tal i com es pot veure en la Figura 1 i que el resultat dependra de m.
(c) [5 punts] Quin ´es el valor de m, 0 < m < 1 , que fa que les dues regions fitades de l’apartat anterior tinguin identicaarea?
Aleshores, fruit d’igualar A 1 i A 2 obtenim
A 1 = A 2 ⇔ −
m +
= 0 ⇔ m =
- [20 punts] Considereu la funci´o
f (x) = xp^ ln(x),
que depen d’un parametre p ∈ R.
(a) [5 punts] Per a quins valors de p ∈ R ´es impr`opia la integral Ip =
0
f (x)dx =
0
xp^ ln(x)dx?
(b) [5 punts] Estudieu la convergencia de la integral impropia I− 1 , ´es a dir, quan p = −1. (c) [5 punts] Calculeu una primitiva de la funci´o f (x) quan p 6 = −1.
(d) [5 punts] Estudieu la convergencia de la integral impropia de l’apartat (a), en funci´o de p, p 6 = −1. Per a quins valors de p la integral impropia ´es convergent? Quin ´es el valor de la integral impropia en aquests casos?
Ajuda: Pots fer servir els resultats d’aquests dos l´ımits:
lim x→ 0 +^
xα^ ln(x) = 0 sempre que α > 0;
lim x→ 0 +
xα^ ln(x) = −∞ sempre que α ≤ 0.
Soluci´o. (a) La integral Ip =
0 x
p (^) ln(x)dx ´es una integral impropia de segona especie nom´es quan p ≤ 0 ja que la funci´o xp^ ln(x) presenta una discontinu¨ıtat asimpt`otica en l’extrem esquerre de la integral, ´es a dir, lim x→ 0 +
xp^ ln(x) = −∞,
i per tant, la funci´o no ´es fitada en l’interval [0, 1]. Si p > 0, la funci´o presenta una discontinu¨ıtat evitable en x = 0 ja que lim x→ 0 +
xp^ ln(x) = 0,
i per tant, la funci´o ´es fitada, el que fa que la integral Ip sigui una integral definida no impr`opia.
(b) En primer lloc, calcularem una primitiva de la funci´o f (x) = x−^1 ln(x) = ln(x) (^1) x. Podem resoldre la integral amb el canvi de variable u = ln(x)
du =
x dx
Aleshores, ∫ f (x)dx =
ln(x)
x
dx =
udu
u^2 2
+ C, C ∈ R
ln^2 (x) 2
+ C, C ∈ R
Aleshores, ∫ (^1)
0
f (x)dx = lim a→ 0 +
a
f (x)dx = lim a→ 0 +
[
ln^2 (x) 2
] 1
a
= lim a→ 0 +
ln^2 (1) 2
ln^2 (a) 2
= lim a→ 0 +
ln^2 (a) 2
Per tant, la integral impr`opia I− 1 ´es divergent.
(c) El calcul d’una primitiva de la funci´o f (x) quan p 6 = 1 es fa pel metode d’integraci´o per parts amb les parts
u = ln(x), du =
x
dx
dv = xp, v = xp+ p + 1 Aleshores, ∫ xp^ ln(x)dx = xp+ p + 1
ln(x) −
xp p + 1
dx
xp+ p + 1
ln(x) −
xp+ (p + 1)^2
+ C, C ∈ R
xp+ p + 1
ln(x) −
p + 1
+ C, C ∈ R
(d) En aquest cas, estem considerant que p ≤ 0 , p 6 = −1, ja que altrament la integral no ´es impr`opia. Aleshores, ∫ (^1)
0
f (x)dx = lim a→ 0 +
a
f (x)dx = lim a→ 0 +
[
xp+ p + 1
ln(x) −
p + 1
)] 1
a = lim a→ 0 +
1 p+ p + 1
ln(1) −
p + 1
ap+ p + 1
ln(a) −
p + 1
= lim a→ 0 +
p + 1
p + 1
ap+ p + 1
ln(a) −
p + 1
= lim a→ 0 +
(p + 1)^2
ap+ p + 1
ln(a) +
ap+ (p + 1)^2
Per calcular el l´ımit anterior, cal distingir dos casos: (i) − 1 < p ≤ 0 i (ii) p < −1. En el primer cas, ´es a dir, quan − 1 < p ≤ 0 es t´e
lim a→ 0 +
−^
(p + 1)^2
ap+ p + 1
ln(a) ︸ ︷︷ ︸ → 0
ap+ (p + 1)^2 ︸ ︷︷ ︸ → 0
=^ −^
(p + 1)^2
i per tant la integral impropia ´es convergent. Altrament, ´es a dir, quan p < −1, la integral impropia ´es divergent.
Competencia Generica (CG2). 16.00h. 10/01/
- [100 punts] Classifiqueu el sistema d’equacions lineals
(a − 2)x = b + 1 (2a − 4)x − y = 2 b (a^2 − 4)x − y + z = 0
segons els valors dels param`etres a, b ∈ R.
Soluci´o. La matriu ampliada associada al sistema d’equacions ´es
M =
A v
a − 2 0 0 b + 1 2 a − 4 − 1 0 2 b a^2 − 4 − 1 1 0
El determinant de la matriu A, en ser triangular, ´es
|A| = 2 − a
