¡Descarga Examen Final Matemàtiques I - Problemas Resueltos - Prof. Monreal y más Exámenes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
1.-
a) Construïu amb regle i compàs un triangle donats m b
, b i
B.
b) Trobeu la proporció k que han de mantenir tres longituds a > b > c tals que
a b
k
b c
= = , perquè
puguin formar un triangle rectangle.
(2 punts)
Solució:
a) Sigui ABC el triangle solució. Es traça el costat AC , de longitud b. Sobre ell, es traça l’arc capaç
d’angle
B , on estarà situat el vèrtex^ B. El punt mig de^ AC^ (punt^ b
M ) serà el peu de la mediana b
m ,
per tant, es traça un arc amb centre b
M i radi b
m. Si aquest arc no talla l’arc capaç, el problema no té
solució amb les dades donades. Si és tangent a l’arc capaç, hi ha una solució única pel vèrtex B en el
punt de tangència i el triangle és isòsceles. Si els dos arcs es tallen en dos punts, aquests són dues
solucions pel vèrtex B , ( 1
B i 2
B ) que, de fet, són simètriques i, per tant, equivalents (veure figura). En
el cas particular en què
B = 90º i 2
b
m = b , els dos arcs coincideixen i llavors qualsevol punt de
l’arc capaç és solució pel vèrtex B.
b) De les dades es desprèn que k > 1 , que
c 1
b k
= i que, en el triangle rectangle, la hipotenusa ha de
correspondre a la longitud a. Amb això present, si apliquem el teorema de Pitàgores, s’ha de verificar
que
2 2 2
a = b + c.
Dividint tot per
2
b , resulta
2 2 2
a b c
b b b
, és a dir,
2
2
k 1
k
, o sigui,
4 2
k − k − 1 = 0 ,
que és una equació biquadrada. La única solució real més gran que 1 d’aquesta equació és
k
2.- Considereu l’endomorfisme f de
3
de matriu �
1 2 3
− 1 0 1
𝑎𝑎 1 𝑎𝑎 + 1
�.
Segons els valors de a , e studieu el nucli i la imatge de f donant-ne dimensions i bases d’aquests subespais
sempre que sigui possible i veieu si (1,2,3)^ ∈ 𝐼𝐼𝐼𝐼 𝑓𝑓.
(1,5 punts)
Solució:
si a
a rang
si a ja que
a a a a
Cas 1:
a ≠.
𝐼𝐼𝐼𝐼 𝑓𝑓 te dimensió 3 i una base és la habitual de
3
. En aquest cas, és clar que (1,2,3) ∈ 𝐼𝐼𝐼𝐼 𝑓𝑓 i que
Ker f = (^) {(0, 0, 0) }, que te dimensió 0 i no te base.
Cas 2:
a =.
𝐼𝐼𝐼𝐼 𝑓𝑓 te dimensió 2 i una base és
(1, 2,3) ∉ Im f perquè
Ker f te dimensió 1. Calculem una base:
x y z
x z
i (1, −2,1) és una base de Ker f.
3.-
a) Per a quins valors dels paràmetres 𝑎𝑎 i 𝑏𝑏 la matriu �
𝑎𝑎 0 𝑏𝑏
0 −𝑎𝑎 0
0 1 𝑎𝑎
� diagonalitza?
b) Per 𝑎𝑎 = 2 i 𝑏𝑏 = 0, trobeu una base en la que la matriu diagonalitzi i doneu la matriu diagonal.
(1,5 punts)
Solució:
a) Calculem el polinomi característic �
𝑎𝑎 − 𝜆𝜆 0 𝑏𝑏
0 −𝑎𝑎 − 𝜆𝜆 0
0 1 𝑎𝑎 − 𝜆𝜆
�= (𝑎𝑎 − 𝜆𝜆)
2 (−𝑎𝑎 − 𝜆𝜆). Per tant els vap’s
son a , a i − a.
b. Matriu G associada al gir d’angle 135º, en la base canònica, és
( ) ( )
( ) ( )
cos 135º sin 135º 2 2
sin 135º cos 135º 2 2
G
c. La composició G S ., de la simetria axial seguida del gir, és una simetria axial de matriu
associada:
G S
i. Càlcul de l’eix de simetria:
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
cos
cos sin 2 2 2
sin cos 2 2 2
sin
G S
−^ = −
per tant α = 225º, i l’equació de l’eix de gir és:
( )
y tg x tg x y x
α
= = ⇒ ⇒ = − −
b)
a. f transforma la base canònica en una base ortonormal.
b. Classificació i elements característics:
i. La matriu associada en la base canònica és:
A
ii. Com que A = 1 , conserva l’orientació i per tant és un gir.
iii. Eix de gir: Vectors propis de valor propi λ = 1
( )
x
x z z x
A I v y
x y y x
z
−^ +^ =^ =
^ ^
per tant
ker (^) ( A − I (^) ) = (^) {( x x x , , (^) ) = x ( 1,1,1) (^) } = (^) ( 1,1,1) , l’eix de gir es la recta d’equació
x y z
iv. Angle de gir: ( ) ( ) ( ) 1
1 2 cos 0 cos 120º
traz A = + α = ⇒ α = − ⇒ α=
(2 punts)
5.- Doneu totes les isometries del grup de simetria de la sanefa següent i marqueu-ne un motiu generador i un
patró.
Solució:
Les isometries que deixen invariant aquesta sanefa són:
- Translacions de vector (^) v
i qualsevol múltiple enter d’ell.
- Simetries verticals (respecte dels eixos 1 2 3
s , s , s , )
- Simetria horitzontal (respecte de l’eix r )
- Girs de 180º centrats en els punts 1 2 3
O O , , O ,
El grup de simetria d’aquesta sanefa és el pmm 2.
En el dibuix s’ha indicat de color blau un motiu generador i de color vermell un patró.
(1 punt)
6.-
a) Doneu l’equació d’una paràbola d’eix vertical, vèrtex el punt (^) ( 2,1) i paràmetre p = 4.
Doneu la resta dels seus elements característics i feu-ne un dibuix aproximat.
b) Trobeu el lloc geomètric dels punts P = ( , x y ) del pla tals que la suma de les seves distàncies als
punts (2, 2) i (2, 6) sigui 6. Doneu els seus elements característics i feu-ne un dibuix aproximat.
(2 punts)
Solució:
a) Com que l’eix de la paràbola és vertical i el seu vèrtex és
el punt ( 2,1)^ , el seu eix és la recta
x = 2
i la seva equació és de la forma
2 2
( x − 2) = 2 p y ( − 1) → ( x − 2) = 8( y −1)
La directriu és la recta horitzontal
p
y = − → y = − ,
i el focus, el punt 2,1 (^) ( 2,3)
p
F F
.
F = ( 2,3)
y = − 1
x = 2
v
r
1 2 3 4
s s s s
1 2 3 4
O O O O
